une approche de programmation lineaire pour la conception des ...

3 e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation “Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels”MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)UNE APPROCHE DE PROGRAMMATION LINEAIRE POUR LACONCEPTION DES LIGNES DE TRANSFERTAlexandre DOLGUILaboratoire d'Optimisation des Systèmes IndustrielsUniversité de Technologie de Troyes12, rue Marie Curie, BP2060-10010 Troyes cedex, FranceMél : dolgui@univ-troyes.frYoussef HARRATHLaboratoire d’Automatique de BesançonENSMM25, rue Alain Savary, 25000 Besançon, FranceMél : yharrath@ens2m.frNikolay GUSCHINSKYLaboratoire de Recherche OpérationnelleInstitut de Cybernétique, Académie Nationale des Sciences6, rue Surganov, 220012 Minsk, BélarusMél : gyshin@newman.bas-net.byGenrikh LEVINLaboratoire de Recherche OpérationnelleInstitut de Cybernétique, Académie Nationale des Sciences6, rue Surganov, 220012 Minsk, BélarusMél : levin@newman.bas-net.byRESUME : Nous étudions un problème de la conception préliminaire d’un type des lignes de transfert. Dans ce typede ligne, chaque station de travail est munie de plusieurs têtes d’outils. Les opérations sont groupées dans des blocs.Chaque bloc correspond à une tête d’outils. Les opérations d’un bloc s’exécutent simultanément par un seulmouvement de la tête d’outils correspondante et les différents blocs d’opérations appartenant à la même stations’exécutent en série. Les contraintes de nécessité ou d’impossibilité de combiner les opérations dans des blocs et dansdes stations, afin d’obliger ou d’interdire l’exécution de certaines opérations simultanément (pour les blocs) ou sanschangement d’orientation de pièce (pour les stations), ainsi que les contraintes de précédence sont connues. Leproblème est de repartir toutes les opérations, nécessaires pour fabriquer un produit, par tête d’outils et par station, enrespectant les contraintes existantes, de telle sorte que la somme pondérée du nombre de stations et du nombre de têtesd’outils soit minimale. La méthode proposée est basée sur la programmation linaire en variables mixtes. Des résultatsexpérimentaux sont présentés, ils sont obtenus à l’aide du modeleur XPRESS-MP.MOTS-CLES : Ligne de transfert, Conception préliminaire, Equilibrage de charges, Optimisation, Programme mixte1. INTRODUCTIONDans cet article, nous concentrons notre étude sur leslignes de transfert qui représentent une classe particulièredes lignes de production. Une ligne de transfert est baséesur l’organisation automatique d’un flux continu depièces. Le transfert des pièces est assuré par unconvoyeur qui les présentent successivement, en lespositionnant comme il convient, devant une série de têtesd’usinage (têtes d’outils).Une opération de fabrication est considérée comme étantune partie élémentaire de l'ensemble du travail sur uneligne de transfert et le temps nécessaire pour l’accomplirs’appelle temps opératoire.Une station est un élément de la ligne de transfert où unepartie du travail concernant un produit est réalisée. Ellese caractérise par sa dimension, par l’ensemble des outilsdont elle dispose et, par conséquent, par le typed’opérations qui peuvent y être effectuées. La duréetotale d’exécution des opérations affectées à une stationest le temps de cycle de la station.Une ligne du type étudié ici comporte un nombrequelconque de stations de travail installées en série etsans stocks tampons, c’est-à-dire que la ligne estcadencée (toutes les stations commencent en mêmetemps à exécuter les opérations qui leurs sont affectées).Une station de travail est composée de plusieurs têtesd’usinage. Pour de telles lignes, il est possible d’avoirdes têtes avec plusieurs outils fonctionnantsimultanément ce qui permet de regrouper des opérationsdans des blocs. Toutes les opérations du même bloc sontréalisées simultanément par un seul mouvement de la têted’outils correspondante, les blocs de la même stations’exécutent séquentiellement chacun étant affecté à unetête d’outils. Les opérations de la même station sontréalisées sans changement d’orientation de pièce.La nécessité d’introduire des blocs d’opérations (et lestêtes d’outils correspondantes) peut être expliquée par lesfacteurs technologiques et économiques suivants :• la tolérance (pour un certain niveau de tolérance ilest nécessaire d’exécuter les opérationscorrespondantes simultanément sans changementd’outils ni position de pièce),• la productivité (l’usinage simultané augmente le tauxde production),- 353 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)• la réduction du nombre de machines à utiliser et del’espace occupé.La ligne est conçue pour une productivité annuelledonnée ; le temps de cycle de la ligne, qui est le tempsmaximal pour traiter une pièce par n’importe quellestation de la ligne, est donc connu. Le taux de productionde la ligne appelé aussi cadence, mesuré en nombre depièces par unité de temps, est égal à la valeur inverse dutemps de cycle.Le coût de la ligne est proportionnel au nombre destations et au nombre de têtes d’outils. Le temps de cycledépend du nombre de blocs, de l’ensemble desopérations constituant chaque bloc, ainsi que du nombrede stations et de l’ensemble des blocs affectés à chaquestation. Tous ces paramètres sont à définir à l’étape de laconception préliminaire de la ligne et restent inchangésdurant son cycle de vie. Etant donné l’effet d’échelle, uneerreur lors de cette phase de conception peut coûter cher.Il est donc nécessaire d’étudier d’une manièreapprofondie des solutions possibles et de choisir une trèsbonne solution, et si possible, la meilleure.L’explosion combinatoire du nombre de décisionspossibles rend nécessaire le développement des outilsspécifiques d’aide à la décision. Dans cet article, nousproposons un outil de ce type.2. DEFINITION DU PROBLEME2.1 Données et objectifsUne étude préalable du nouveau produit pour lequel laligne doit être conçue, permet de définir les donnéessuivantes :• l’ensemble N des opérations nécessaires pour lafabrication du produit,• les temps opératoires t i ,• le temps de cycle T 0 de la ligne déterminant lacadence de la production (productivité),• les contraintes de précédences pour les opérations(relation d’ordre partiel),• les contraintes de nécessité d’exécution de certainesopérations dans le même bloc ou sur la même station,• les contraintes d’impossibilité d’exécution decertaines opérations dans le même bloc ou sur lamême station.Le problème d’optimisation consiste alors à déterminersimultanément les paramètres de conception suivants :• le nombre m de stations de travail,• l’affectation de l’ensemble N des opérations auxstations de travail , k = 0,..., m −1,N k• le nombre n k , k = 0,..., m −1de blocs pour chaquestation N k ,• la partition des ensembles N k en sous-ensemblesN kl ,l = 0,...,nk−1,k = 0,...,m-1représentant lesblocs.L’objectif est de minimiser le coût de la ligne :C m + mC ∑−11 2 nk → min(1)k = 0où C 1 et C 2 sont respectivement le coût d’une station et lecoût d’un bloc.2.2 Etat de l’art2.2.1 Equilibrage des lignes d’assemblageLe problème le plus proche à celui que nous traitons iciest l’équilibrage des lignes d’assemblage. Il consiste àaffecter des opérations aux stations de travail de sorteque le nombre de stations soit minimal et que lescontraintes de précédence et le temps de cycle de la lignesoient respectés. Dans (Rekiek et al., 2000), ce problèmeest défini de manière formelle comme ceci. Nous avonsun graphe G r = (N, E r ) non cyclique où N est unensemble de sommets représentant des opérations et E rest un ensemble d’arcs modélisant des contraintes deprécédence. A chaque sommet i du graphe est associéune constante t i qui donne le temps de l’opération i. Noussupposons que le temps de cycle T 0 de la ligne est connu.Alors, il faut trouver une partition de l’ensemble N en unnombre minimal des sous-ensembles de sorte que lasomme des temps t i pour chaque sous-ensemble soitinférieure ou égale à T 0 et qu’il soit possible d’ordonnerces sous-ensembles en tenant compte des contraintes deprécédence des opérations données par E r .Baybars (1986) a énuméré les principales hypothèses duproblème classique d’équilibrage des lignesd’assemblage : 1) les temps sont déterministes, 2) lesplitting est interdit, 3) il y a des contraintes deprécédence, 4) il faut réaliser toutes les opérations,5) n’importe quelle station peux faire n’importe quelleopération, 6) les temps d’opération ne dépendent pas destation, 7) n’importe quelle opération peut être affectée àn’importe quelle station, 8) les stations sont disposées ensérie, 9) la ligne est conçue pour un seul produit et elle aun seul mode de fonctionnement, et, enfin, soit 10a) letemps de cycle T 0 est fixe, soit 10b) le nombre de stationsest fixe.Les problèmes avec l’hypothèse 10a) sont connus sous lenom de SALB-1 (Simple Assembly Line Balancing).Dans ce type de problème il faut minimiser le nombre destations (ce qui est équivalent au temps mort minimal).Les problèmes avec l’hypothèse 10b) s’appellent SALB-2, dans ce cas, il faut minimiser le temps de cycle(maximiser la productivité).- 354 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)Notons que SALB-2 est équivalent au problème deminimisation du Makespan pour l’ordonnancement sur mmachines parallèles (Coffman et al., 1978). Si lescontraintes de précédence sont absentes, les problèmesSALB-1 et SALB-2 sont équivalents aux problèmes deplacement (bin-packing). D’autres parallèles avec desproblèmes classiques d’optimisation discrète sont faits,par exemple, dans (Scholl, 1999).Pour résoudre ce problème, les méthodes exactes sontprincipalement basées sur des algorithmes par séparationet évaluation ou sur des procédures de programmationdynamique (Baybars, 1986 ; Talbot et al., 1986, Scholl etKlein, 1998). Parmi les méthodes heuristiques simples,les plus connues et les plus anciennes sont RWP(Helgenson et Birnie, 1961) et COMSOAL (Arcus,1966).Différentes généralisations du problème sont obtenuespar la suppression d’une des hypothèses 1) - 10) :l’équilibrage des lignes mixtes (plusieurs types deproduits) (Choi et Lee, 1998 ; Rekiek et al., 2000) ;l’équilibrage avec des contraintes sur l’impossibilitéd’affectation de certaines opérations sur certainesstations (Tonge, 1961) ou sur la nécessité d’exécution decertaines opérations sur des stations prédéfinies (Guntheret al., 1983) ; les problèmes d’équilibrage avec desstations parallèles (Bard, 1989).Un autre type d’extensions est lié à l’introduction dedifférents critères autres que le nombre de stations ou letemps de cycle. Par exemple, Lee et Johnson (1991) ontétudié le problème d’équilibrage des lignes avec deuxcritères : le coût des en-cours et le coût d’acquisition desmachines et de leur exploitation. Boukchin et Tzur(2000) ont étudié le problème SALB-1 avec desmachines parallèles à chaque station, chaque machine ason coût, le temps de chaque opération dépend de lamachine à laquelle l’opération est affectée. Le problèmeétait de trouver le nombre de machines parallèles pourchaque station et une affectation des opérations auxmachines de sorte que le coût de la ligne soit minimal.Pour des problèmes d’équilibrage généralisés, lesapproches les plus utilisées sont celles qui font appel àdes méta-heuristiques. McMullen et Fraizer (1998) ontdéveloppé un algorithme de recuit simulé pour des lignesavec des machines parallèles. Les auteurs utilisent le coûtet le temps de cycle comme critères. Ils ramènent cesdeux critères à un seul par une pondération.Une série de publications (De Lit et al., 1999 ; Rekiek etal., 2000) est consacrée à l’utilisation des algorithmesgénétiques. Les auteurs étudient des lignes multiproduits.Et ils proposent une nouvelle classed’algorithmes génétique (Grouping Genetic Algorithms).Les algorithmes génétiques sont couplés avec desalgorithmes de séparation et de coupe (Branch & Cut) etsont complétés par la méthode d’optimisationmulticritère Prométhée.2.2.2 Spécificité du problème étudiéSuivant la définition de Baybars (1986) l’étude que nousprésentons ici relève donc de SALB-1, mais leshypothèses simplificatrices 5) et 7) ne peuvent plus êtreutilisées et le critère est changé. En plus, notre problèmemontre que la liste des hypothèses pour le problèmeclassique d’équilibrage n’est pas complète, car il manquel’hypothèse suivante : 11) deux opérations ne peuventpas être faites simultanément. Cette hypothèse estutilisée implicitement dans le problème d’équilibrage deslignes d’assemblage et n’est pas utilisée dans notre cas.Nous avons donc une nouvelle classe de problèmesd’équilibrage. Pour ces problèmes, certaines propriétésclassiques ne sont plus respectées. Par exemple, lapropriété qui dit que le temps mort est minimal quand lenombre de stations est minimal, n’est plus valable.Nous avons donc entrepris une série de travaux (Dolguiet al., 1999ab ; Dolgui et al., 2000abc) pour ce nouveauproblème. Dans cet article, nous présentons une méthodeexacte qui se base sur la programmation linéaire envariables mixtes.3. APPROCHE PROPOSEE3.1 Modélisation des contraintes3.1.1 Modèles de graphePour ce problème, les contraintes nouvelles par rapport àcelles qui sont connues dans l’équilibrage des lignesd’assemblage sont des contraintes de nécessité et descontraintes d’impossibilité de mettre des opérations dansle même bloc. Nous appelons les premières lescontraintes d’inclusion pour les blocs et les deuxièmesles contraintes d’exclusion pour les blocs. Un exempledu cas où on trouve ce type de contraintes est donné dansla figure 1.nécessité (tolérence requise) demettre les deux opérations dans lemême blocop1 op2impossibilité de mettre les deuxopérations dans le même blocop3op4Figure 1. Exemple des contraintes pour les blocs- 355 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)Pour modéliser ces contraintes ainsi que les contraintesde nécessité ou d’impossibilité d’affecter des opérationssur la même station (contraintes d’inclusion etcontraintes d’exclusion pour les stations), nous utilisonsdes hypergraphes. Par exemple, l'hypergraphe donnédans la figure 2, s’il représente des contraintesd’exclusion pour un bloc, montre que les opérations 1 et3 ne peuvent pas être réalisées dans le même bloc (idempour les opérations 6 et 7).1 36 7Figure 2. Des contraintes exprimées par un hypergraphePour la relation d’ordre partiel, nous utilisons un graphedont les sommets représentent les opérations et les arcsles contraintes de précédence ; un arc (i, j) existe sil’opération j peut être exécutée après ou en même tempsque l’opération i (mais jamais j avant i). Cette formeparticulière du graphe de précédence est choisie car ilexiste des opérations s’exécutant simultanément.Pour une contrainte de précédence stricte, il fautcombiner un arc et une hyper arête correspondante (cf.figure 3).iiFigure 3. Une contrainte de précédence strictePour les contraintes du problème, nous avons donc :rr• le graphe G = ( N,E ) représentant une relationd’ordre partiel entre les opérations,bb• l’hypergraphe H = ( N,E ) représentant lescontraintes d’inclusion pour les blocs, tel que E b estconstitué des sous-ensembles d’opérations de N àexécuter dans le même bloc,ss• l’hypergraphe H = ( N,E ) modélisant lescontraintes d’inclusion pour les stations,b b• l’hypergraphe H = ( N,E ) représentant lescontraintes d’exclusion pour les blocs,s s• l’hypergraphe H = ( N,E ) décrivant lescontraintes d’exclusion pour les stations.Le choix de ce modèle s’explique par le soucid’illustration visuelle, ainsi que par la nécessité devérifier et simplifier les contraintes.3.1.2 Vérification et simplification des contraintesPour réduire la taille du problème et pour tenir comptedes dépendances de certaines contraintes et vérifier leurcompatibilité, nous effectuons les transformationssuivantes du graphe G r et des hypergraphes.jjAlgorithme 11. Chaque composante connexe K du hypergraphe H best remplacée par une seule hyper arête incluant tousles sommets de la composante K.2. Dans le graphe de précédences G r , l’ensemble dessommets, correspondants à une hyper arête dansl’hypergraphe H b , est remplacé par un seul sommet.Les arcs multiples et les boucles sont supprimés. Desnouveaux sommets de G r représentent des ensemblesd’opérations de N (macro-opérations).3. Si dans G r , il n’y a pas de circuits, aller à l’étape 4.Sinon, soit C l’ensemble des circuits dans le grapheG r , qui ne sont pas inclus dans d’autres circuits et soitE r (c) l’ensemble des sommets du graphe G r quicomposent le circuit c∈C, alors :pour chaque circuit c∈C l’ensemble E r (c) estremplacé par un nouveau sommetN(c) = U e ⊆ N ,re∈E( c )les arcs multiples et les boucles sont supprimés.4. Les sommets du nouveau graphe G r sont des macroopérationset ses arcs représentent une relationd’ordre partiel entre ces macro-opérations. Pourb s stransformer les hypergraphes H , H et H , entenant compte des macro-opérations obtenues, ilsuffit :de remplacer chaque hyper arête par la macroopérationla contenant ;sd'appliquer à l’hypergraphe H une procéduresimilaire aux étapes 1-3 ci-dessus ;d'éliminer dans les hypergraphes H b et Hstoutes les arêtes contenant d’autres arêtes ;pour supprimer la redondance, toutes les hypersbarêtes de H sont supprimées de H .5. Les contraintes initiales sont compatibles etscohérentes si pour chaque hyper arête e ∈ E etse ∈ E ,e ⊄ e.Nous supposons par la suite que cet algorithme est déjàexécuté et que l’ensemble N est donc composé desmacro-opérations obtenues après la transformation.3.2 Calcul des tempsSi nous avons une décision de conceptionP =< N ,...,N − ),...,(N − ,..., − − ) > ,( 0 , 0 0 ,n 0 1 m 1 , 0 N m 1 ,n m−11alors le temps d’exécution T(N kl ) du bloc l de la station ksera le suivant :T(N kl ) = max {t j | j∈ N kl }+ τ (N kl ), (2)où τ (N kl ) est un temps supplémentaire.- 356 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)Le temps de la station k sera donc :n k −1k N kll=0T ( N ) = ∑ T ( ) . (3)Le temps de cycle de la ligne T(P) pour la décision P estégal à :T( P)= max{T(Nk ) 0 ≤ k ≤ m -1}, (4)ce temps de cycle doit être inférieur ou égal à T 0 .3.3 Programme linéaire pour l’optimisationSoit n 0 le nombre maximum de blocs que nous pouvonsavoir pour une station, m 0 le nombre maximum desstations dans la ligne et k un numéro de station, alors,nous introduisons les variables suivantes :q = q( k,l ) = kn0 + l , 0 ≤ q ≤ m0n0−1est l’indice dubloc l de la station k (numéro de bloc),q – (i) est la borne inférieure pour l’indice q del’opération i,q + (i) est la borne supérieure pour l’indice q del’opération i.Par exemple, si q – (i)=2 et q + (i)=5, alors l’opération i nepeut pas être affectée au bloc dont l’indice (numéro) estinférieur à 2 ou supérieur à 5.Pour simplifier la présentation du modèle, nous utilisonsles notations supplémentaires suivantes :k – (i)=⎣q – (i)/n 0 ⎦ est la borne inférieure pour l’indice kde l’opération i (numéro de station),k + (i)=⎣q + (i)/n 0 ⎦ est la borne supérieure pour l’indice kde l’opération i,q 0 = m0n0−1est l’indice du dernier bloc (nombremaximum de blocs),j*(e) est une opération quelconque de l’ensemble e,QI(i)=[q – (i),q + (i)] est l’intervalle des valeurs possiblesde l’indice q pour l’opération i ;SI(i)=[k – (i),k + (i)] est l’intervalle des valeurs possiblesde l’indice k pour l’opération i ;Pred(i)={j∈N|(j,i)∈E r } est l’ensemble d’opérationsprédécesseurs de l’opération i ;N q ={i∈N|q∈QI(i)} est l’ensemble d’opération de Ncandidates au bloc q ;SQI(e)= [max{q – (i)| i∈e}, min{q + (i)|i∈e}] estl’intervalle des valeurs possibles de l’indice q pourl’ensemble e ;SSI(e)= [max{k – (i)| i∈e}, min{k + (i)|i∈e}] estl’intervalle des valeurs possibles de l’indice k pourl’ensemble e;QSI(i,k)=[max{q – (i),kn 0 },min{q + (i),(k+1)n 0 -1}] estl’intervalle des valeurs possibles de l’indice q pourl’opération i de la station k.Nous utilisons les variables de décision binaires :X iq⎧1,si l' opération i est affectée⎪= ⎨⎪⎩ 0,sinon ,et les variables auxiliaires réelles :F ≥ 0 , pour déterminer le temps du bloc q,qau bloc q ,(5)Y q ≥ 0 et Z k ≥ 0 , pour compter le nombre de blocs et lenombre de stations.Les variables Y q etZ k sont définies comme étantréelles, mais grâce aux contraintes du modèle, cesvariables ne prennent que les valeurs 0 ou 1 quiindiquent si le bloc q a été créé ou non et si la stationnuméro k existe ou non.Le problème s’est réduit au programme linéaire suivant :m0−1q0C1 ∑ Zk+ C2∑ Yq→ min , (6)k = 0q=0sous les contraintes suivantes :∑ X jq = 1, j∈N, (7)q∈ QI( j )∑ ∑ X iq'≥ X jq |Pred(j)|,i∈ Pred( j ) q' ∈QI(i ) ∩[ 0,q]∑ ∑ X jq' = (|e|-1)j ∈e\{j*( e )} q′∈QSI(j,k )j∈N, q∈QI(j), (8)× ∑ X j*( e )q , e∈E s , k∈SI(j * (e)), (9)q∈ QSI( j*( e ),k )- 357 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)∑j∈eX ≤ |e|-1, e∈ bjqE , q∈SQI(e), (10)∑ ∑ X jq ≤|e|-1, e∈ E s , k∈SSI(e), (11)j ∈eq∈QSI(j,k )d( j,i )⎧S⎪2,si { j,i}∈ E ;⎪⎪b= ⎨1,si { j,i}∈ E ;⎪⎪0,sinon .⎪⎩(16)F q ≥ t i X iq , q=0,…,q 0 , i∈N q , (12)−1∑ Fq(k,l ) ≤ T 0 , k=0,…m 0 -1, (13)l = 0n 0Y q ≥X jq , q=0,…,q 0 , j∈N q , (14)Z k ≥ Y q(k,l) , k=0,…m 0 -1, l=0,…,n 0 -1. (15)Dans ce modèle :• la fonction objectif (6) avec les contraintes (14) et(15) minimisent le coût ;• la contrainte (7) force l'affectation de toutes lesopérations de l’ensemble N ;• les contraintes de précédence G r sont dans (8) ;• les contraintes (10) et (11) interdisent de groupercertaines opérations dans le même bloc ou de lesaffecter à la même station (contraintes d’exclusion) ;• la contrainte (9) oblige d’affecter certainesopérations à la même station (contraintesd’inclusion) ;• les contraintes (12) et (13) permettent de respecter letemps de cycle.Si le nombre d’opérations dans l’ensemble N n’est pasassez grand ou si les contraintes du problème permettentde déterminer un intervalle [q - (i), q + (i)] serré quel quesoit i, alors le problème (6)-(15) peut être résolu demanière exacte.3.4 Calcul des bornesUne borne inférieure q - (i) pour tout i∈N peut êtrecalculée en suivant l’ordre de la numérotation desopérations dans le graphe G r (nous supposons que lesopérations sont numérotées dans un ordre croissant detelle sorte que si (j, i) ∈ E r alors j

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)1 5 132 4 7 116 14 18 218 15 19 223 9 12 16 2010 17 23Figure 4. Graphe de précédence G r .Les contraintes d’inclusion et d’exclusion pour les blocset pour les stations sont données dans le tableau 1, lestemps opératoires se trouvent dans le tableau 2.Numéro del’ensemblesEbEsEOpérations1 1,4 1,4 3,102 8,10,17 5,6,13 13,183 14,19 8,11 16,19,204 - 12,17,20 20,23Tableau 1. Contraintes d’inclusion et d’exclusionOpération 1 2 3 4 5 6 7 8Temps 17 18 11 15 21 23 19 17Opération 9 10 11 12 13 14 15 16Temps 16 21 25 24 13 12 21 20Opération 17 18 19 20 21 22 23 -Temps 10 26 18 19 15 16 14 -Tableau 2. Temps opératoiresLe tableau 3 contient le nombre V p de contraintes numérop du modèle mathématique (6)-(15).14 2 1515 4 1116 4 1117 4 1118 4 1519 4 1520 4 1121 4 1522 4 1523 8 15Tableau 4. Bornes inférieures et supérieuresL’affectation optimale des opérations aux blocs et auxstations est donnée dans la figure 5.Les calculs ont été faits à l’aide du modéleur-solveurXPRESS-MP. La solution optimale a été obtenue en2508 itérations, la durée totale de calcul a été de 57secondes.4.2 Résultats récapitulatifs d’un ensemble de testsNous avons utilisé 10 séries d’exemples de ce typegénérés aléatoirement. Chaque série contient 10exemples de même taille. Dans ces exemples, le nombred’opérations (macro-opérations) varie de 10 à 45.Les résultats sont présentés dans le tableau 5. Dans cetableau nous utilisons les notations suivantes :Ex : n° de la série,NO : nombre d’opérations,NVE : nombre de variables entièresNTV: nombre total de variables,NTC: nombre total de contraintes,NMI: nombre moyen d’itérations,TMS : temps moyen de calcul.X jq ,V 6 V 7 V 8 V 9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 Total23 231 10 37 6 231 4 231 16 789Tableau 3 : Nombre des contraintesLes estimations des bornes inférieures et supérieures dunuméro de bloc pour chaque opération sont données dansle tableau 4.1,23,4,5,97,8,10,126,11,1315,16,17,2014,1819,2122,23Opération Borne inférieure Borne Sup.1 0 92 0 103 0 74 1 105 1 116 1 117 1 118 1 109 1 1110 4 1111 2 1112 4 1113 2 11S 0 S 1 S 2stationFigure 5. Solution optimaleblocEx NO NVE NTV NTC NMI TMS1 10 62 82 220 584 0 ′′2 13 103 131 371 1553 2 ′′3 17 160 188 558 3272 7 ′′4 18 176 211 220 3838 6 ′′5 20 220 255 762 2317 15 ′′6 25 365 411 1229 12833 35 ′′7 29 421 463 1386 8524 10′20 ′′- 359 -

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)8 35 552 597 1798 10543 21′52 ′′9 38 628 677 2059 37834 1 h 57′13 ′′10 45 758 807 2463 95685 3 h 56′29 ′′Tableau 5. Résultats des tests5. CONCLUSIONSDans cet article, nous avons formulé un nouveauproblème d’équilibrage des lignes de production. Ilconcerne un type de lignes de transfert. C’est unproblème proche du problème d’équilibrage des lignesd’assemblage mono-produit, mais ici nous prenons encompte des contraintes additionnelles liées à l’exécutionsimultanée de certaines opérations.Nous avons proposé un programme linéaire à variablesmixtes. Nous avons testé notre modèle sur un ensembled’exemples de tests en utilisant le modeleur-solveurXPRESS-MP. Les résultats montrent que le modèle quenous avons proposé permet de résoudre, de manièreexacte et avec un temps de calcul ne dépassant 4 heures,les problèmes de taille d’environ 45 opérations.Une extension possible de notre travail serait de chercherdes méthodes plus efficaces pour le calcul des bornesinférieures et supérieures des numéros de stations et deblocs, pour chaque opération. Une autre voie serait decombiner notre méthode exacte avec des approchesheuristiques pour pouvoir aborder en temps raisonnabledes problèmes de grande taille.Symposium on Assembly and Task Planning(ISATP'99), Porto, Portugal.Dolgui, A., N. Guschinsky and G. Levin, 1999a. Optimaldesign of transfer lines and multi-position machines.Proceedings of the 7 th IEEE MediterraneanConference on Control and Automation (MED’99),Haifa, Israel, p. 1962-1973Dolgui, A., N. Guschinsky and G. Levin, 1999b. Onproblem of optimal design of transfer lines withparallel and sequential operations. Proceedings of the7th IEEE International Conference on EmergingTechnologies and Factory Automation (ETFA’99),Spain, J.M. Fuertes (Ed.), IEEE, vol. 1, p. 329-334.Dolgui, A., N. Guschinsky and G. Levin, 2000a.Optimizing parameters of transfer lines with parallelmachining, Proceedings of the 16th InternationalConference on CAD/CAM, Robotics and Factories ofthe Future (CARS&FOF 2000), Port of Spain,Trinidad & Tobago, vol. 1, p. 317-324.Dolgui, A., Levin G., and N. Guschinsky, 2000b.Approaches to balancing of transfer lines with blocksof parallel operations. Institute of EngineeringCybernetics, Minsk, Preprints N°8, 42 pages.Dolgui, A., N. Guschinsky, G. Levin and Y. Harrath,2000c. Optimal design of class transfer lines withblocks of parallel operations. Pre-prints of the IFACSymposium on Manufacturing, Modeling,Management and Control (MIM’2000), Patras,Greece, p. 36-41.REFERENCESArcus, A. L., 1966. COMSOAL: A computer method ofsequencing operations for assembly lines.International Journal of Production Research, 4, p.259-277.Bard, J. F. 1989. Assembly line balancing with parallelworkstations and dead time. International Journal ofProduction Research, 27 (6), p. 1005-1018.Baybars, I., 1986. A survey of exact algorithms for thesimple line balancing problem. Management Science,32, p. 909-932.Boukchin, J., and M. Tzur, 2000. Design of flexibleassembly line to minimize equipment cost, IIETransactions, 32, p. 585-598.Choi, W., Y. Lee, 1998. Line balancing of mixed-modelassembly lines. 2 nd International Conference onEngineering Design and Automation (EDA’98),Maui, Hawaii.Coffman, E.G., M.R. Garey and D.S. Johnson, 1978. Anapplication of Bin-Packing to multiprocessorscheduling. SIAM Journal on Computing, 7, p. 1-17.De Lit, P., B. Rekiek, F. Pellichero, A. Delchambre, J.Danloy, F. Petit, A. Leroy, J.-F. Marée, A. Spineux,and B. Raucent, 1999. A New Philosophy for theDesign of a Product and its Assembly Line.Proceedings of the 1999 IEEE InternationalGallo, G. and S. Pallottino, 1988. Shortest pathalgorithms, Ann. Oper. Res, 13, p. 3-79.Garey, M.R., Johnson, D.S., and R. Sethi, 1976. Thecomplexity of flow shop and job shop scheduling,Math. Oper. Res., 1/2, p. 117 - 129.Groover, M. P., 1987. Automation, Production Systemsand Computer Integrated Manufacturing, PrenticeHall, Englewood Cliffs, New Jersey.Gunther, R.E., G.D. Johnson, R.S. Peterson, 1983.Currently practice formulation for the assembly linebalance problem, J. Operations Management, 3, p.209-221.Helgenson, W.B. and D.P. Birnie, 1961. Assembly LineBalancing Using Ranked Positional WeightTechnique. Journal of Industrial Engineering, 12, p.394-398.Lee, H.F., and R.V. Johnson, 1991. A Line BalancingStrategy for Designing Flexible Assembly Systems.- 360 -

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