Interaction Fluide Structure : Modélisation et ... - Université Lille 1

Table des matières 13
3.5.7.2. Déplacements des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.7. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Chapitre 4. Réduction de modèle en IFS par POD . . . . . . . . . . . . . . . 205
Aziz Hamdouni, Francisco Chinesta et Erwan Liberge
4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.2. Présentation générale de la POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.2.2. Formulation de la POD continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.2.3. Formulation discrète du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.2.4. La snapshot POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.2.5. Ecriture matricielle du modèle réduit ( a postériori) . . . . . . . . 213
4.2.6. Systèmes dynamiques pour l’équation de Navier-Stokes obtenus
à partir de la formulation continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.2.6.1. Système dynamique basé sur le champ de vitesse instantané 214
4.2.6.2. Sytème dynamique basé sur le champ de vitesse fluctuant . 215
4.2.6.3. Traitement du terme de pression . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.6.4. Stabilisation correction du système dynamique . . . . . . . 218
4.3. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3.1. Illustration sur une équation linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3.2. Illustration de l’approche sur des problèmes non linéaires . . . . 224
4.3.2.1. Test sur une configuration monodimensionnelle . . . . . . . 224
4.3.2.2. Ecoulement autour d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.4. Vers une stratégie adaptative : enrichissement de la base . . . . . . . . 232
4.4.1. A partir de la formulation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.4.2. Illustration de la méthode d’enrichissement de la base . . . . . . . 234
4.5. Application de la POD en interaction fluide structure . . . . . . . . . . 241
4.5.1. Etat de l’art de l’utilisation de la POD en interaction fluide structure 241
4.5.2. Application de la réduction de modèle à l’interaction fluide structure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.5.2.1. Illustration de la problématique . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.5.2.2. Solution proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.5.3. Système dynamique POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.5.3.1. Méthode des domaines fictifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.5.3.2. Système dynamique POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.5.3.3. Principe de l’algorithme de résolution . . . . . . . . . . . . . 258
4.5.4. Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.5.4.1. Cas monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.5.4.2. Cavité annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.5.4.3. Cylindre en oscillation forcée dans un canal . . . . . . . . . 265
4.5.4.4. Cylindre en oscillation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270