Les nombres complexes

I re C, D – math I – Les nombres complexes
2 2
⎛ b ⎞ ⎛ δ ⎞
⇔ ⎜ z + ⎟ − ⎜ ⎟ = 0
⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
⎛ b δ ⎞⎛ b δ ⎞
⇔ ⎜ z + − ⎟⎜ z + + ⎟ = 0
⎝ 2a 2a ⎠⎝ 2a 2a ⎠
b δ
b δ
⇔ z + − = 0 ou z + + = 0
2a 2a 2a 2a
b δ
b δ
⇔ z = − + ou z = − −
2a 2a 2a 2a
−b
− δ − b + δ
⇔ z = ou z =
2a
2a
Théorème
Toute équation du second degré
deux racines complexes données par :
2
az + bz + c = 0 (où a, b,c∈C et a ≠ 0
−b
− δ − b + δ
z1 = et z2
=
2a
2a
) a
où δ est l’une des rcc du discriminant
Remarques :
2
∆ = b −
4ac
Si ∆ = δ = 0 , alors les deux racines sont confondues et on dit que
−b
l’équation a une racine double z1 = z2
= .
2a
On a les mêmes formules bien connues que dans R sauf qu’on n’écrit
plus ∆ et qu’on n’a plus besoin de distinguer suivant le signe de ∆ !
En général on utilise plutôt la lettre z pour désigner une inconnue
complexe, mais rien n’interdit d’utiliser x, y ou toute autre lettre !
De la démonstration du théorème il découle immédiatement la formule
de factorisation suivante :
( )( )
2
az + bz + c = a z − z1 z − z2
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