production par anticipation

3 e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation «Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels»
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)
ANALYSE D’UN SYSTEME DE PILOTAGE MIXTE :
PRODUCTION A LA COMMANDE – PRODUCTION PAR ANTICIPATION
Khaled HADJ YOUSSEF * , Yves DALLERY *°
* Laboratoire Productique-Logistique
Ecole Centrale Paris.
Grande Voie des Vignes 92 295 Châtenay-Malabry
cedex, France.
Mél : khaled@pl.ecp.fr, dallery@pl.ecp.fr
Christian VAN DELFT °
° Département MIL
Groupe HEC.
78 351 Jouy-en-Josas cedex, France.
Mél : vandelft@gwsmtp.hec.fr
RESUME : Dans ce travail, on s’intéresse à l’optimisation des systèmes industriels assurant la production de deux
catégories de produits : des produits à demandes élevées qui sont fabriqués par anticipation et des produits à demandes
faibles (voire intermittentes) qui sont fabriqués à la commande.
Deux politiques de pilotage de flux ont été considérées pour ces systèmes : la politique FIFO (First In First Out) où le
premier produit qui est demandé sera le premier à occuper la machine, et ensuite la politique PP (Priorité avec Préemption)
où on donne une priorité totale aux produits à demandes faibles sur les produits à demandes élevées.
Contrairement à ce que pourrait laisser supposer l'intuition les résultats présentés dans ce papier montrent que le passage
d'une politique FIFO vers une politique PP n’est pas toujours bénéfique. Cependant, on remarque bien que ce
passage peut induire, dans plusieurs cas, un gain très important au niveau du coût total de production.
MOTS-CLES : Production à la commande ; Production par anticipation ; Partage de capacité ; FIFO ; Priorité.
1. INTRODUCTION
Afin de pouvoir répondre aux demandes des clients dans
des délais courts, tout en minimisant le coût total de
production, les gestionnaires d'entreprises industrielles se
trouvent souvent obligés de répondre à trois questions
clés : quel produit fabriquer ? quand le fabriquer ? et
combien en fabriquer ?
Pour résoudre ce problème, on adopte généralement une
stratégie de production qui permet de déterminer les
grandes lignes des décisions à prendre dans ce contexte.
Parmi les stratégies généralement adoptées on cite :
• Production par anticipation (Make to stock) qui
consiste à constituer un stock de produits finis à partir
duquel les commandes des clients sont directement servies.
Cette approche engendre généralement un délai
quasiment nul, un bon taux de service, un minimum de
temps de réponse, mais elle provoque en contre partie
des coûts de stockage importants.
Traditionnellement, cette stratégie est recommandée
pour la production en grande série des produits standards
à forts volumes de demandes.
• Production à la commande (Make to order) où on ne
commence la fabrication qu'à la réception de la demande.
Cette approche élimine les stocks de produits
finis, par contre, elle augmente le temps de réponse de
l’entreprise.
Cette stratégie est recommandée pour les productions
unitaires et de petites séries des produits très personnalisés
et à demande intermittente.
• Assemblage à la commande (Assemble to order) :
cette stratégie est une combinaison des deux précédentes
; elle consiste à fabriquer les composants du produit
par anticipation mais ne faire l’assemblage que sur
commande, ce qui est très utile dans le cas des produits
personnalisés et qui sont composés des pièces standards.
Plusieurs travaux de recherche ont traité le problème de
la sélection optimale de la stratégie de pilotage des flux
et de la détermination des paramètres associés (comme
les niveaux de stocks par exemple). D’autres travaux ont
analysé en particulier la stratégie de l'assemblage à la
commande, en étudiant le choix optimal de la frontière
qui divise le système de production en deux sous systèmes
l’un fonctionnant par anticipation et l’autre à la
commande.
Dans cet article, on s’intéresse à un autre type de problèmes
qui tournent autour de la problématique de la
combinaison des deux stratégies : fabrication à la commande
et fabrication par anticipation. On considère ici
un système industriel réalisant la production de deux
catégories de produits: une famille de produits à demandes
élevées qu’on note par HV (High Volume), pour
lesquels on adopte généralement une stratégie de production
par anticipation, et ensuite une catégorie de
produits à demandes faibles, qu’on note par LV (Low
Volume), pour lesquels on adoptera plutôt une fabrication
à la commande.
Il est clair ici qu’on aura un problème de partage de
capacité de production, où on sera amené à définir
l’ordre de passage des différents types de produit dans le
système.
La politique la plus naturelle, et la plus simple à gérer,
est la priorité FIFO (First In First Out). Dans ce cas, la
première commande arrivée est la première qui sera
réalisée.

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Une politique alternative consiste à donner une priorité
totale aux produits LV sur les produits HV. Une telle
stratégie permet de diminuer le temps de réponse de
l’entreprise pour les produits LV. En contrepartie, elle va
causer nécessairement l’augmentation du niveau de stock
des produits de type HV.
Dans quelle mesure une telle approche est-elle plus efficace
que la simple politique FIFO ? Comment fixer les
paramètres optimaux dans ces deux stratégies ? Telles
sont les questions auxquelles on a essayé de répondre
dans ce travail.
2. MODELISATION DU PROBLEME
2.1. Hypothèses
Afin de pouvoir étudier le problème, plusieurs simplifications
et hypothèses ont été prises :
• On s’intéresse à un système de production comportant
un seul étage de fabrication (constitué d’une seule
machine) piloté selon le principe Base Stock Control
System (BSCS) dont le principe de fonctionnement est
décrit par la figure suivante :
• Le temps de production suit une loi exponentielle
de taux µ quelle que soit la classe du produit.
• Les stocks sont à capacités illimitées.
• Pas de temps de changement de série, ni de phénomène
de pannes.
Deux autres hypothèses ont été posées, qui fixent le
cadre des résultats obtenus :
• On suppose que k LV >>k HV : c'est-à-dire que le nombre
des LV est largement supérieur au nombre des HV ;
la capacité de production étant toutefois également répartie
entre les deux catégories de produits. Autrement
dit, si on appelle ρ HV le taux d’utilisation de la machine
par les produits de type HV et ρ LV le taux d’utilisation de
la machine par les produits de type LV, on prend
l’hypothèse que ρ HV = ρ LV ⇔ ∑
i=
1 µ i=
kHV + µ 1
En particulier, si toutes les demandes des produits de
type HV ont le même taux d’arrivée λ HV et que toutes les
demandes des produits de type LV ont le même taux
d’arrivée λ LV on aura dans ce cas k HV .λ HV = k LV .λ LV . Or
puisque k LV >>k HV on aura λ LV

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vient alors pour terminer le traitement des produits de
type HV. De plus, la priorité entre les produits de même
type est simplement FIFO.
2.2. Notations
Min Z(s 1 ,s 2,….., s k ) =
k
∑
i=
1
c
di ≤ d i
. i = 1,2……k
s i
≥ 0,
∀i
tq :
h .
i
xi
(s 1 ,s 2,….., s k )
Dans tout ce qui suit, on adoptera la notation suivante :
µ : taux de service de la machine
ρ : taux d’occupation de la machine
k : le nombre de classes de produits, k HV : le nombre de
classes de produits de type HV, k LV : le nombre de classes
de produits de type LV, avec k HV + k LV = k
Z : le coût total par unité de temps
Pour chaque classe i, (i = 1,2…..k), on définit :
λ
i
: taux d’arrivée des demandes de type i
N i : la variable aléatoire représentant le nombre de pièces
de type i présentes dans le système (stock des pièces
brutes et machine )
s i : le stock nominal des produits finis de type i
X : la variable aléatoire représentant le nombre de
i
pièces de type i présentes dans le stock des produits
finis
Y : la variable aléatoire représentant le nombre de demandes
de type i en attente
i
D i : la variable aléatoire représentant le temps d’attente
d’une demande de type i
On définit aussi :
h i : le coût unitaire ( par unité de produit par unité de
temps) de stockage des produits de type i
x
i
= E[ X ] : le nombre moyen de pièces de type i
i
présentes dans le stock des produits finis
y
i
= E[ Y ] : le nombre moyen de demandes de type i en
i
attente
d
i
= E[D i ] : le temps moyen d’attente des demandes de
type i
2.3. Formulation
Deux types de formulations sont possibles. Le problème
peut tout d'abord être formulé comme la minimisation de
la somme du coût de stockage des produits et du coût
d’attente des demandes qui ne sont pas satisfaites immédiatement.
Une formulation alternative consiste à minimiser
le coût de stockage, sous la contrainte de satisfaire
un certain taux de service.
Dans ce travail on va adopter le second type. Plus précisément,
on s’intéressera à la détermination des stocks
optimaux
* * *
( s
1
, s2
,...., sk
) qui sont les valeurs respectives de
(s 1 ,s 2,….., s k ) qui minimisent le coût de stockage des produits
finis, sous la contrainte que pour chaque type i de
demande, le temps moyen d’attente soit inférieur à une
c
valeur critique d
i
.
Formellement, ceci se traduit par:
3. PRINCIPE DE RESOLUTION
Pour comparer les deux stratégies, il est nécessaire pour
chaque cas d'optimiser les paramètres du problème associé
et d'évaluer le coût total optimal correspondant. Par
souci de clarté des diagrammes, on s’intéressera surtout à
la différence des coûts engendrés par les deux politiques
en étudiant le gain qu’on définit par :
G% =
Z − Z
FIFO
Z
FIFO
PRE
*100
Où Z FIFO est le coût total optimal engendré si on emploie
la politique FIFO et Z PRE est le coût total optimal
engendré si on emploie la politique Priorité Préemptive.
3.1. Étude de la stratégie FIFO
(Buzacott et Shanthikumar, 1993) ont traité le problème
considéré ici dans le cas de la stratégie FIFO. Ils ont
démontré en particulier qu’on peut décomposer la problématique
multi-produits en plusieurs problématiques
mono-produits indépendantes les unes des autres. Ce
résultat conduit à la reformulation suivante :
Min Z(s 1 ,s 2,….., s k ) =
tq :
Chaque sous-problème possède alors une solution analytique.
En particulier (Buzacott et Shanthikumar, 1993)
ont obtenu l'expression des lois stationnaires des variables
aléatoires X i et Y i à partir de la loi stationnaire de N i .
On peut, à partir de cela, calculer l'expression analytique
des valeurs de x s ) et de y s ) :
i ( i
k
∑
i=
1
c
di ≤ d i
. i = 1,2……k
s i
≥ 0,
∀i
h .
i
xi
Min Z i (s i ) =
tq :
s i
c
di ≤ d i
.
≥ 0
i = 1,2……k
i ( i
(s 1 ,s 2,….., s k )
h . (s i )
i
xi
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ˆ ρi
s
x = s ( i
i − 1 − ˆ ρ )
i
1 − ˆ ρi
s
ρ
y i + 1
ˆ
i
= i
1−
ˆ ρi
λi
où : ρˆ
i
=
µ − ∑ λ j
j≠i
Il est alors possible d'identifier pour chaque type de
produit le stock optimal s i * solution du problème. (Hadj
youssef, 2000) a démontré que s i * est donné par
l’expression suivante :
*
s
i
= MAX
⎛ ⎡
⎜ ln
⎢
⎜
⎝
⎢
c
( λ . ( 1−
ˆ ρ
)
i d i
ln ˆ ρi
i
i
⎤ ⎞
−1⎥,0
⎟
⎟
⎥ ⎠
On peut donc calculer le coût optimal pour chaque classe
par l’expression :
Z i (s * ⎛
⎞⎞
i ) = h
i. xi
= h i . ⎜
⎟
⎜
⎛ *
* ˆ ρi
− s
s − 1 ˆ i
i
ρ ⎟
⎝ 1 − ˆ i
ρi
⎝ ⎠⎠
Le coût total optimal associé à la politique FIFO est alors
k
donné par : Z FIFO = ∑ Z i (
*
s i ) .
i=
1
3.2. Étude de la stratégie Priorité avec préemption
Dans le cas de la stratégie Priorité Préemptive, il n'existe
aucune expression analytique pour le coût total optimal
Z PRE . On a donc eu recours à une approche de simulation
pour estimer les valeurs numériques de ce coût. Une
propriété intéressante, liée à la structure du problème,
rend l'approche d'optimisation via simulation très efficace.
En effet, soient P s ( X = i)
la probabilité d’avoir i
pièces dans le stock de produits finis sachant qu’on a un
stock nominal de s pièces et P s ( Y = i)
la probabilité
d’avoir i demandes en attente sachant qu’on a un stock
nominal de s pièces. (Hadj youssef, 2000) a montré qu’il
suffit de connaître les distributions de probabilité stationnaires
P s ( X = i)
et P s ( Y = i)
∀ i = 0, 1, 2…. , pour une
valeur particulière du paramètre s, pour pouvoir évaluer
les expressions x(s)
et y (s)
pour toutes les valeurs de
ce paramètre. Il a montré en effet, que pour tout entier a
(positif ou négatif) on a :
x
( s + a) = [ ∇( a) . P ( X = 0etY
= 0)
]
−1
+ ∑ ∇
i=−∞
+∞
( i + a) . P ( Y = i) + ∑∇( i + a) . P ( X = i)
s
s
i=
1
s
y
( s + a) = [ ∇( − a) . P ( X = 0etY
= 0)
]
−1
+ ∑ ∇
i=−∞
Où : ∇(x) = x si x > 0
= 0 si non
+∞
( i − a) . P ( X = i) + ∑∇( i − a) . P ( Y = i)
s
s
i=
1
et P s (X=0 et Y=0) =1- [P s (X ≠ 0) + P s (Y ≠ 0)]
= P s (X=0)+P s (Y=0) - 1
En complément, d (s)
sera ensuite calculée directement
1
par la loi de Little : d ( s)
= y(
s)
.
λ
Cette propriété est très intéressante, car elle permet
d’évaluer les paramètres optimaux s * i à partir d'une seule
simulation. Il nous suffit après de calculer le coût optimal
pour chaque classe de produit par l’expression :
Z i (s * i ) = h
i. xi
puis d’en déduire le coût total optimal
engendré si on emploi la politique de la priorité, qui
k
n’est autre que : Z PRE = ∑ Z i (
*
s i ) .
i=
1
4. ETUDE NUMERIQUE
4.1. Hypothèses
Les développements théoriques présentés ci-dessus ont
été illustrés sur un exemple numérique via une simulation
à l’aide du logiciel Arena.
Les données numériques de l'exemple sont les suivantes :
k HV = 1, soit une classe unique de produits à demandes
élevées. k LV = 10, soit 10 classes distinctes de produits à
demandes faibles. Le taux de service de la machine est
fixé à µ = 10.
Le coût unitaire de stockage est de h=1 quelle que soit la
classe du produit.
Le taux d’utilisation de la machine ρ est fixé à 80%,
avec une répartition de la charge égale entre les deux
catégories des produits : les taux d'utilisation par les
deux classes sont donc ρ HV = ρ LV = 0.4
On suppose, en plus, que toutes les demandes de type
LV ont comme taux d’arrivée λ i =0.4 , i =2,3...11.
4.2. Résultats numériques
4.2.1. La courbe de gain
La figure suivante présente la courbe du gain G en fonction
du délai critique d’attente d c , définissant la
contrainte du modèle.
On rappelle qu’un gain positif signifie que la politique
de Priorité avec préemption est plus efficace, alors qu’un
gain négatif signifie le contraire.
s
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100
80
60
40
20
gain%
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
-20
-40
-60
La figure fait bien apparaître, que pour ce cas précis, le
gain est fortement positif dans certaines plages de valeurs
du délai d c , mais négatif dans d'autres plages. La
structure de la politique optimale n'est donc pas évidente.
En particulier, il est faux de supposer que la stratégie de
Figure 2. Courbe de gain
dc
Priorité avec préemption surpasse toujours la simple
stratégie FIFO.
25
20
15
10
S.HV_FIFO
S.LV_FIFO
S.HV_PRE
S.LV_PRE
5
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
dc
Figure 3. Valeurs des stocks optimaux
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4.2.2. Les valeurs des stocks optimaux
La figure ci-dessous présente, en fonction du délai d c , les
valeurs de S. HV_FIFO , S. LV_FIFO , S. HV_PRE et S. LV_ PRE : les
stocks optimaux des produits HV et LV suivant les deux
politiques considérées ici.
On observe ici que le stock optimal des produits à volume
élevé est plus grand si on emploie la priorité préemptive
que si on emploie la politique FIFO (S. HV_PRE >
S. HV_FIFO ). Ceci est bien expliqué par le fait qu’on leur a
réservé moins de capacité en faisant la priorité. On remarque
par contre que le stock optimal des produits à
volume faible a baissé en faisant la priorité (S. LV_PRE ≤
S. LV_FIFO ), ce qui est évidant du moment où on leur a
donné une priorité totale.
Si on observe ce qui se passe en un point particulier de la
courbe, pour d c = 0.35 par exemple, on constate bien que
l’emploi de la politique de la priorité au lieu de FIFO à
engendré la diminution d’une pièce pour chaque classe
de produits à volume faibles, étant donné qu’on a dix
classes de ce type, on a pu en total diminuer les stocks
initiaux de cette catégorie de dix pièces. On constate par
contre que l’augmentation du stock de la classe des produits
à volume élevé causé par l’emploi de cette politique,
n’est que de trois pièces, ce qui explique le fait
qu’on a un gain total positif pour d c =0.35
En suivant le même raisonnement pour le point d c =
0.12, on observe que l’emploi de la politique de la priorité
n’a pas baissé le niveaux des stocks des produits à
volumes faibles (S LV_FIFO = S LV_PRE ) par contre, il a causé
une augmentation du stock initial de la classe des
produits à volume élevé, ceci engendre évidemment un
gain total négatif.
L'explication de cette situation est sans doute liée à l'aspect
discret des valeurs possibles pour les niveaux de
stock. On peut postuler que si les stocks pouvaient prendre
des valeurs réelles, on trouverait S LV_FIFO > S LV_PRE
pour toutes les valeurs de d c .
Il convient toutefois de signaler que de nombreuses hypothèses
ont été posées. Tout d'abord, on n'a pas considéré
de coût fixe au niveau des coûts de stocks. De tels
coûts fixes favoriseraient la politique PP, en ce sens que
cette politique permet d'éliminer complètement certains
stocks de produits LV.
De plus, on n'a pas introduit de coût de changement de
série, ni de notion de délai client qui peuvent influencer
la nature des résultats obtenus. De tels problèmes font
l'objet de nouvelles recherches, en cours actuellement.
REFERENCES
Buzacott J.A. and J.G. Shanthikumar, 1993. Stochastic
models of manufacturing systems, Prentice Hall.
Hadj youssef K., 2000. Analyse d’un système de pilotage
mixte. Mémoire de DEA, Laboratoire Productique-
Logistique, Ecole Centrale Paris, France.
Liberopoulos G. and Y. Dallery, 2000. A unified framework
for pull control mecanisms in multi-stage manufacturing
systems, Annals of Operations Research,
Volume on Performance Evaluation Of Production
Lines, 93, Pages 325-355.
5. CONCLUSION
Cette recherche étudie et compare les performances de
deux politiques de gestion des flux (la politique FIFO et
la politique de la priorité avec préemption ) dans un
cadre multi-produit.
Des résultats analytiques sont disponibles pour caractériser
la politique FIFO, alors que les performances de la
politique PP ont été estimées par simulation, aucune
approche analytique n'étant disponible. Il a ainsi été
possible de calculer les stocks optimaux (et les coûts
totaux correspondants) pour ces deux politiques.
Cette étude présente un exemple numérique évaluant le
gain que peut apporter le passage d'une politique FIFO
vers une politique PP. Les résultats obtenus dans ce cas
précis, montrent que ce gain n’est pas toujours positif,
contrairement à ce que pourrait laisser supposer l'intuition.
Cependant, dans certaines plages de valeurs pour
les données, on observe un gain très important au niveau
du coût total (de l'ordre de 80%).
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