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Université de Pau et des Pays de l'Adour
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques
Avenue de l'Université 64000 Pau
Tél : 05 59 40 75 75
Partiel 16 Novembre 2006
Diplôme : Licence 2ème année
U.E : Introduction aux Probabilités
Durée : 1 heure 30 minutes
Documents non autorisés
Calculatrice UPPA autorisée
Exercice 1
Dans la production d'une pièce mécanique, il peut apparaître un défaut. Le processus de production
est trop complexe pour prévoir l'apparition de ce défaut. Il faut donc faire un contrôle de production
pour estimer le nombre de pièces défectueuses et être sûr de remplir les engagements pris vis à vis
de la clientèle.
Supposons que l'on a produit N pièces dont m (m ≤ N) sont défectueuses. On tire au sort n
(n ≤ N) pièces dans cette production.
1. Dans cette question, on modélise l'expérience en ne tenant pas compte de l'ordre.
a. Dénir l'univers correspondant.
b. Soit A k l'évènement {le nombre de pièces tirées défectueuses est égal à k} (où 0 ≤ k ≤ m).
Calculer P(A k ).
2. Dans cette question, on modélise l'expérience en tenant compte de l'ordre.
a. Dénir l'univers correspondant.
b. Soit B k l'évènement {le nombre de pièces tirées défectueuses est égal à k} (où 0 ≤ k ≤ m).
Calculer P(B k ).
3. Comparer P(A k ) et P(B k ). Conclure.
Exercice 2
Un étudiant se rend tous les jours (enn presque) à l'Université, distante de 5 km de son domicile.
Il fait le trajet à vélo à une vitesse moyenne de 30 km/h. Mais sur son parcours il rencontre 4 feux
de signalisation, non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit vert est égale à 2 3
, et la
probabilité qu'il soit orange ou rouge est égale à 1 3
. A toutes ns utiles, on rappelle que tout véhicule
doit s'arrêter lorsqu'un feu est orange... Bien entendu, un feu vert ne ralentit pas l'étudiant alors
qu'on estime qu'un feu orange ou rouge lui fait perdre une minute.
On note X le temps (exprimé en minutes) mis par l'étudiant pour se rendre à l'Université et Y le
temps perdu par l'étudiant à cause des feux de signalisation.
1. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire Y ?
b. Donner les valeurs de E(Y ) et Var(Y ).
2. a. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X. Tracer la courbe représentative
de cette fonction.
b. On suppose que l'étudiant part de chez lui 12 mn avant le début des cours. Calculer la probabilité
pour qu'il arrive en retard.
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