une approche de programmation lineaire pour la conception des ...

MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)• la réduction du nombre de machines à utiliser et del’espace occupé.La ligne est conçue pour une productivité annuelledonnée ; le temps de cycle de la ligne, qui est le tempsmaximal pour traiter une pièce par n’importe quellestation de la ligne, est donc connu. Le taux de productionde la ligne appelé aussi cadence, mesuré en nombre depièces par unité de temps, est égal à la valeur inverse dutemps de cycle.Le coût de la ligne est proportionnel au nombre destations et au nombre de têtes d’outils. Le temps de cycledépend du nombre de blocs, de l’ensemble desopérations constituant chaque bloc, ainsi que du nombrede stations et de l’ensemble des blocs affectés à chaquestation. Tous ces paramètres sont à définir à l’étape de laconception préliminaire de la ligne et restent inchangésdurant son cycle de vie. Etant donné l’effet d’échelle, uneerreur lors de cette phase de conception peut coûter cher.Il est donc nécessaire d’étudier d’une manièreapprofondie des solutions possibles et de choisir une trèsbonne solution, et si possible, la meilleure.L’explosion combinatoire du nombre de décisionspossibles rend nécessaire le développement des outilsspécifiques d’aide à la décision. Dans cet article, nousproposons un outil de ce type.2. DEFINITION DU PROBLEME2.1 Données et objectifsUne étude préalable du nouveau produit pour lequel laligne doit être conçue, permet de définir les donnéessuivantes :• l’ensemble N des opérations nécessaires pour lafabrication du produit,• les temps opératoires t i ,• le temps de cycle T 0 de la ligne déterminant lacadence de la production (productivité),• les contraintes de précédences pour les opérations(relation d’ordre partiel),• les contraintes de nécessité d’exécution de certainesopérations dans le même bloc ou sur la même station,• les contraintes d’impossibilité d’exécution decertaines opérations dans le même bloc ou sur lamême station.Le problème d’optimisation consiste alors à déterminersimultanément les paramètres de conception suivants :• le nombre m de stations de travail,• l’affectation de l’ensemble N des opérations auxstations de travail , k = 0,..., m −1,N k• le nombre n k , k = 0,..., m −1de blocs pour chaquestation N k ,• la partition des ensembles N k en sous-ensemblesN kl ,l = 0,...,nk−1,k = 0,...,m-1représentant lesblocs.L’objectif est de minimiser le coût de la ligne :C m + mC ∑−11 2 nk → min(1)k = 0où C 1 et C 2 sont respectivement le coût d’une station et lecoût d’un bloc.2.2 Etat de l’art2.2.1 Equilibrage des lignes d’assemblageLe problème le plus proche à celui que nous traitons iciest l’équilibrage des lignes d’assemblage. Il consiste àaffecter des opérations aux stations de travail de sorteque le nombre de stations soit minimal et que lescontraintes de précédence et le temps de cycle de la lignesoient respectés. Dans (Rekiek et al., 2000), ce problèmeest défini de manière formelle comme ceci. Nous avonsun graphe G r = (N, E r ) non cyclique où N est unensemble de sommets représentant des opérations et E rest un ensemble d’arcs modélisant des contraintes deprécédence. A chaque sommet i du graphe est associéune constante t i qui donne le temps de l’opération i. Noussupposons que le temps de cycle T 0 de la ligne est connu.Alors, il faut trouver une partition de l’ensemble N en unnombre minimal des sous-ensembles de sorte que lasomme des temps t i pour chaque sous-ensemble soitinférieure ou égale à T 0 et qu’il soit possible d’ordonnerces sous-ensembles en tenant compte des contraintes deprécédence des opérations données par E r .Baybars (1986) a énuméré les principales hypothèses duproblème classique d’équilibrage des lignesd’assemblage : 1) les temps sont déterministes, 2) lesplitting est interdit, 3) il y a des contraintes deprécédence, 4) il faut réaliser toutes les opérations,5) n’importe quelle station peux faire n’importe quelleopération, 6) les temps d’opération ne dépendent pas destation, 7) n’importe quelle opération peut être affectée àn’importe quelle station, 8) les stations sont disposées ensérie, 9) la ligne est conçue pour un seul produit et elle aun seul mode de fonctionnement, et, enfin, soit 10a) letemps de cycle T 0 est fixe, soit 10b) le nombre de stationsest fixe.Les problèmes avec l’hypothèse 10a) sont connus sous lenom de SALB-1 (Simple Assembly Line Balancing).Dans ce type de problème il faut minimiser le nombre destations (ce qui est équivalent au temps mort minimal).Les problèmes avec l’hypothèse 10b) s’appellent SALB-2, dans ce cas, il faut minimiser le temps de cycle(maximiser la productivité).- 354 -