PDF - Université de Pau et des Pays de l'Adour

Corrigé succinct du Contrôle continu du 16/11/2006
Diplôme : Licence 2ème année
U.E : Introduction aux Probabilités
Exercice 1
1. Dans cette question, on modélise l'expérience en ne tenant pas compte de l'ordre.
a. Ω 1 = {combinaisons de n éléments parmi N}
b. Equiprobabilité sur Ω 1 .
P(A k ) = Ck mC n−k
N−m
CN
n , si k ≤ n
P(A k ) = 0, si k > n.
2. Dans cette question, on modélise l'expérience en tenant compte de l'ordre.
a. Ω 2 = {arrangements de n éléments parmi N}
b. Equiprobabilité sur Ω 2 .
P(B k ) = Ck nA k mA n−k
N−m
A n , si k ≤ n (où Cn k compte les possibilités d'emplacement pour les pièces
N
défectueuses dans le n-uplet).
P(B k ) = 0, si k > n.
3. P(A k ) = P(B k ).
Exercice 2
1. a. Y ∼ B(4; 1/3).
b. E(Y ) = 4/3 et Var(Y ) = 8/9.
2. a. X = 10 + Y . Donc F X (x) = F Y (x − 10), i.e.
x < 10 F X (x) = 0
10 ≤ x < 11 F X (x) = 16/81 ≃ 0.1975
11 ≤ x < 12 F X (x) = 48/81 ≃ 0.5926
12 ≤ x < 13 F X (x) = 72/81 ≃ 0.8889
13 ≤ x < 14 F X (x) = 80/81 ≃ 0.9877
x ≥ 14 F X (x) = 1.
b. P(X > 12) = 1 − F X (12) = 1/9 ≃ 0.1111.
Exercice 3
1. X 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre ( a
a+b ).
E(X 1 ) =
a
a+b .
a
a+b+1 .
2. P(R 2 |R 1 ) = a+1
a+b+1 et P(R 2|B 1 ) =
X 2 suit la loi de Bernoulli de paramètre ( a
E(X 2 ) =
a
a+b ).
a+b . 1