Les nombres complexes

I re C, D – math I – Les nombres complexes
3 π ⎛ π ⎞⎫
cosϕ = − = − cos = cos ⎜ π − ⎟ 2 6 ⎝ 6 ⎠⎬⎪
1 π ⎛ π ⎞
sin ϕ = = sin = sin
⎪
⎜ π − ⎟
2 6 ⎝ 6 ⎠ ⎪
⎭
donc
5 π
ϕ = ( + 2k π )
6
d’où
5π
z = 3cis ou z = 3e
6
5π
i
6
Remarque :
Le passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique est évident !
Exercices 18, 19, 20, 21
6) Racines n-ièmes complexes d’un nombre complexe
• Définition
Soit z ∈C et n ∈ N ( n ≥ 2)
nombre complexe u tel que
, on appelle racine n-ième (complexe) de z tout
n
u
= z .
• Recherche des racines n-ièmes de z :
Soit z
Ainsi
= rcisϕ et u cis
u
=
n
z et
n
= ρ α , alors : ( ) n
u = z ⇔ ρcisα = rcisϕ
( )
⇔ ρ n cis nα = rcisϕ
n
⎧ ρ =
⎪ r
⇔ ⎨
⎪⎩ n α = ϕ + 2k π k ∈
( Z)
⎧ ρ = n
r
⎪
⇔ ⎨ ϕ + 2kπ ϕ 2π
⎪α = = + k
⎩ n n n
arg(z) + 2kπ
arg(u) = ; toutes les racines n-ièmes ont donc
n
le même module et on obtient n arguments distincts :
en effet pour
ϕ 2 2 2
; ϕ + π ; ϕ + 2 ⋅ π ; ⋯ ; ϕ + ( n −1)
π
n n n n n n n
ϕ 2π ϕ ϕ
k = n : + n = + 2π = , etc…, d’où :
n n n n
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