2013 Chapitre 10 Flambement de plaques orthotrope soumise à ...

Mécanique des structures en matériaux composites par les méthodes
analytiques et des éléments finis - Statique
2013
Chapitre 10 Flambement de plaques orthotrope
soumise à une compression biaxiale
10.1 Expression générale
Lors du développement des équations d’équilibre des plaques dans le chapitre 7, les déplacements
suivant la direction Z, causées par les contraintes résultantes dans le plan du stratifié de composite
N x , N y et N xy sont négligées. Cependant, il est connu que les charges de compression
suffisamment fortes engendrent des déplacements perpendiculaires au plan du stratifié pouvant
causer sa rupture ou une flèche très importante. Ce phénomène est connu comme le flambement
ou instabilité élastique. Notons que la contrainte normale σ cr correspond à la charge de
compression appliquée N cr est bien inférieure à la résistance en compression du composite.
Afin d’analyser le flambement d’un stratifié de composite, il est nécessaire de développer des
équations en tenant compte du déplacement latéral causé par les contraintes résultantes en
membrane.
Figure 10.1
Déformée latérale d’élément d’une plaque sous l’action des contraintes
résultantes en membrane [3].
1

Mécanique des structures en matériaux composites par les méthodes
analytiques et des éléments finis - Statique
2013
La déformation suivant la direction Z du stratifié soumis aux contraintes résultantes N x , N y et N xy
peut se calculer en considérant l’équilibre du stratifié illustré à la figure (10.1) :
2 2 2
∂ w ∂ w ∂ w
Nx + 2N
2 xy
+ N
2 y
= 0
2
∂x ∂x ∂y
(10.1)
En tenant compte les contraintes résultantes de cisaillement transverse Q x , Q y et la charge
unitaire transversale q(x,y) la déformation totale suivant la direction Z du stratifié devient :
2 2 2
∂Q ∂Q
x y ∂ w ∂ w ∂ w
+ + Nx + 2N
2 xy
+ N
2 y
+ q(x,y) = 0
2
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
(10.2)
Sachant que :
∂M
∂M x xy
∂My ∂Mxy
+ = Qx
and + = Q
∂x ∂y ∂y ∂x
L’équation (10.1) devient par conséquent :
y
2 2 2
2 2 2
∂ M ∂ M
x
xy
∂ My
∂ w ∂ w ∂ w
+ 2 + + N
2 2 x
+ 2N
2 xy
+ N
2 y
+ q(x,y) = 0
2
∂x ∂∂ xy ∂y ∂x ∂x ∂y
(10.3)
En considérant les relations : déformations-déplacements et courbures dans un stratifié équation
(10.3) est remplacée par :
4 4 4 4
∂ w ∂ w ∂ w ∂ w
D + 4D + 2(D + 2D ) + 4D
∂x ∂x∂y ∂x∂y ∂∂ xy
11 4 16 3 12 66 2 2 26 3
4 3 0 3 0 3 0
∂ w ∂ u ∂ u ∂ u
+ D −B −3B − (B + 2B )
∂y ∂x ∂x∂y ∂∂ xy
22 4 11 3 16 2 12 66 2
3 0 3 0 3 0 3 0
∂ u ∂ v ∂ v ∂ v
−B −B − (B + 2B ) −3B
∂y ∂x ∂x∂y ∂∂ xy
26 3 16 3 12 66 2 26 2
3 0 2
∂ v
∂ w
− B += q(x, y) + N + 2N
∂y
∂x
22 3 x 2 xy
∂ w
+ N
∂∂ xy
∂ w
∂y
2 2
y 2
(10.4)
Dans le cas d’un plaque rectangulaire de stratifié de composite symétrique orthogonal en simple
support aux quatre côtés, qui est soumise à une compression bi-axiale où N x =-N x0 et N y =-N y0 ;
N xy =q(x,y)=0; B ij =0 et A 16 =A 26 =D 16 =D 26 =0, équation (10.4) devient :
4 4 4 2 2
∂ w ∂ w ∂ w ∂ w ∂ w
D11 + 2(D
4 12
+ 2D
66) + D
2 2 22
=−N 4 x0
−N
2 y0 2
∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
(10.5)
2

Mécanique des structures en matériaux composites par les méthodes
analytiques et des éléments finis - Statique
2013
Les conditions aux frontières sont :
Sur les côtés où x=0 etx=a :
w 0 =0 d’où :
2 2
w0 w0
Mx D11 D 2 12
0
2
x
y
Sur les côté y=0 et y=b :
w 0 =0 d’où :
2 2
w0 w0
My D12 D 2 22
0
2
x
y
Les conditions sont satisfaites avec une flèche de la forme :
mx
ny
w
0(x, y) w
mn
sin sin
(10.6)
a b
La déformée de la plaque causée par le flambement dépend des valeurs de m et de n qui désigne
le nombre des demi-sinusoïdes suivant les directions x et y respectivement.
En rapportant (10.6) dans (10.5), l’équation suivante est obtenue :
w [D m 2(D 2D )m n R D n R ] w (N m N n R )a
2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2
mn 11 12 66 22 mn x0 y0
où R=a/b
Une solution non nulle de cette équation conduit à la relation suivante :
2
2 2 2
4 2 2 2 4 4
Nx0m Ny0n R [D11m 2(D12 2D 66)m n R D22n R ] (10.7)
a
10.2 Compression uniaxiale
Dans le cas d’une compression uniaxiale suivant x, la contrainte résultante N x0 =N 0 et N y0 =0.
Équation (10.7 devient :
2
4 2 2 2 4 4
N
0(m,n) [D
2 2 11m 2(D12 2D 66)m n R D22n R ]
(10.8)
ma
3

Mécanique des structures en matériaux composites par les méthodes
analytiques et des éléments finis - Statique
2013
La contrainte résultante critique causant le flambement de la plaque peut être déterminée en
utilisant une combinaison quelconque de m et n. Pour une valeur fixe de m, il est constaté que N 0
est minimale lorsque n=1. L’équation (10.8) devient :
2
4 2 2 4
N
0(m,1) [D
2 2 11m 2(D12 2D 66)m R D22R ]
(10.9)
ma
La valeur de N 0 pour un facteur m quelconque dépend de la rigidité de la plaque et le rapport
géométrique R=a/b.
Pour le cas où D 11 /D 22 =10 et (D12+2D66)/D22=1, équation (10.9 est réduite à :
2
D22
2 1 2 1 2
N
0(m,1) [10m ( ) 2 R ]
(10.10)
2 2
b R m
La contrainte résultante critique peut être définie comme :
2
Nb
0
2 1 2 1 2
cr
2 2
D22
R m
N [10m ( ) 2 R ]
(10.11)
La figure (10.2) présente Ncr
fonction(m,R) . Chacune des valeurs de m correspond à une
mode de déformation particulière.
Figure 10.2
Contrainte résultante pour plaques symétriques orthotropes en compression
uniaxiale en fonction du facteur m [1].
4

Mécanique des structures en matériaux composites par les méthodes
analytiques et des éléments finis - Statique
2013
10.3 Plaque carrée soumise à une compression biaxiale
Dans le cas d’une plaque carrée soumise à une compression biaxiale de valeurs identiques sur les
deux côtés : N x0 =N y0 =N 0 et R=1, équation (10.7) devient :
4
2 2 n
2 D11m 2(D12 2D 66)n D 22( )
2
N m
0(m,n)
2
a
n
2
1 ( )
m
(10.12)
Si D 11 ≥D 22 il est connu que le flambement est causé lorsque m=1. La contrainte résultante
critique est alors :
2
2 4
D11 2(D12 2D 66)n D22n
N
0(1, n)
2 2
a 1
n
(10.13)
Exemple 10.1
Soit un plaque en stratifié de composite uniaxial carbone /époxy (E 1 =148GPa, E 2 =10.5GPa, G 12 =
5.61GPa et nu 12 =0.3), symétrique orthogonale [0/90] S , en supports simples aux quatre côtés,
d’une la largeur de 1m et d’une épaisseur de 0.5mm. Calculez et dessinez le graphique de la
contrainte résultante critique en fonction de la longueur de la plaque sachant qu’elle est soumise
à :
1. Une compression uniaxiale;
2. une compression biaxiale dont les deux forces sont identiques.
Solution
1. Compression uniaxiale : En remplaçant les propriétés mécaniques du composite et b=1
dans l’équation (10.9), la contrainte résultante critique est :
2
2
N
0(m,1) 2.864[4.72m ( 1 ) 1.03 ( R )]
2 2
R
m
Le graphique de N 0 en fonction de R et de m est illustré à la figure (10.3)
2. Compression biaxiale : remplaçant N 0x =N 0y =N 0 dans l’équation (10.7), on obtient :
5

Mécanique des structures en matériaux composites par les méthodes
analytiques et des éléments finis - Statique
2013
N
0
1 1
R
R
2 1 2 2
m( ) n
R
4 4 2 2 2 4
2864.7[4.72m ( ) 1.03m n ( ) n ]
La figure (10.3) présente également N0 en fonction de R.
Figure 10.3
Contrainte résultante critique pour plaques symétriques orthotropes
rectangulaires en compression uniaxiale et biaxiale [1].
6

Mécanique des structures en matériaux composites par les méthodes
analytiques et des éléments finis - Statique
2013
Références :
[1] B. D. Agarwal, L.J Broutman 7 K. Chandrashekhara, Analysis and Performance of Fiber
Composites, 3 rd edition John Wiley and Sons, pp 295-301
[2] J.M. Berthelot, Matériaux composites comportement mécanique et structures,
Masson, 2 e édition, chap. 23.
[3] R.F. Gibson, Principles of composite material mechanics, second edition, CRC Press,
pp. 342-344
7