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Université de Pau et des Pays de l’Adour
Département de Mathématiques Année 2006-2007
Introduction aux probabilités
Série n˚3
Exercice 1
Une urne contient neuf boules. Quatre de ces boules portent le numéro 0, trois portent le numéro
1 et deux le numéro 2. On tire au hasard deux boules simultanément. Tous les tirages sont supposés
équiprobables. Soit X la variable aléatoire égale à la somme des numéros marqués sur ces boules.
Déterminer la loi de X et représenter sa fonction de répartition.
Exercice 2
On lance une fois un dé non pipé.
1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points du dé. Donner la loi de X et son espérance.
2) On suppose qu’on reçoit 15 euros si on obtient 1, rien si on obtient 2, 3 ou 4, et 6 euros si on obtient
5 ou 6. Soit G la variable aléatoire au gain de ce jeu. Donner la loi de G et représenter sa fonction de
répartition. Que vaut le gain moyen ?
3) On suppose maintenant qu’on reçoit 27 euros pour un 1 et rien sinon. Auquel des deux jeux
préférez-vous jouer ? Pourquoi ?
Exercice 3
On jette 2 dés. Soit X la variable aléatoire égale au plus petit des deux nombres obtenus, Y la
variable aléatoire égale au plus grand des 2, et Z la différence, en valeur absolue, des points obtenus.
1) Déterminer la loi de X. Tracer sa fonction de répartition.
2) De même, donner les lois de Y et de Z.
3) Calculer l’espérance et la variance de X, Y et Z.
Exercice 4 (extrait examen septembre 2006)
Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela il a droit à deux tentatives : un premier
service, suivi, s’il n’est pas réussi, d’un deuxième service. La probabilité que le premier service réussisse
est 2/3. S’il a échoué, la probabilité que le deuxième service réussisse est 4/5. Lorsque les deux services
échouent il y a “double faute”, sinon la mise en jeu est réussie.
1) Déterminer la probabilité que, sur une remise en jeu, ce joueur fasse une double faute. En déduire
la probabilité que la mise en jeu soit réussie.
2) Ce joueur effectue 10 mises en jeu successives (dont les résultats sont indépendants les uns des
autres). Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de mises en jeu réussies.
(a) Quel est la loi de X ?
(b) Déterminer la probabilité que ce joueur réussisse au moins 9 mises en jeu. Calculer E(X).
Exercice 5
Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ > 0. Vérifier que
variable aléatoire intégrable. Calculer E[
1
1+X ]. Calculer E[ 1
(1+X)(2+X) ] et en déduire E[ 1
1
1 + X
2+X ].
est une
Exercice 6
On suppose que la probabilité de trouver une coquille sur une page d’un livre donné est 0, 01.
On suppose qu’une page contient au plus une coquille. Soit X la variable aléatoire correspondant au
nombre de coquilles observées dans un livre de 100 pages.
1) Reconnaître la loi de X et calculer la probabilité pour que le livre contienne au plus une coquille.