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Evaluation des options en temps discret : formule de Cox, Ross & Rubinstein
La formule d’évaluation des options en temps discret (méthode binômiale) a historiquement
été établie par Cox, Ross et Rubinstein (1979) 1 .
2.1. Démonstration de la formule
On suppose que l’évolution du cours de l’action sous-jacente à l’option correspond à chaque
instant :
- soit à un mouvement multiplicatif à la hausse u, avec une probabilité q ;
- soit à un mouvement multiplicatif à la baisse d, avec une probabilité 1-q.
La prime du call (C à la date t=0) évolue à chaque période dans le même sens que l’action
sous-jacente.
Tableau n°14 : évolution du cours de l’action sous-jacente et de la prime du call dans le
cadre d’un horizon à deux périodes
u²S
C uu
uS
C u
S udS C C ud
dS
C d
d²S
C dd
t = 0 t = 1 t = 2 t = 0 t = 1 t = 2
La méthode binômiale s’appuie sur la constitution d’un portefeuille d’arbitrage, c’est-à-dire
non risqué. Soit r le taux sans risque.
Le portefeuille d’arbitrage est alors constitué de
- 1 call acheté
- H actions vendues
1
Cox J., Ross S., Rubinstein M., “Options Pricing : A Simplified Approach”, Journal of Financial
Economics, octobre 1979

L’évolution de la valeur du portefeuille peut alors être schématisée par l’arbre suivant :
Tableau n°15 : évolution de la valeur d’un portefeuille d’arbitrage
dans le cadre d’un horizon à deux périodes
HS – C
q Hu²S - C uu
q HuS - C u 1-q
HudS - C ud
1-q HdS - C d q
1-q Hd²S – C dd
t = 0 t = 1 t = 2
Ce portefeuille étant - par hypothèse - non risqué, il rapporte le taux sans risque. Dès lors, en
se plaçant en t=0 :
HuS − Cu
HdS − Cd
HS–C = =
1+
r 1+
r
Par conséquent : HuS–C u = HdS – C d
HS (u – d) = C u – C d
HS =
Cu
− Cd
u − d
[équation 25]
[équation 26]
Soit 1+r = rˆ [équation 27]
HuS − Cu
HS–C = . Dès lors :
1+
r
C
HuS − Cu
= HS–
rˆ
= [ rˆ HS–uHS+Cu ]
rˆ1
C
= [ rˆ (
u
− Cd
Cu
− Cd
)–u( )+(
rˆ1
u − d u − d u − − d
)C u ] = [( rˆ1
u − d )C
d u +(
u −d
r )C d ]
Soit p =
u − d
d
[équation 28]
Dès lors : 1-p = 1–(
u − d ) = u
d
d r d
u− d
u − rˆ
.=
u − d
[équation 29]
Par conséquent :
C = .[pCu +(1-p)C rˆ1 d ] [équation 30]
Il convient de noter que cette formule ne fait pas référence à l’espérance de rendement de
l’investisseur qui traduirait son degré d’aversion vis-à-vis du risque. L’évaluation du call peut
par conséquent s’inscrire dans un univers risque-neutre qui suppose que l’espérance de
rendement de chaque actif financier est égale au taux sans risque.

En t = 1, le portefeuille vaut :
Hu² S − Cuu
HudS − C
HuS–C u =
=
rˆ
rˆ
Dès lors : Hu²S–C uu = HudS–C ud
On en déduit : HuS(u-d) = C uu –C ud
Cuu
− Cud
Donc : HuS =
u − d
ud
[équation 31]
Hu² S − Cuu
HuS–C u =
rˆ
Hu² S − C
C u = HuS –
rˆ
C u = [ rˆ HuS – Hu²S + Cuu ] = [ rˆ
rˆ1
rˆ1
C u = [ rˆ1
u rˆ −
− d C
d uu +
u u−ˆ −d
r C ud ].
uu
C
uu
− C
u − d
ud
Cuu
− C
–u
u − d
ud
+
u u − − d
d C uu ]
Par conséquent :
C u = rˆ1 [pCuu +(1-p)C ud ] [équation 32]
HdS–C d =
HudS − C
rˆ
ud
=
Hd² S − C
rˆ
dd
[équation 33]
Dès lors : HudS–C ud = Hd²S–C dd
Donc : HdS(u-d) = C ud –C dd
Cud
− Cdd
D’où : HdS =
u − d
Ainsi :
C d
HudS − C
= HdS–
rˆ
ud
= rˆ1 [ rˆ HdS – HudS + Cud ]
C
= [ rˆ
ud
− Cdd
Cud
− C
–u
rˆ1
u − d u − d
= [ rˆ1
u rˆ −
− d C
d ud +
u u−ˆ −d
r C dd ]
dd
+
u u − − d
d C ud ]
= [pCud +(1-p)C rˆ1 dd ] [équation 34]
En remplaçant C u et C d dans l’équation 30, on obtient :
C = rˆ1 {p rˆ1 [pCuu +(1-p)C ud ]+(1-p) rˆ1 [pCud +(1-p)C dd ]}

= 1
r ˆ²
{p²C uu+p(1-p)C ud +p(1-p)C ud +p(1-p)C ud +(1-p)²C dd }
=
r ˆ1 [p²C ²
uu+2p(1-p)C ud +(1-p)²C dd ] [équation 35]
Un horizon à deux périodes consiste à considérer que la date d’échéance du call est t = 2. A
cette date le call vaut, par principe, sa valeur intrinsèque. On peut alors écrire :
C =
1 [p².max(0, u²S–E)+2p(1-p).max(0, udS–E)+(1-p)².max(0, d²S–E)]
r ˆ²
C =
n
rˆ1 n ∑
k = 0
Cn k p k (1-p) n-k max(0, u k d n-k S–E), [équation 36]
en généralisant la formule précédente à un horizon à n périodes.
En outre, en t = 1, l’action vaut en moyenne : quS+(1-q)dS
Donc, en t = 0, l’action vaut en actualisant au taux sans risque l’expression précédente :
S = [quS+(1-q)dS]. Dès lors :
rˆ1
C = rˆ1 [qCu +(1-q)C d ].
Et comme on sait que C = rˆ1 .[pCu +(1-p)C d ], on en déduit que : p = q
Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de mouvements multiplicatifs à la hausse
de l’action.
Dans la mesure où l’évolution du cours de l’action à une date donnée est indépendant de
l’évolution du cours aux dates précédentes, X correspond à une succession de n épreuves
indépendantes ayant toutes une probabilité de réalisation égale à p (ou q). Donc X suit une loi
binomiale de paramètres n et p. En d’autres termes :
X a B(n, p) ⇒ P[X = k] = C p k (1-p) n-k [équation 37]
k
n
Soit a le nombre de mouvements multiplicatifs à la hausse de l’action permettant au call
d’être « in the money ». De la loi de X, il ressort que :
n
P[X ≥ a] = ∑
k = a
k
Cn
p k (1-p) n-k = P[X=a]+P[X=a+1]+…+P[X=n] [équation 38]
En décomposant la formule de C en deux sommes :

C =
a 1
rˆ1 n ∑ −
k = 0
+ n
n
rˆ1 ∑
k = a
k
Cn
p k (1-p) n-k max(0, u k d n-k S–E)
k
Cn
p k (1-p) n-k max(0, u k d n-k S–E) [équation 39]
Si k est compris entre 0 et a-1, alors il y a eu moins de « a » mouvements multiplicatifs à la
hausse. L’option est alors « out of the money ». En d’autres termes sa valeur intrinsèque est
nulle ce qui revient à écrire :
Max(0,u k d n-k S–E) = 0
Si k est au moins égal à a, alors l’option est « in the money ». En d’autres termes :
Max (0, u k d n-k S–E) = u k d n-k S–E.
Dans ce cas :
⇒ C =
rˆ1 n ∑
n
k = a
⇒ C =
rˆ1 n ∑
⇒ C = S∑
n
k = a
n
k = a
k
Cn
p k (1-p) n-k (u k d n-k S-E) [équation 40]
k
Cn
p k (1-p) n-k u k d n-k S-E rˆ -n n
∑
k = a
k
C
n
( r
up d( 1−
p)
ˆ )k [ ] n-k –E rˆ -n n
rˆ
∑
k = a
k
Cn
p k (1-p) n-k
k
Cn
p k (1-p) n-k
up
Soit : p’ = . [équation 41]
rˆ Dès lors : 1-p’ = 1–( ṷ )p = 1–( ṷ )( r r u rˆ −
− d )
d
rˆ(
u−d)
−u(ˆ
r−d)
=
rˆ(
u−d)
d(
u−rˆ)
= = ḓ (1-p) [équation 42]
rˆ(
u−d)
r
Donc, finalement : C = S∑
n
k = a
k
Cn
p’ k (1-p’) n-k –E rˆ -n n
∑
k = a
k
Cn
p k (1-p) n-k [équation 43]
Soit F (a,n,p) la fonction de répartition complémentaire de la loi binomiale. Dans ce cas :
C = SF(a,n,p’)–E rˆ -n F(a,n,p) [équation 44]
2.2. Détermination des paramètres binômiaux
La mise en application de la formule de Cox, Ross et Rubinstein repose sur la construction
d’arbres binômiaux qui représentent d’une part l’évolution du cours de l’action sous-jacente
sur un nombre de périodes fixé, d’autre part l’évolution de la prime de l’option.

Pour construire ces arbres, il convient de calculer, au préalable, les valeurs de p, u et d.
Celles-ci sont issues des propriétés de la distribution de probabilité du cours S de l’action
sous-jacente. On suppose en effet que l’action suit un mouvement brownien géométrique. En
d’autres termes :
dS = µ Sdt + σ dz [équation 45]
où µ désigne le rendement de l’action et σ sa volatilité. Dans ce cas, du fait de l’application
2
σ
du lemme d’Ito, le cours de l’action suit une loi log-normale de paramètres ( µ - )dt et 2
σ dt .
Pour ramener les expressions précedentes en temps discret, qui caractérise le modèle de Cox,
Ross et Rubinstein, on suppose désormais que le cours de S varie à l’issue de chaque petit
intervalle de temps ∆ t . Dans ce cas, les expressions les paramètres de la loi log-normale
2
σ
deviennent respectivement ( µ - ) ∆ t et σ ∆ t .
2
Ainsi E(S) =
µ∆t
S0 e
[équation 46]
2
2 2µ
. ∆t
σ ∆t
0
e .( e −1
[équation 47]
et V(S) = S
)
où S0
désigne le cours de l’action au début de l’intervalle
de l’intervalle ∆ t .
D’après le début de l’arbre binômial, il est également possible d’écrire :
∆t
et S le cours de l’action à la fin
E(S) = pu S 0
+(1-p)d S 0
[équation 48]
µ∆t
Dans ce cas : S0 e = pu S 0
+(1-p)d S 0
. Donc en simplifiant par S
0
:
e ∆t
µ = pu+(1-p)d = p(u-d) + d soit finalement, en isolant p :
p =
µ.∆t
e − d
u − d
[équation 49]
Il a été vu dans le paragraphe précédent que, l’évaluation de l’option peut s’inscrire dans un
univers risque neutre. Dans ce cas, il convient de remplacer µ par r, où r désigne le taux sans
risque. Dès lors :
En univers risque-neutre : p =
e
r .∆ t − d
u − d
. [équation 50]
En utilisant la formule de Huyghens,
2
V( S ) = E( E S , [équation 51]
S ) - [ ( )] 2
on obtient une seconde expression de V(S) :

2 2
2 2
V(S) = p. u . S (1 − p).
d S − S .[ pu + ( 1−
p).
d )] 2
0
+ [équation 52]
0
2 0
On peut alors écrire en égalisant les 2 expressions de la variance de S (équations 47 et 52) :
p
[ pu + ( 1−
p).
)] 2
2 2µ
. ∆t
σ ∆t
+ = S e .( e 1)
.
2 2
2 2
. u . S
2 0
(1 − p).
d S0
− S0
.
d
Donc en simplifiant par
2
S
0
:
[ pu + ( 1−
p )] 2
p. u
2 + (1 − p).
d
2 − ). d
2µ
. ∆t
σ ∆t
= e .( e −1)
soit encore :
p
2 2
( 1−
p) 2
2 2 2
. u (1 − p).
d − p u − 2 p(1
− p)
ud − d
2
2
0
−
2µ
. ∆t
σ ∆t
+ = e .( e −1)
[ 1−
( 1−
p)
] − 2 p(1
− p ud
2
2
2µ
. ∆t
σ ∆t
p . u (1 − p)
+ (1 − p).
d
) = e .( e −1)
2
2
2µ
. ∆t
σ ∆t
p . u (1 − p)
+ (1 − p).
d . p − 2 p(1
− p)
ud = e .( e −1)
2
2
( 1 p)( u − 2ud
)
2µ
. ∆t
σ ∆t
p . − + d = e .( e −1)
( 1 p)( u − ) 2
2µ
. ∆t
σ ∆t
p. − d = e .( e −1)
2
2
2
2
2
En supposant désormais que d = u
1 et en remplaçant p par sa valeur, on en déduit que :
u = e
et d = e
σ . ∆t
− σ .
∆t
[équation 53]
[équation 54]