TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

72 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
est spatialement blanc, de puissance σn 2 . En bande de base, les signaux d’interférence ont pour puissance
(σj 2) j=1..J et pour densité spectrale de puissance (S j (f)) j=1..J . La matrice de covariance spatiale
interférences plus bruit est égale à :
¯R =
∫ B
2
− B 2
J∑
S j (f)φ(θ j ,f + f 0 )φ(θ j ,f + f 0 ) H df + σnI
2
j=1
avec
[
φ(θ j ,f + f 0 ) =
e jkrT 1 i(θ j)
e jkrT 2 i(θ j)
· · · e jkrT M i(θ j)
] T
où (r n ) n=1..N représente un vecteur pointant de l’origine au capteur n, i(θ j ) un vecteur de norme unité
pointant dans la direction θ j de la source d’interférence et k = 2π f+f 0
c
, où c est la vitesse de propagation
de l’onde. Le signal utile est également modélisé par un processus aléatoire stationnaire stationnaire au
second ordre ,de largeur de bande non nulle, de DSP (S S (f)) j=1..J et de puissance σS 2. La DOA θ S de la
source utile est supposée connue. Sa matrice de covariance spatiale de dimension N × N s’écrit sous la
forme :
¯R S =
∫ B
2
− B 2
S S (f)φ(θ S ,f + f 0 )φ(θ S ,f + f 0 ) H df.
4.4.2 Expression des matrices de covariance spatio-temporelles
Notons M le nombre de retards utilisé lors du traitement spatio-temporel. Les matrices de covariance
d’interférences plus bruit et du signal utile, respectivement ¯R M et ¯R S,M sont de dimension MN × MN.
Les processus étant stationnaires au second ordre, les matrices de covariance spatio-temporelles ont une
structure bloc Toeplitz et peuvent s’écrire sous la forme :
⎡
⎢
⎣
⎤
R 0 R H 1 · · · R H M−1
.
R .. . .. 1 R
H M−2
.
. ..
⎥ . ⎦
R M−1 R M−2 ... R 0
(4.4)
avec
et
⎡
∫ B
2
R m = ⎣
− B 2
R m =
⎤
J∑
S j (f)φ(θ j ,f+f 0 )φ(θ j ,f+f 0 ) H + σ2 n
B I ⎦e −i2πmfT df
j=1
∫ B
2
− B 2
S S (f)φ(θ S ,f + f 0 )φ(θ S ,f + f 0 ) H e −i2πmfT df
avec m = 0,...,M −1, pour ¯R M et ¯R S,M respectivement. Notons que les blocs ne sont pas nécessairement
Toeplitz, cela dépendant de la structure de l’antenne. Après introduction de ω = 2πfT et ω 0 = 2πf 0 T,
ces deux matrices de covariance spatio-temporelles deviennent :
⎡
R m = 1 ∫ πBT
⎣
2π −πBT
⎤
J∑
S j (ω)φ j (ω)φ j (ω) H + σn 2 I ⎦ e −imω dω
j=1
et
R m = 1 ∫ πBT
S S (ω)φ
2π
S (ω) φ S (ω) H e −imω dω
−πBT