Evaluation des options en temps discret : formule de Cox ... - blog.de

= 1
r ˆ²
{p²C uu+p(1-p)C ud +p(1-p)C ud +p(1-p)C ud +(1-p)²C dd }
=
r ˆ1 [p²C ²
uu+2p(1-p)C ud +(1-p)²C dd ] [équation 35]
Un horizon à deux périodes consiste à considérer que la date d’échéance du call est t = 2. A
cette date le call vaut, par principe, sa valeur intrinsèque. On peut alors écrire :
C =
1 [p².max(0, u²S–E)+2p(1-p).max(0, udS–E)+(1-p)².max(0, d²S–E)]
r ˆ²
C =
n
rˆ1 n ∑
k = 0
Cn k p k (1-p) n-k max(0, u k d n-k S–E), [équation 36]
en généralisant la formule précédente à un horizon à n périodes.
En outre, en t = 1, l’action vaut en moyenne : quS+(1-q)dS
Donc, en t = 0, l’action vaut en actualisant au taux sans risque l’expression précédente :
S = [quS+(1-q)dS]. Dès lors :
rˆ1
C = rˆ1 [qCu +(1-q)C d ].
Et comme on sait que C = rˆ1 .[pCu +(1-p)C d ], on en déduit que : p = q
Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de mouvements multiplicatifs à la hausse
de l’action.
Dans la mesure où l’évolution du cours de l’action à une date donnée est indépendant de
l’évolution du cours aux dates précédentes, X correspond à une succession de n épreuves
indépendantes ayant toutes une probabilité de réalisation égale à p (ou q). Donc X suit une loi
binomiale de paramètres n et p. En d’autres termes :
X a B(n, p) ⇒ P[X = k] = C p k (1-p) n-k [équation 37]
k
n
Soit a le nombre de mouvements multiplicatifs à la hausse de l’action permettant au call
d’être « in the money ». De la loi de X, il ressort que :
n
P[X ≥ a] = ∑
k = a
k
Cn
p k (1-p) n-k = P[X=a]+P[X=a+1]+…+P[X=n] [équation 38]
En décomposant la formule de C en deux sommes :