TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÃ PARIS 6 SpÃ©cialitÃ© ...

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82 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR s’interpréter comme la valeur propre généralisée maximale des matrices de covariance signal utile et interférences plus bruit, qui ont une structure bloc Toeplitz lorsque les signaux sont modélisés par des processus aléatoires stationnaires au second ordre. Ainsi, nous avons montré que le SINR spatio-temporel optimal converge vers une limite qui peut s’interpréter comme un SINR spatial optimal à bande nulle. Finalement, nous avons illustré ce résultat sur des simulations numériques pour différents scénarios d’interférences en nous intéressant en particulier à la vitesse de convergence du SINR optimal à nombre de retards fixé vers le SINR spatio-temporel asymptotique.
Chapitre 5 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz Dans le chapitre 4, nous nous sommes intéressés à la distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices ayant une structure bloc Toeplitz. Nous avons ainsi généralisé le théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices Hermitiennes de structure bloc Toeplitz générées par des séquences d’éléments absolument sommables. Dans ce chapitre, notre objectif est d’étendre ce résultat aux valeurs propres généralisées de matrices multi-niveaux Toeplitz bloc Toeplitz, lorsque la dimension de chacun des blocs tend vers l’infini. 5.1 Introduction Les processus aléatoires discrets multidimensionnels apparaissent dans de nombreuses applications du traitement de signal. En imagerie, les données d’observation sont souvent modélisées par des processus aléatoires discrets 2-D. Cependant, il existe aussi de nombreux exemples dans lesquels les données sont 3-D, comme par exemple l’imagerie hyperspectrale (dimension spatiale en x × dimension spatiale en y × longueur d’onde) (cf. par exemple [61]) ou l’imagerie interférométrique SAR (IF-SAR) (dimension spatiale en x × dimension spatiale en y × élévation) (cf. par exemple [62,63]) pour lesquels un traitement multidimensionnel est utilisé (cf. par exemple [64–66]). Dans ces applications, si le processus aléatoire est stationnaire au second ordre, sa matrice de covariance est structurée. Plus précisément, si un bloc d’échantillons, de dimension n 1 × n 2 × ... × n P , d’un processus aléatoire P-dimensionnel stationnaire au second ordre est regroupé dans un vecteur par concaténation par ordre alphabétique des données suivant les différentes dimensions, la matrice de covariance de ce vecteur aura une structure P-dimensionnelle Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz (MTBT) (cf. par exemple [67]). Le problème de l’étude de la distribution asymptotique des valeurs propres de matrices Toeplitz Bloc Toeplitz (avec P = 2) avec à la fois la taille des blocs et leur nombre tendant vers l’infini, a été considéré dans [68]. L’auteur s’est placé sous l’hypothèse de matrices générées par des séquences d’éléments absolument sommable et repris l’approche proposée par Gray dans [48]. Puis, sous des hypothèses mathématiques plus large, une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres de matrices MTBT a été donnée (cf. par exemple [44]). Cependant, à notre connaissance, il n’existe pas d’extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices MTBT. Dans ce chapitre, nous proposons une preuve de cette extension sous l’hypothèse de matrices générées par des séquences d’éléments absolument sommables. Celle-ci repose sur une extension de la notion d’équivalence asymptotique entre séquences de matrices.
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Remerciements Je souhaiterais tout
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Annexe D Preuve de Résultat 7 Tout
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Annexe F Calcul du SINR normalisé
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Annexe G Calcul de la puissance ré
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Bibliographie [1] R. Monzingo and T
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BIBLIOGRAPHIE 167 [46] U. Grenander
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