Les nombres complexes

I re C, D – math I – Les nombres complexes
( ')
= cis ϕ − ϕ
⎛ z ⎞
∀z, z' ∈ arg z ⋅ z ' = arg(z) + arg(z ') et arg ⎜ ⎟ = arg(z) − arg(z ')
⎝ z ' ⎠
• C ( )
En effet soient z
= rcisϕ et z ' = r 'cis ϕ ' deux complexes sous leur forme
trigonométrique, alors z⋅ z ' = rcisϕ⋅ r 'cis ϕ ' = rr 'cis( ϕ + ϕ ') d’après la
propriété précédente donc arg(zz ') = ϕ + ϕ ' = arg(z) + arg(z ') .
De même :
z rcisϕ
r
= = cis( ϕ − ϕ ') , donc
z ' r 'cis ϕ' r '
⎛ z ⎞
arg ⎜ ⎟ = ϕ − ϕ ' = arg(z) − arg(z ') .
⎝ z ' ⎠
• Formule de MOIVRE (1667-1754)
( ) n
∀n ∈Z ∀ϕ∈ R cos ϕ + isin ϕ = cos(n ϕ ) + isin(n ϕ)
Démonstration :
Montrons d’abord par récurrence que la formule est vraie pour n ∈ N :
* n 0
= : ( ) 0
cos ϕ + isin ϕ = 1 et cos0 + i ⋅ sin0 = 1+ i⋅ 0 = 1, donc
( cos ϕ + isin ϕ ) 0
= cos 0 + isin 0
* Supposons que la formule est vraie pour n ∈ N , alors :
n+
1
( ) ( )
cis ϕ = cisϕ cis ϕ
n
= cis(n ϕ) ⋅cisϕ (hypothèse de récurrence)
= cis( nϕ + ϕ ) (voir page 18)
!
= cis ( n + 1 ) ϕ
La formule est donc vraie pour n ∈ N , d’où :
- 20 -