Evaluation des options en temps discret : formule de Cox ... - blog.de

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= 1 r ˆ² {p²C uu+p(1-p)C ud +p(1-p)C ud +p(1-p)C ud +(1-p)²C dd } = r ˆ1 [p²C ² uu+2p(1-p)C ud +(1-p)²C dd ] [équation 35] Un horizon à deux périodes consiste à considérer que la date d’échéance du call est t = 2. A cette date le call vaut, par principe, sa valeur intrinsèque. On peut alors écrire : C = 1 [p².max(0, u²S–E)+2p(1-p).max(0, udS–E)+(1-p)².max(0, d²S–E)] r ˆ² C = n rˆ1 n ∑ k = 0 Cn k p k (1-p) n-k max(0, u k d n-k S–E), [équation 36] en généralisant la formule précédente à un horizon à n périodes. En outre, en t = 1, l’action vaut en moyenne : quS+(1-q)dS Donc, en t = 0, l’action vaut en actualisant au taux sans risque l’expression précédente : S = [quS+(1-q)dS]. Dès lors : rˆ1 C = rˆ1 [qCu +(1-q)C d ]. Et comme on sait que C = rˆ1 .[pCu +(1-p)C d ], on en déduit que : p = q Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de mouvements multiplicatifs à la hausse de l’action. Dans la mesure où l’évolution du cours de l’action à une date donnée est indépendant de l’évolution du cours aux dates précédentes, X correspond à une succession de n épreuves indépendantes ayant toutes une probabilité de réalisation égale à p (ou q). Donc X suit une loi binomiale de paramètres n et p. En d’autres termes : X a B(n, p) ⇒ P[X = k] = C p k (1-p) n-k [équation 37] k n Soit a le nombre de mouvements multiplicatifs à la hausse de l’action permettant au call d’être « in the money ». De la loi de X, il ressort que : n P[X ≥ a] = ∑ k = a k Cn p k (1-p) n-k = P[X=a]+P[X=a+1]+…+P[X=n] [équation 38] En décomposant la formule de C en deux sommes :
C = a 1 rˆ1 n ∑ − k = 0 + n n rˆ1 ∑ k = a k Cn p k (1-p) n-k max(0, u k d n-k S–E) k Cn p k (1-p) n-k max(0, u k d n-k S–E) [équation 39] Si k est compris entre 0 et a-1, alors il y a eu moins de « a » mouvements multiplicatifs à la hausse. L’option est alors « out of the money ». En d’autres termes sa valeur intrinsèque est nulle ce qui revient à écrire : Max(0,u k d n-k S–E) = 0 Si k est au moins égal à a, alors l’option est « in the money ». En d’autres termes : Max (0, u k d n-k S–E) = u k d n-k S–E. Dans ce cas : ⇒ C = rˆ1 n ∑ n k = a ⇒ C = rˆ1 n ∑ ⇒ C = S∑ n k = a n k = a k Cn p k (1-p) n-k (u k d n-k S-E) [équation 40] k Cn p k (1-p) n-k u k d n-k S-E rˆ -n n ∑ k = a k C n ( r up d( 1− p) ˆ )k [ ] n-k –E rˆ -n n rˆ ∑ k = a k Cn p k (1-p) n-k k Cn p k (1-p) n-k up Soit : p’ = . [équation 41] rˆ Dès lors : 1-p’ = 1–( ṷ )p = 1–( ṷ )( r r u rˆ − − d ) d rˆ( u−d) −u(ˆ r−d) = rˆ( u−d) d( u−rˆ) = = ḓ (1-p) [équation 42] rˆ( u−d) r Donc, finalement : C = S∑ n k = a k Cn p’ k (1-p’) n-k –E rˆ -n n ∑ k = a k Cn p k (1-p) n-k [équation 43] Soit F (a,n,p) la fonction de répartition complémentaire de la loi binomiale. Dans ce cas : C = SF(a,n,p’)–E rˆ -n F(a,n,p) [équation 44] 2.2. Détermination des paramètres binômiaux La mise en application de la formule de Cox, Ross et Rubinstein repose sur la construction d’arbres binômiaux qui représentent d’une part l’évolution du cours de l’action sous-jacente sur un nombre de périodes fixé, d’autre part l’évolution de la prime de l’option.
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