Diagnostic de défauts des systèmes à représentation multi-modèles ...

2.2 Méthode d’évaluation multi-hypothèses : la problématique de la détection de défauts et de
la robustesse vis-à-vis des points de fonctionnement 45
fonctionnement représentant le système non linéaire autour du j ème point de fonctionnement
avec pour hypothèse que le rang de chaque matrice soit identique ∀j.
Ainsi, de manière similaire au formalisme proposée par (Johansen et Foos 1998) en l’absence
de défauts, le système linéaire, défini par la paire de signaux d’entrée et de sortie
(Y j ,U j ), résultant de la modélisation d’un processus non linéaire autour du j ème point de
fonctionnement, sur l’ensemble des M points de fonctionnement, se détermine par un jeu de
matrices :
S j =
[
]
A j B j ∆ Xj F Xj ω j
, ∀j = [1, 2,...,M]. (2.3)
C j D j ∆ Yj F Yj ν j
Dans le but de représenter le système non linéaire (2.1), l’ensemble de modèles linéaires (2.3)
est utilisé à chaque instant, pour la séquence de matrice variante S(k) suivante :
S(k):=
{
∑M
j=1 ϕ j(k)S j : ϕ j (k) ≥ 0, ∑ M
j=1 ϕ j(k)=1
}
, (2.4)
où S(k) est la séquence de matrice qui décrit le comportement dynamique du système non linéaire.
ϕ j correspond à la variable de coordination, également appelée fonction de validation,
considérée inconnue. Ainsi le comportement dynamique du système non linéaire peut être défini
à partir d’un jeu de modèles linéaires invariants dans le temps, noté S = [S 1 ,S 2 , · · · ,S M ])
sur l’ensemble convexe :
Λ :=
{
ϕ j ∈ R M : ϕ j (k) ≥ 0,
M∑
j=1
ϕ j (k) = 1
}
, (2.5)
où Λ décrit l’ensemble convexe de modèles linéaires S.
D’après (Park et al. 1994) et sans nuire à la généralité de notre méthode, les défauts capteurs
considérés comme des incertitudes structurées, peuvent être interprétés mathématiquement
comme des pseudo défauts d’actionneurs. Ainsi en considérant un vecteur unique de défauts
f ∈ R m+n , chaque jeu de matrices associées aux modèles linéaires sur l’ensemble convexe
peut être représenté sous la forme :
S j =
[
A j B j ∆ Xj F j ω j
C j D j ∆ Yj ν j
]
, ∀j ∈ [1, 2,...,M], (2.6)