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TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

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Chapitre 5<br />

Distribution asymptotique des valeurs<br />

propres généralisées de matrices<br />

Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz<br />

Dans le chapitre 4, nous nous sommes intéressés à la distribution asymptotique des valeurs propres<br />

généralisées de matrices ayant une structure bloc Toeplitz. Nous avons ainsi généralisé le théorème de<br />

Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices Hermitiennes de structure bloc Toeplitz générées par<br />

des séquences d’éléments absolument sommables. Dans ce chapitre, notre objectif est d’étendre ce résultat<br />

aux valeurs propres généralisées de matrices multi-niveaux Toeplitz bloc Toeplitz, lorsque la dimension<br />

de chacun des blocs tend vers l’infini.<br />

5.1 Introduction<br />

Les processus aléatoires discrets multidimensionnels apparaissent dans de nombreuses applications du<br />

traitement de signal. En imagerie, les données d’observation sont souvent modélisées par des processus<br />

aléatoires discrets 2-D. Cependant, il existe aussi de nombreux exemples dans lesquels les données sont<br />

3-D, comme par exemple l’imagerie hyperspectrale (dimension spatiale en x × dimension spatiale en<br />

y × longueur d’onde) (cf. par exemple [61]) ou l’imagerie interférométrique SAR (IF-SAR) (dimension<br />

spatiale en x × dimension spatiale en y × élévation) (cf. par exemple [62,63]) pour lesquels un traitement<br />

multidimensionnel est utilisé (cf. par exemple [64–66]). Dans ces applications, si le processus aléatoire<br />

est stationnaire au second ordre, sa matrice de covariance est structurée. Plus précisément, si un bloc<br />

d’échantillons, de dimension n 1 × n 2 × ... × n P , d’un processus aléatoire P-dimensionnel stationnaire au<br />

second ordre est regroupé dans un vecteur par concaténation par ordre alphabétique des données suivant<br />

les différentes dimensions, la matrice de covariance de ce vecteur aura une structure P-dimensionnelle<br />

Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz (MTBT) (cf. par exemple [67]).<br />

Le problème de l’étude de la distribution asymptotique des valeurs propres de matrices Toeplitz Bloc<br />

Toeplitz (avec P = 2) avec à la fois la taille des blocs et leur nombre tendant vers l’infini, a été considéré<br />

dans [68]. L’auteur s’est placé sous l’hypothèse de matrices générées par des séquences d’éléments absolument<br />

sommable et repris l’approche proposée par Gray dans [48]. Puis, sous des hypothèses mathématiques<br />

plus large, une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres de matrices MTBT a été donnée (cf.<br />

par exemple [44]). Cependant, à notre connaissance, il n’existe pas d’extension du théorème de Szegö aux<br />

valeurs propres généralisées de matrices MTBT.<br />

Dans ce chapitre, nous proposons une preuve de cette extension sous l’hypothèse de matrices générées<br />

par des séquences d’éléments absolument sommables. Celle-ci repose sur une extension de la notion<br />

d’équivalence asymptotique entre séquences de matrices.

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