LES ANTENNES PARABOLIQUES EN TPE

REPERES - IREM. N° 65 - octobre 2006 

LES ANTENNES 

PARABOLIQUES 

EN TPE 

Francis JAMM 

Irem de Strasbourg (*) 

Nous avions proposé (*) le TPE suivant : 

Pourquoi les antennes sont-elles paraboliques 

? 

Je m’attendais à un TPE tranquille sur 

les propriétés focales des coniques. L’objectif 

était, qu’à partir de mesures faites sur une 

antenne, les élèves déterminent, par calcul, 

la position du foyer et constatent que le récepteur 

était placé à cet endroit. 

1 — Un TPE « expérimental » 

Les élèves nous apportent donc une 

antenne parabolique. Non rassurez-vous, 

ils nous ont dit qu’ils ne l’avaient pas volée 

sur un toit ! 

«Monsieur, le bord de l’antenne c’est pas 

un cercle mais un ovale !? » 

Donc le paraboloïde n’était pas coupé perpendiculairement 

à son axe (une autre possibilité 

aurait été que le paraboloïde ne soit 

pas de révolution ; mais dans ce cas, les différentes 

paraboles qui le composent n’ont pas 

le même foyer et il ne peut pas servir de 

récepteur). Les choses se corsaient et adieu 

la tranquillité. 

Le premier travail a consisté à prendre 

des mesures de l’antenne. Les élèves se sont 

placés dans un repère orthonormé d’origine 

une des extrémités du grand axe de l’ellipse. 

Ce grand axe, trouvé au jugé, est contenu 

dans l’un des deux plans de symétrie, apparents, 

de l’antenne. Le grand axe mesurant 

82 cm les élèves ont mesuré, tous les 5 cm, la 

profondeur du paraboloïde. Ces mesures 

(*) De belles âmes s’offusqueront peut-être, que l’on propose 

des sujets de TPE aux élèves au lieu de laisser libre 

cours à leur imagination foisonnante. Cela se passait dans 

une classe de Première S, option Sciences de l’Ingénieur ; 

et les contraintes de la SI expliquent ce dirigisme de la part 

des professeurs (*) Cet article est paru dans l’Ouvert, numéro 111. 

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PARABOLIQUES EN TPE 

devaient permettre de trouver une équation 

de la parabole obtenue par l’intersection du 

paraboloïde avec le plan du repère. En effet, 

ce plan est plan de symétrie du paraboloïde 

et contient donc le récepteur ou foyer. 

Les élèves ont obtenu les points indiqués dans 

le tableau ci-dessous (l’unité étant le cm). 

Essai 1 : Ils essayent, à l’aide du logiciel 

REGRESSI, de trouver l’équation de la parabole 

en introduisant les coordonnées des points 

trouvés. Mais en vain car le logiciel ne fonctionne 

que pour des relations du type y = f(x). 

Essai 2 : Je fais aux élèves un petit topo sur 

l’équation générale des coniques ; et je leur 

explique, que le repère n’étant pas le repère 

canonique ils doivent chercher une équation 

sous la forme : 

ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0. 

Ils répartissent les points en deux groupes 

et cherchent des polynômes normalisés. Ils obtiennent 

pour les points d’abscisses 0, 20, 40, 60, 82 

les équations suivantes ( à l’aide d’une TI 89) : 

x 2 – 2,65y 2 + 1,17xy – 82x + 228y = 0 

Et pour les points d’abscisses 0, 25, 45, 65, 82 : 

x 2 + 1,65y 2 + 1,06xy – 81,94x + 205,67y = 0 . 

Il faut noter que les élèves ont pensé que 

prendre deux chiffres après la virgule était suffisant 

compte tenu de l’imprécision de leurs 

mesures. Ils n’ont pas eu la curiosité de remplacer, 

dans l’équation, x et y par les coordonnées 

des points choisis . Or, quand on le fait, pour 

la première équation, les résultats s’échelonnent 

entre – 1,1 et – 22,1, au lieu de valeurs 

proches de 0. Ils n’ont pas d’avantage eu la 

curiosité de voir ce que cela donnait avec les 

points non choisis pour trouver l’équation. 

D’autre part, ils sont très surpris que les 

deux équations, qui sont censées représenter 

à peu près la même courbe, aient des coefficients 

si différents. Entre temps ils ont troqué 

la TI 89 pour MAPLE ce qui fait tout 

de même plus « classe ». Ils se dépêchent alors 

de tracer les représentations graphiques de 

ces deux courbes ainsi que les 17 points dont 

ils ont mesuré les coordonnées. Ils sont très 

contents, tout cela se superpose à merveille 

(figure du haut). Ah, graphique quand tu 

nous tiens ! 

Là où les ennuis commencent... 

Le hic est que la première équation est celle 

d’une hyperbole et la deuxième celle d’une ellipse 

! Sans entrer dans des considérations algébriques 

sur les formes quadratiques ils s’en 

rendent compte en changeant de fenêtre. Ils 

obtiennent alors la figure du bas... 

x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 82 

y 0 1,8 3 4,2 5,2 5,9 6,3 6,5 6,5 6,3 5,9 5,3 4,6 3,7 2,7 1,8 0 

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Ce fiasco était prévisible. 5 points déterminent 

une conique, mais la parabole étant 

d’excentricité 1, quatre points suffisent. La 

probabilité que cinq points, pris au hasard, déterminent 

une parabole est donc nulle. Or les coordonnées 

des points utilisés sont des valeurs 

approchées, d’où l’impossibilité d’obtenir une 

parabole. Les élèves ont pu s’en convaincre en 

utilisant Cabri Géomètre. En fixant quatre point 

et en déplaçant le cinquième, on passe d’une 

ellipse à une hyperbole sans jamais obtenir 

une parabole. Heureusement que la question 

n’était pas : ayant fait 17 observations de la 

position d’un astéroïde, déterminer s’il va 

entrer en collision avec la Terre… 

Essai 3 : Ils me demandent si l’on ne peut pas 

bricoler les équations pour les écrire sous 

une forme plus simple. Oui, la réduction quadratique 

de Gauss le fait très bien, mais cela 

ne nous avancera pas. 

Essai 4 : J’ai alors anticipé auprès de ces 

élèves le cours sur les changements de repères. 

Pour effectuer un changement de repère il suffit 

de connaître les coordonnées du nouveau 

centre Ω(a ; b), le rapport k et l’angle θ de la 

similitude. Quatre inconnues, quatre équation, 

quatre points. Et par quatre points on peut 

faire passer une parabole (sauf cas pathologiques). 

Dans le nouveau repère on aura la relation 

Y = X 2 . Les formules de changement de 

repère nous permettent de passer des coordonnées 

initiales à (X ; Y) et d’obtenir ainsi 

les équations. MAPLE se chargera de trouver 

(a, b, k, θt). Les élèves prennent les points d’abscisses 

0, 25, 55, 82. Et voici les résultats : 

a 0,01 0,01 3225 3255 

b 1 1 57 57 

k 0,006 – 0,006 – 17,9 17,9 

θ – 0,99 2,14 – 0,11 3,13 

Avec les points d’abscisses 0, 20, 50, 82 

ils trouvent (en supprimant les doublons liés 

aux deux orientations possibles du repère) : 

a -0,07 35,8 

b 0,004 -1287 

k 0,005 -25,25 

θ 2,64 -1,58 

La clarté n’est pas la première qualité de 

ces résultats. J’ai vite abandonné cette voie. 

Les élèves perdaient visiblement pied (il faut 

dire que pour un premier changement de 

repère c’était un peu rude !) 

Essai 5 : Ils essayent de couper la courbe 

obtenue par une droite passant par l’origine 

du repère. Elle recoupe la courbe en un point 

A. La médiatrice de [OA] serait l’axe cherché. 

Ils se rendent vite compte que c’est faux, et 

pourtant, ils n’ont jamais été si proches de la 

solution comme on le verra à la fin. 

Essai 6 : Ils pensent qu’en posant la parabole 

sur une table, le point de contact sera le sommet 

du paraboloïde. Là aussi ils réalisent 

tout de suite que c’est faux. A ce stade nous 

ne savons même pas si le sommet du paraboloïde 

est situé sur l’antenne parabolique. 

Essai 7 : Il fallait donc se débrouiller avec ce 

que l’on avait. Après tout, dans la zone qui nous 

intéressait, ces coniques approchaient fort 

bien la parabole cherchée. L’axe focal de l’ellipse 

ne devait pas être très éloigné de l’axe de 

symétrie de la parabole. Je leur explique 

alors, que dans une conique à centre il y a deux 

directions privilégiées, à savoir les axes de symétrie. 

Avec un peu de chance l’axe focal sera 

proche de l’axe de symétrie de la parabole. En 

effet on ne sait pas du tout comment a été coupé 

le paraboloïde... 

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Une boite noire appelée vecteurs propres 

permet de trouver ces axes. Ce cher MAPLE 

leur fournit les résultats suivants : Pour 

x 2 – 2,65y 2 + 1,17xy , ils obtiennent les vecteurs 

propres de coordonnées (0,15 ; – 0,97) 

et (– 0,97 ; – 0,15). Pour x 2 + 1,65y 2 + 1,06xy , 

ils obtiennent les vecteurs propres de coordonnées 

(0,52 ; 0,85) et (0,85 ; – 0,52). 

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Ce qui se visualise par le schéma de la page 

suivante... 

Pour ce qui est d’obtenir une idée de la direction 

de l’axe de la parabole c’est raté ! Naturellement 

les essais qu’ils font avec d’autres 

familles de points donneront des résultats 

tout aussi inexploitables. 

9

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@?g?W&(Y? 

.MeB1?7




> restart; 

P:=array(1..2,1..17,[[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75, 

82],[0,1.8,3,4.2,5.2,5.9,6.3,6.5,6.5,6.3,5.9,5.3,4.6,3.7,2.7,1.8,0]]); 

P := 

⎡ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 

82 

⎣ ⎢ 

⎤ 

0 , 1.8 , 3 , 4.2 , 5.2 , 5.9 , 6.3 , 6.5 , 6.5 , 6.3 , 5.9 , 5.3 , 4.6 , 3.7 , 2.7 , 1.8 , 0⎦ 

⎥ 

> d:=(x,y)->(m*x-y+p)^2/(1+m^2)-((x-a)^2+(y-b)^2); 

( mx− y+ 

p) 

d := ( x, 

y ) → 

2 

− ( x − a) 

2 − ( y− 

b) 

2 

1 + m 2 

>sol:=solve({d(0,0)=0,d(25,5.9)=0,d(55,5.3)=0,d(82,0)=0,p>0}); 

assign(sol); 

sol := { b = -39.24704628, a = 7.151258235 , p = 47.54958091 , m = .6485943381} 

> erreur:= k->abs(sqrt((P[1,k]-a)^2+(P[2,k]-b)^2)-abs(m*P[1,k]- 

P[2,k]+p)/sqrt(1+m^2)); 

erreur := k → ( P 1, 

k 

− a ) 

2 + ( P 2, 

k 

− b ) 

2 mP − + 

− 1, 

k 

P 2, 

k 

p 

>sommerreur:=0; 

for k from 1 to 17 do sommerreur:=sommerreur +erreur(k) od; 

sommerreur:= 

1.81703904 

1 + m 2 

Voici les résultats des différents tests effectués par les élèves. 

Abscisses des a b m p sommerreur 

points choisis 

0 25 55 82 7 -40 0,65 47,55 1,81 

0 35 45 82 10 -42 0,54, 49,93 1,82 

0 30 60 82 7 -35 0.73 -43.1 1.92 

0 20 60 82 8 -41 0,61 49,35 2,07 

0 20 40 82 12 -45 0,49 525,39 2,11 

10 20 40 82 100 14 -8,82 899,91 6,51 

11

K?O2@e@? 

S@@@U@e@??@@@ 

7

@ 




Le récepteur est un cône tronqué 

d’une dizaine de 10 cm de long. L’antenne 

elle-même est un fil de métal, d’environ 

1,5 cm de long placé au fond du cône. 

Le point trouvé pour le foyer se situe, à 

peu près, au fond du cône. Le cône peut 

servir à éliminer les rayonnements parasites 

par réflexions successives 

Ensuite les élèves ont collé trois carrés 

de papier réfléchissant sur la parabole. Ils ont 

placé, à quelques mètres de la parabole, trois 

émetteurs lasers orientés de telle sorte que les 

rayons émis soient parallèles à l’axe de la 

parabole. On voyait très bien, dans une 

ambiance Starwars, les trois rayons réfléchis 

converger vers le récepteur. 

2 — Le pourquoi du comment 

Reste LA question. Pourquoi le paraboloïde 

est-il coupé de la sorte ? Le professeur 

de SI avec qui j’encadrais ce TPE pensait 

que c’était pour améliorer la réception, mais 

sans plus. Les vendeurs d’antennes paraboliques, 

interrogés par les élèves, n’en 

n’avaient aucune idée. Sauf un, qui pensait 

que c’était pour empêcher l’eau de pluie de 

stagner sur l’antenne. 

La réponse m’est venue d’un de mes 

anciens élèves, aujourd’hui professeur à Télécom 

Paris. Si l’on coupait le paraboloïde perpendiculairement 

à l’axe, alors le bras portant 

le récepteur intercepterait une partie du fais- 

L’équipe de Terminale essayant de faire converger sur le foyer trois rayons laser parallèles. 

13




ceau qui aurait pu être collecté. Le paraboloïde 

est coupé de telle sorte que la totalité de sa 

surface renvoie le faisceau. Cela se voit très 

bien sur le dessin précédent. Les antennes ainsi 

coupées sont appelées antennes offset. 

Il est bien connu, que pour les TPE, les 

relations sont utiles. 

Les cordes qui dégonflent la parabole. 

Les bonnes lectures aussi sont utiles. A 

peine ce TPE était-il terminé que je trouvais 

dans Quadrature la propriété suivante : Quand 

on coupe une parabole par deux cordes parallèles, 

la droite joignant les milieux des deux 

cordes est parallèle à l’axe de la parabole. 

C’est élémentaire à démontrer, et, si nous 

l’avions su, le TPE aurait été considérablement 

simplifié. 

Perspectives 

Je persiste à penser que l’on peut faire un 

TPE « tranquille » sur ce sujet. C’est-à-dire avec 

un paraboloïde coupé perpendiculairement à 

l’axe. C’est le cas de certaines antennes radar 

. Le récepteur peut comporter un deuxième 

réflecteur, qui est un hyperboloïde, destiné à 

mieux concentrer le faisceau. Là, au moins, pas 

de danger que les élèves rapportent une antenne 

pour se confronter à la réalité. 

On peut consulter, Les Maths en pratique 

de l’IREM de Strasbourg, chapitre 

Coniques et radars (Bordas 1990), et le fabuleux 

site de Serge MEHL http://chronomath.com 

Les antennes paraboliques peuvent aussi 

servir d’émetteur. La Citée des Sciences et de 

l’Industrie en montre un exemple. 

Morale de l’histoire : Pour les élèves, vaut-il 

mieux, avoir un professeur savant et faire 

un TPE tranquille, ou bien, avoir un professeur 

moins savant et un TPE plus sportif ? 

Il y a aussi les miroirs sphériques utilisés 

par Archimède à Syracuse ou dans les 

grands radiotélescopes. 

Il existe des antennes permettant de capter 

plusieurs satellites . 

14




Il existe même des antennes plates (le bonheur), 

avec un dispositif électronique pour 

amplifier le signal reçu. 

Tous ces exemples peuvent faire des sujets 

de TPE, mais je ne garantis pas la tranquillité. 

3 — Post-sciptum 

Cette année j’ai repris ce TPE, mais avec 

des élèves de Terminale … et avec le « théorème 

miracle ». Bien entendu on va droit au 

but, et avec plus d’autonomie de la part des 

élèves. Mais cela reste un TPE très mathématique 

à cause d’un changement de repère 

compliqué pour nos élèves. En effet les mesures 

se font dans le repère (O,x,y) . Puis, après avoir 

trouvé le vecteur joignant le milieux des deux 

cordes, on se place dans le repère (O,X,Y). 

Dans ce repère la parabole a une équation plus 

classique, de la forme : Y = aX 2 + bX + c. 

Là on trouve les coordonnées du sommet 

Ω de la parabole. Puis, dans le repère 

(Ω, X’,Y’) , la parabole a une équation 

de la forme : Y’ 2 = 2pX’. 

Le foyer a pour coordonnées (p/2 ; 0). Il suffit enfin 

de retourner au repère d’origine. Une des difficultés 

provient de la précision des mesures. Et en particulier 

pour la corde intérieure à la parabole qui est 

très aplatie. En effet, comme les points joignant les 

milieux des cordes sont proches, une petite erreur 

à ce niveau entraîne une erreur importante sur la 

direction de l’axe focal. 

15




De plus, le bord de l’antenne parabolique 

étant arrondi, il est déjà difficile de savoir où 

commence exactement le paraboloïde. Un 

groupe a trouvé 82 cm et l’autre 81,5 cm pour 

le grand diamètre de l’antenne. En cherchant 

l’équation de la parabole le premier groupe a 

trouvé une ellipse et une hyperbole ; le second 

deux ellipses. Faire des mesures précises sur 

une antenne parabolique peut, faire l’objet d’un 

TPE math-physique. 

ANNEXE : Choix des points 

Pour choisir 4 points parmi 17 on a, a priori, 2380 possibilités. Il semble raisonnable de 

prendre les deux points situés au bord de l’antenne. En effet on est sûr que l’ordonnée y est 

nulle. L’essai fait avec les points d’abscisse 10, 20, 40 et 82 place le foyer dans le mauvais 

demi-plan ! Les élèves ont testé des points à peu près régulièrement répartis. 

Choix de l’équation et de la fonction MAPLE pour la résoudre 

Pour s’initier à MAPLE, les élèves avaient le livre maple sugar de Guy Le Bris, Cassini 

1999. Quand on teste la méthode avec des points de la parabole d’équation y = x 2 on obtient : 

Abscisses Equation Fonction Solution Temps 

des points MAPLE calcul 

–2, 0, 2, 3 MF 2 = MH 2 solve m = 0, p = –1/4, b = 1/4, a = 0 

m = –2/3, a = 1921/546, p = 2929/252, b = 3279/364 

7 s 

fsolve p = 11.62301, b = 9.008241, a = 3.518315, m = –.6666667 1s 

MF = MH solve > 10 mn 

fsolve 

Echec 

–2, 0, 1, 10 MF 2 = MH 2 solve m = 0, p = -1/4, b = 1/4, a = 0 

m = –2/11, a = –41/30, p = –305/132, b = –109/60 

10 s 

fsolve a = –1.36667, b = –1.81667, m = –.181818, p = –2.310606 2 s 

MF = MH solve > 10 mn 

fsolve 

Echec 

Les deuxièmes solutions, à rejeter, correspondent à une parabole qui passe presque par 

les quatre points choisis, mais pas du tout par d’autres points de la parabole y = x 2 . 

Naturellement le choix s’est porté sur MF 2 = MH 2 et sur solve.Nos élèves, abreuvés d’équations 

du second degré et d’intégrales calculées à l’aide de primitives, croient que les mathématiques 

sont faites pour donner des solutions exactes ; la solution étant encore plus exacte quand 

elle provient d’une calculatrice haut de gamme. Là ils ont été servis ! 

Mesure de l’écart entre les 17 points et la parabole trouvée. 

Additionner les nombres | MF – MH | était la méthode la plus simple. A partir du foyer 

et de la directrice on aurait pu chercher l’équation de la parabole, puis additionner les distances 

entre les 17 points et la parabole. On pouvait prendre la distance parallèlement à l’axe 

de la parabole, comme les élèves savent le faire avec l’asymptote, on pouvait aussi prendre 

la vraie distance entre le point et la parabole. 

Comparer ces trois méthodes est un sujet de TPE en soi. 

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LES ANTENNES PARABOLIQUES EN TPE

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