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3 e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation «Conception, Analyse et Gestion des Système Industriels»MOSIM’01- du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)MODELISATION ET EVALUATION D’UN SYSTEME DE TRANSPORT PARL’ALGEBRE MAX-PLUSA.NAIT-SIDI-MOH, M-A.MANIER, A.ELMOUDNILaboratoire Systèmes et TransportUTBM, site de Belfort 90010 Belfort cedexTel : (33) 3 84 58 33 97 Fax : (33) 3 84 58 33 42Mél : (Ahmed.Nait-Sidi-Moh, Marie-ange.Manier, Abdellah.Elmoudni)@utbm.frRÉSUMÉ : Cet article porte sur la modélisation d’un réseau de transport en commun (bus). L’objectif est l’étude del’évolution des temps d’attente dans les stations de correspondance. La modélisation est faite par les réseaux de Petri(RdP) et en particulier sa partie graphe d’événement temporisé. Une équation d’état est déduite par l’utilisation del’algèbre des dioïdes permettant ainsi d’évaluer les performances de notre réseau de transport.MOTS-CLÉS: Transport, graphe d’événement temporisé, algèbre des dioïdes.1. INTRODUCTIONLes systèmes de transports sont des systèmes fortementconditionnés par leur environnement. Ils sont conçus àpartir de plusieurs ressources. Ils doivent répondre auxdifférents services tels que les déplacements despassagers d’un endroit à un autre dans les meilleursconditions, en minimisant les temps d’attente dans lesstations de correspondance, etc...Face à ces problèmes, il est nécessaire de disposer d’unoutil de modélisation et d’analyse qui permet d’évaluerles performances de ces systèmes et de leur élaborer despolitiques de régulation pour l’amélioration de la qualitéde service. Comme les systèmes de production et lessystèmes informatique, les systèmes de transport quenous étudions sont de type à événements discrets. Pourles modéliser, nous utilisons, en l’adaptant, une sousclasse de l’outil réseaux de Petri: les graphesd’événement temporisés (GET). Le but tout d’abord estd’élaborer un modèle linéaire déduit de ces GET enutilisant l’algèbre des dioïdes. Ensuite, nous évaluons lesperformances de ces systèmes par l’évaluation des tempsd’attente dans les points de correspondances. Et enfinnous proposons des politiques de régulation quipermettent de minimiser les temps d’attente despassagers sur une période de travail, en agissant sur leshoraires initiaux de départ des bus ou en rajoutant desressources supplémentaires sur les lignes du réseau detransport.2. LE SYSTEME DE TRANSPORT ETUDIÉNous nous intéressons ici à la gestion descorrespondances sur un réseau de transport urbainconstitué de lignes de bus. Sur chaque ligne, un busréalise un circuit et passe au même endroit avec unefréquence que nous considérons constante. Les bus dedeux lignes différentes fonctionnent de manièresindépendantes. Les lignes comportent des arrêtscommuns que nous appelons stations de correspondance.Ces arrêts permettent aux passagers de changer de ligneen fonction de leur destination.Dans la suite, nous considérons un système simplifiéconstitué de deux lignes de bus (Figure 1). Sur chacuned’elle, un seul bus est initialement en circulation . Nousétudions le phénomène d’attente des passagers à lastation de correspondance Sc. Nous considérons lespassagers descendant d’un bus de la ligne 1 venant deSd1, et souhaitant prendre un bus de la ligne 2 vers lastation Sa2 (Figure 1).Sa1Sa2Figure 1. Réseau de transport : 2 lignes de bus.Sdi :station de départ de la ligne iSai :station d’arrivée de la ligne iSc : station de correspondanceCircuit d’un bus de la ligne i : Sdi – Sc – Sai – SdiTrajet des passagers étudié : Sd1 – Sc– Sa23. MODÉLISATIONScSd2Sd13.1. Modélisation par réseau de Petri (RdP)Notre objectif porte sur l’utilisation de l’algèbre desdioïdes pour la modélisation et ensuite la commande dessystèmes de transport. Plusieurs études montrent lespossibilités de cet outil pour les systèmes de productionpouvant être représentés par des graphes d’événements(GE) (Spacek et al, 1999 ).- 99 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)Un GE est un réseau de Petri pour lequel chaque place aexactement une transition en amont et une transition enaval (David et al; 1992).Nous modélisons donc tout d’abord un réseau de bus parun GE temporisé (GET). Sur ce graphe, les transitionsreprésentent certains arrêts de bus. Le franchissementd’une transition correspond à l’arrivée d’un bus à unarrêt. Les places du réseau sont associées:soit à l’attente d’un groupe de passagers à une station decorrespondance; à ces places sont associées destemporisations nulles (cas idéal où un passager n’attendpas, les temps de montée et descente de bus étantnégligés ici ).soit au déplacement d’un bus entre deux arrêts nonobligatoirement successifs (agrégation d’une suited’arrêts successifs d’une ligne). Ces places sonttemporisées par le temps de déplacement de bus entre lesarrêts considérés.Les jetons circulant sur le réseau sont associés soit à despassagers attendant aux stations de correspondance, soità des bus.Le problème simplifié évoqué au § 2 est modélisé par leGET de la figure Figure 2 :x 1 P1,τ1 x 2P5P2,τ2Figure 2. Graphe d’événement temporisé (GET): P1 à P4 déplacement des busP5: attente de passager en Sc: stations de départ Sdi de chaque ligne i: station de correspondance: Bus et/ou passagerLes circuits (x 1 , P1, x 2 , P2) et (x 3 , P3, x 4 , P4)représentent respectivement les lignes 1 et 2.x 1 et x 3 modélisent les stations de départ Sd1 et Sd2 desdeux lignes. x 2 et x 4 représentent la même station decorrespondance Sc commune aux deux lignes. La placeP 5 modélise l’attente des passagers en Sc venant d’unbus B1 et prenant un bus B2.Le fonctionnement du modèle est le suivant : les deuxbus B1 et B2 sont au départ aux stations Sd1 et Sd2respectivement, ce qui valide les transitions x 1 et x 3 .Après le tir de ces transitions, les places P1 et P3contiennent chacune un jeton (bus). Au bout de τ1unités de temps la transition x 2 est validée (passage dubus en Sc), son franchissement met un jeton dans P2(déplacement jusqu’à Sa1, puis retour du bus B1 versSd1 ) et un autre jeton dans la place P5 ( lot de passagersdescendus de B1 en Sc et attendant un bus B2). Une foisx 3P3,τ3P4,τ4x 4x 2 franchie, la transition x 4 est validée aussi. Son tirenlève les deux jetons de P3 et P5 et met un seul jetondans la place P4 (le bus B2 est passé en Sc enrécupérant les passagers ) et ainsi de suite.Les périodes de passage de deux lignes sont λ 1 =τ1 + τ2 pour la ligne 1 et λ 2 = τ3 + τ4 pour la ligne2.Si les deux bus B1 et B2 partent initialement de Sd1 etSd2 à t1 et t2 respectivement, et afin d’assurer lefonctionnement du modèle, on pose les hypothèsessuivantes:• t1 + τ1 ≤ t2 + τ3 cette hypothèse signifieque le premier bus qui arrive en Sc est un bus B1 .• Pour éviter le phénomène d’attente des bus B2 à lastation Sc on considère une séquence de bus B1- B2- B1-B2- B1 .....3.2. Modélisation par équation d’étatÉquation d’état dans l’algèbre usuelleA chaque transition x i du modèle on associe un dateurx i (k) qui correspond à la date du k ème franchissement dex i . Le système d’équations linéaires dans l’algèbreusuelle est donné par:(S1)⎧x⎪x⎨⎪x⎪⎩x1234( k)= τ 2 + x( k)= τ1+x ( k)( k)= τ 4 + x( k −1)( k −1)( k)= max[ τ 3 + x1243( k),x2( k)]Avant de passer à la représentation du système (S1) dansl’algèbre (max, +) (Bacc et al , 1992), nous donnons unbref rappel des notions élémentaires relatives à cettealgèbre.Rappel sur la théorie de l’algèbre (max, +)Un dioïde D est un ensemble muni de deux lois decompositions internes ⊕ (addition ) et ⊗(multiplication). Les éléments neutres pour ces deux loissont respectivement ε et e .Les deux lois vérifient les propriétés suivantes :- la loi ⊕ est associative, commutative etidempotent (a ⊕ a = a ).- la loi ⊗ est associative, distributive par rapportà ⊕.- ε est absorbant pour la loi ⊗ : ∀ a∈ Da ⊗ ε = ε ⊗ a =ε.- la relation ≥ est une relation d’ordre dans ledioïde D : ∀ a, b ∈ D , a ≥ b⇔ a ⊕ b = a .- un dioïde est dit complet s’il est fermé pour toutessommes infinies de ces éléments, et si la loi ⊗ estdistributive par rapport à ces sommes infinies.- La solution de l’équation ax ⊕ b = x est donnéeparx = a * bavec a * = e ⊕ a ⊕ a 2 ⊕.....⊕ a n ⊕.....- 100 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)et dans le cas d’un dioïde D nxn ( dont les éléments sontdes matrices à coefficients dans D ),l’équation AX ⊕ B = X a pour solution :X = A * Bavec A * = E ⊕ A ⊕ A 2 ⊕ ... ⊕ A n ⊕ .......où E est la matrice identité dans le dioïde D.Exemple d’un dioïde:IR ∪ { ∞ −∞}_IR max est l’ensemble+ , muni de ⊕ et ⊗ définies par :a ⊕ b = max(a, b ), a ⊗ b = a + b , ε = - ∞ ,T = + ∞ et e = 0 .Équation d’état dans l’algèbre des dioïdesLe système d’équations linéaires (S1) est traduit dansl’algèbre (max, +) par (S2) :(S2)⎧x1( k)= τ 2 ⊗ x2( k −1)⎪x2( k)= τ1⊗x1(k)⎨⎪x3( k)= τ 4 ⊗ x4( k −1)⎪⎩x4( k)= τ 3 ⊗ x3( k)⊕ x2( k)Soit le vecteur d’état X(k) = [x 1 (k), x 2 (k), x 3 (k), x 4 (k)].La forme matricielle du système (S2) est alors :X(k) = A 0 ⊗ X(k) ⊕ A 1 ⊗ X(k-1) (1)Où A 0 et A 1 sont deux matrices dans le dioïdetelles que :etA 0 =A 1 =⎛ ε⎜⎜τ1⎜ ε⎜⎝ ε⎛ε⎜⎜ε⎜ε⎜⎝εεεεeτ 2εεεεεετ 3εεεεε ⎞⎟ε ⎟ε ⎟⎟ε⎠ε ⎞⎟ε ⎟τ 4⎟⎟ε⎠_IRmaxLa solution de l’équation (1) est donnée sous formed’une équation récurrente d’ordre 1 par :X(k) = A 0* ⊗ A 1 ⊗ X(k-1) ) = A ⊗ X(k-1) (2)AvecetA 0 * =A = A 0* ⊗ A 1 =⎛ e⎜⎜τ1⎜ ε⎜⎝τ1⎛ε⎜⎜ε⎜ε⎜⎝εεeεeτ 2εεeτ 3τ1+τ 2ετ1+τ 2ε ⎞⎟ε ⎟ε ⎟⎟e⎠εεεεε ⎞⎟ε ⎟τ 4 ⎟⎟τ 3 + τ 4⎠4. ÉVALUATION DES PERFORMANCES4.1. Evaluation des temps de correspondanceLes composantes du vecteur d’état X(k) sont calculéesà partir de l’équation (2) par :Pour i = 1,..., 44x i (k) = max j=1,..,4 (A i j + x j (k-1)) = ⊕ (A i j ⊗ x j (k-1) )j=1Le temps de correspondance ou le temps d’attente despassagers au niveau de la station Sc est donné par ladifférence des dates d’arrivée des bus. Puisqu’ons’intéresse à une seule correspondance (B1 vers B2 ),les dates à considérer pour n’importe quel tour des bussont x 2 (k) ( l’arrivée du bus B1 en Sc) et x 4 (k) (l’arrivéedu bus B2 en Sc).Le temps de correspondance pour le k ème passage des busest donné par :x 4 (k)T(k) =x 2 (k)(T(k) est la différence x 4 (k)- x 2 (k) traduit dans l’algèbre(max, +) ).Si on suppose que le nombre de tours effectués par lesbus est N, alors le temps de correspondance totalpendant la période du travail est la somme des T(k), soit:NT corr =⊗=k 1NT(k) =⊗=Le problème qui se pose alors est la minimisation deT corr . Plusieurs possibilités peuvent être envisagées.L’une d’elles consiste à modifier les dates des premiersdéparts des bus. Ceci est compatible avec une approchede planification a priori dans laquelle on souhaite établirde nouveaux horaires. Au niveau de notre modèle, celarevient à imposer à B1 et B2 d’arriver en même temps enSc pour leur 1 er tour, soit x 4 (1) = x 2 (1) , autrement dit :t1 + τ 1 = t2 + τ 3 . Pour le cas traité ici T corr estminimal si T(1) égale zéro.D’autre facteurs peuvent être modifiés dans le but deminimiser T corr . On peut ainsi augmenter soit la vitessek 1x 4 (k)x 2 (k)- 101 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)des bus, soit leur nombre. C’est ce dernier cas que nousdétaillons dans la suite.4.2. Détermination du circuit critique et des valeurspropres de la matrice ANous nous inspirons des travaux de (Olsder et al, 1998 ).Notons qu’un problème similaire a été étudié. Lesystème modélisé est un réseau de lignes ferroviaires. Ladifférence essentielle entre ces types de systèmes est queles trains « s’attendent » pour permettre aux passagersd’effectuer la correspondance, tandis que les busfonctionnent indépendamment des bus des autres lignes,compte tenu de fréquences de passage plus importantes.Dans notre cas nous essayons d’ajouter un ou plusieursbus sur une ligne ou plusieurs lignes du réseau. Pouridentifier la ligne nécessitant de nouveaux bus nousanalysons la matrice associée au système (S2). Nouscherchons alors ses valeurs propres à partir de songraphe de précédence. La plus grande valeur propre de lamatrice A est la longueur du circuit critique dans songraphe. Cette valeur représente la période du circuitcritique dans le réseau. L’ajout de bus sur ce circuitpermet d’augmenter la fréquence de passage des bus à lastation Sc .Dans notre cas la matrice A est une matrice 4x4 a_valeurs dans le dioïde IR max Le graphe de précédencequi correspond à cette matrice, dont les nœuds sont lescomposantes du vecteur d’état X(k), est donné parFigure 3. où un nœud x i est lié au nœud x j ssi a ji >ε .x 1 (k)τ 3 + τ 4x 4 (k)τ 4x 3 (k)τ 1+τ 2Figure 3. : Graphe de précédence G(A) associé à lamatrice ALa matrice A n’est pas une matrice irréductible puisqueson graphe de précédence n’est pas fortement connexe.En effet ce graphe contient deux circuits : x 4 (k) →x 4 (k) et x 2 (k) → x 2 (k) dont les temps de cycle moyensont respectivement (τ3 + τ4)/1 et (τ1 + τ2)/1 .On montre que le circuit critique dans le graphe G(A) estle circuit dont le temps de cycle moyen est maximum. Lavaleur propre de la matrice A sera égale à ce tempsmoyen max.4.3. GET avec ajout/retrait dynamique de jetons0τ 2x 2 (k)Après avoir trouvé le circuit critique, donc identifié laligne à laquelle il faut ajouter les bus, nous utilisons unoutil capable de modifier de manière statique oudynamique le nombre de jetons sur notre réseau: il s’agitde graphe d’événements temporisés avec ajout/retraitdynamique de jetons (Lahaye et al , 1999). Si la ligne 2est la ligne critique, nous ajoutons une transition source àla place P4 du modèle GET de la figure Figure 2.Figure.4. GET avec ajout/retrait dynamique de jetonsLa transition « i » associée à la place P4 modélisel’ajout d’un bus B2 à la deuxième ligne. La transition« o » modélise le retrait d’un bus de la même ligne. Lechoix de la place P4 est dû au fait que cet ajout ( resp.retrait ) se fait au niveau de la station de départ Sd2.Aux transitions i et o, on associe les dateurs i(k) et o(k)qui représentent la date du k ème franchissement de i etde o (k ème ajout(resp. retrait) d’un bus de type B2 ).La représentation d’état de ce modèle reste la même quecelle du modèle de la figure Figurr.2, avec un ajout dedeux équations liées aux transitions i et o. Les datesassociées à ces transitions seront calculées à partir descomposantes de X(k).Pour réaliser notre objectif, nous cherchons le momentoù il faut ajouter ou retirer un bus. Pour cela on fixe untemps de correspondance maximum qu’on note d et qu’ilne faut pas dépasser pour chaque passage des bus. Dèsqu’un tour est effectué on détermine le temps T(k). Sil’inégalité T(k) < d est vérifiée on continue le calcul (k= k+1 ), sinon l’ajout d’un bus aura lieu pour réduire letemps T(k). On réinitialise le système par le derniervecteur X(k) calculé par (2), en modifiant ses deuxdernières composantes x 3 (k) et x 4 (k) de telle sorte à avoirx 4 (k) = x 2 (k). On franchit pour cela la transition sourcei pour la première fois à la date i(1) = x 2 (k) -τ3. o serafranchie dès que le premier bus B2 arrive en Sd2 pour lek ème tour, la date de ce franchissement est o(1) = x 3 (k).Cela équivaut à accélérer ou ralentir certains bus B2.Pour la nouvelle condition initiale X(k), on calcule lesdates suivantes de franchissement de différentestransitions (les arrivées suivantes des bus aux différentsarrêts du réseau ), en vérifiant chaque fois la condition« T(k) < d » et ainsi on obtient les différentes dates defranchissement de i et de o .5. EXEMPLE D’APPLICATIONNous considérons un réseau de deux lignes dont lesdonnées sont :La ligne 1 est caractérisée par un temps de cycle : λ 1 =τ1 + τ2 = 60min, avec τ1 = τ2 = 30 min. Le temps decycle de la ligne 2 est: λ 2 = τ3 + τ4 = 67 min avecP5x 1 P1,τ1 x 2 x 3P3,τ3 x 4P4,τ4P2,τ2io- 102 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)τ3 = 33 min et τ4 = 34 min.Nous initialisons le système par un vecteur arbitraireX(1). Si les bus B1 et B2 font leurs premiers départsrespectivement à t1 = 0 et t2 = 0, le vecteur X(1) sera :X(1) = [0, 30, 0, 33]. La matrice du systèmeX(k) = A ⊗ X(k-1) est donnée par:A =⎛ε⎜⎜ε⎜ε⎜⎝ε3060ε60εεεεε ⎞⎟ε ⎟34⎟⎟67⎠Le circuit critique dans le graphe G(A) associé à cettematrice est x 4 (k) ! x 4 (k) dont le poids moyen est λ 2 =67 qui représente la valeur propre de la matrice A.Les dates successives de passage des bus trouvées parl’équation de récurrence sont :X(1) X(2) X(3) X(4) X(5)⎛ 0 ⎞⎜ ⎟⎜30⎟⎜ 0 ⎟⎜ ⎟⎝33⎠⎛ 60 ⎞⎜ ⎟⎜ 90 ⎟⎜ 67 ⎟⎜ ⎟⎝100⎠⎛120⎞⎜ ⎟⎜150⎟⎜134⎟⎜ ⎟⎝167⎠⎛180⎞⎜ ⎟⎜210⎟⎜ 201⎟⎜ ⎟⎝234⎠X(6) X(7) X(8) X(9)⎛300⎞⎜ ⎟⎜330⎟⎜335⎟⎜ ⎟⎝368⎠⎛360⎞⎜ ⎟⎜390⎟⎜402⎟⎜ ⎟⎝ 435⎠⎛420⎞⎜ ⎟⎜450⎟⎜469⎟⎜ ⎟⎝502⎠⎛480⎞⎜ ⎟⎜510⎟⎜536⎟⎜ ⎟⎝569⎠⎛240⎞⎜ ⎟⎜270⎟⎜ 268⎟⎜ ⎟⎝ 301⎠Compte tenu du cas traité et des hypothèses, on constateque :T(k) = ( λ2- λ1) + T(k-1) = (k-1).( λ2- λ1) + T(1).Si on veut minimiser la somme T corr des temps d’attentedes passagers, il suffit ici de minimiser la 1 ère attente dela journée, la valeur minimale étant zéro. Pour que lesbus B1 et B2 arrivent en même temps à la station Scpour le 1 èr tour, il faut donc : t1 + τ 1 = t2 + τ 3 .La meilleure condition initiale correspond alors à t1 = 3et t2 = 0, et permet de diminuer le temps decorrespondance de 3 min .Le modèle GET avec ajout/retrait dynamique de jetonsnous permet de modéliser le phénomène d’ajout d’un busB2 à la deuxième ligne dès que le temps decorrespondance arrive à une limite qu’on fixe au départ,et de retrait d’un bus B2 si nécessaire.Si par exemple on fixe le temps de correspondance qu’ilne faut pas dépasser à d = 15, alors le temps decorrespondance calculé pour le 4 ème tour des bus dépassela limite d, en effet: T(4) = x 4 (4) – x 2 (4) = 21 qui estsupérieur à 15 ....On réinitialise donc le système par ce dernier vecteurX(4) calculé par (2) en modifiant ses deux dernièrescomposantes x 3 (4) et x 4 (4) de telle sorte à avoir x 4 (4)= x 2 (4) = 213. On franchit donc la transition source ipour la première fois à la date i(1) = x 2 (4) – 33 = 180et la transition o est franchie pour la première fois à ladate o(1) = x 3 (4) = 201. Pour le nouveau vecteur X(4)le temps de correspondance est nul .En utilisant ce type de GET avec ajout/retrait dynamiquede jetons on arrive à limiter le temps de correspondance,dès qu’on arrive à un temps T(k) ≥ d on recommencepar T(k) = 0, contraire au modèle GET initial dont letemps T(k) augmente pour chaque tour des bus .6. CONCLUSIONEn utilisant les graphes d’événements temporisés, nousarrivons à modéliser un réseau de transport en communet ensuite évaluer ses performances en utilisant l’algèbre(max, +).Le GET avec ajout /retrait de jetons nous permet deminimiser le temps de correspondance au niveau de lastation Sc en ajoutant un bus à la ligne qui représente lecircuit critique du réseau. La valeur propre maximale dela matrice du système d’équations linéaires nous permetd’obtenir ce circuit critique.Un ajout d’un bus sur une ligne conduit à augmenter lafréquence de cette ligne, puis réduire la différence entreles dates d’arrivées des bus à la station Sc.Parmi les objectifs des études qui seront envisagées etqui feront suite à cet article l’étude d’un réseau dont lespériodes des circuits sont variables, et les lignes sontdesservies par plusieurs bus.RÉFÉRENCESBACCELLI F., COHEN G., OLSDER G-J. etQUADRAT J-P., 1992. Synchronisation andlinearity, Algebra for discrete Event Systems. Johnwiley et sons Ltd.COTTENCEAU B., 1999. Contribution à la commandede systèmes à événements discrets: synthèse decorrecteurs pour les graphes d’événementstemporisés dans les dioïdes. Thèse de Doctorat,université d’Angers, Ecole doctorale: Sciences pourl’ingénieur de Nantes.DAVID R. et ALLA H. , 1992. Du grafcet aux réseauxde pétri. Paris: Hermes.LAHAYE S. , 2000. Contribution à l’étude des systèmeslinéaires non stationnaires dans l’algèbre desdioïdes. Thèse de Doctorat, université d’Angers,Ecole doctorale: Sciences pour l’ingénieur deNantes.LAHAYE S. , BOIMOND J-L. et HARDUIN L., 1999.GET avec ajout/retrait dynamique de jetons:comportement asymptotique représentation dansl’algèbre (min, +). 2 ème congrés sur la modélisationdes systèmes à événement discrets réactifs, cachan,mars.- 103 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)MENGUY E. , 1997. Contribution à la commande dessystèmes linéaires dans les dioïdes. Thèse deDoctorat, université d’Angers, Ecole doctorale:Sciences pour l’ingénieur de Nantes.OLSDER G-J. , 1998. 26 ème école de printempsd’informatique, Algèbre Max-Plus et applications eninformatique: Cours Notes: Max algebra approach todiscrete event systems, 4-7 mai 1998 , p. 149-176, Ilede Noirmoutier, Vendée, France.OLSDER G-J. , SUBIONO et GETTRICK M-M. ,1998.26 ème école de printemps d’informatique, AlgèbreMax-Plus et applications en informatique: On largescale max-plus algebra model in raillway systems, 4-7 mai 1998, p. 177-192, Ile de Noirmoutier, Vendée,France.SPACEK P. , M.-A.MANIER et A.ELMOUDNI, 1999.Control of electrplating line in the max and minalgebras. International Journal of Systems Science,july 1999, Vol. 30, No. 7, p. 759-778.- 104 -