PDF - Université de Pau et des Pays de l'Adour

Université de Pau et des Pays de l’Adour Année 2006-2007
Département de Mathématiques
Introduction aux probabilités - Feuille d’exercices N˚5
Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux la
loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. Soient U = X − Y et V = X + Y . Calculer Cov (U, V ).
Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ? Conclusion ?
Exercice 2. On considère une pièce telle que la probabilité d’obtenir pile vaut p ∈]0, 1[. Un
individu joue avec cette pièce de la façon suivante : il lance tout d’abord la pièce jusqu’à ce qu’il
obtienne un premier pile. Si ce premier pile a été obtenu au lancer numéro n, il lance ensuite sa
pièce n fois. On note N le nombre de lancers nécéssaires à l’obtention du premier pile et X le
nombre de piles obtenus lors de la deuxième série de lancers.
1. Déterminer la loi du couple (N, X).
2. Déterminer la loi de X.
3. Montrer que X a même loi qu’un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l’une
suivant une loi de Bernoulli, l’autre suvant une loi géométrique.
4. Calculer l’espérance et la variance de X.
Exercice 3. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité
f (X,Y ) (x, y) = 1
π √ 3 e− 2 3 (x2 −xy+y 2 )
sur R 2 . Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ), la covariance de X et Y , ainsi que la
loi de X + Y .
Exercice 4.
1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de
paramètre λ. Déterminer la loi de X + Y l’aide d’un produit de convolution.
Plus généralement, déterminer la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes
suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
2. Soit donc (X i ) i≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle
de paramètre λ. On définit la variable aléatoire entière N par :
– si X 1 > 1 alors N = 0,
– si ∑ i
k=1 X k ≤ 1 < ∑ i+1
k=1 X k alors N = i.
Montrer que N suit la loi de Poisson de paramètre λ.
Exercice 5. Une montre subit des écarts quotidiens (positifs ou négatifs) que l’on suppose
indépendants d’un jour à l’autre et qui suivent tous la même loi de moyenne nulle et de variance
16 secondes. En supposant la montre bien réglée au départ, déterminer la probabilité que l’écart
sur une année (365 jours) soit inférieure à deux minutes. Déterminer un minorant de cette
probabilité à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Conclusion ?