Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONS ENGEOMETRIE : INTRODUCTIONA UNE APPROCHE HISTORIQUEJean Claude THIENARDIrem de PoitiersIl est illusoire de prétendre communiquerde manière significative les résultatsd’une étude sur l’histoire d’un concept mathématiquesi l’on ne met pas le lecteur en présencedes textes qui l’ont créé, développé, faitvivre et sur lesquels se fondent nos interprétationset conclusions.Le présent article, par sa brièveté, nepeut donc être qu’une introduction à uneapproche historique du concept de transformationet une invitation à lire la série d’articlesconsacrés au sujet 1 (*).Néanmoins, si la forme brève implique dessimplifications, des lacunes, des raccourcis etdes affirmations péremptoires faute de produireles référents et donc les éléments de sacritique, elle implique également de ne gar-(*) Les notes sont rassemblées en fin d’article.der que l’essentiel, de ne focaliser l’attentionque sur l’articulation des faits majeurs etpeut donc avoir la vertu de fournir au lecteurquelques grands repères qui lui faciliterontensuite une étude plus approfondie.Le présent article abordera :— La genèse et la création de la notion de transformationrapportées à leur contexte historique,— Le rôle des transformations dans la création,par Poncelet, de la géométrie synthétiquemoderne,— Le développement de la géométrie synthétiqueet de la géométrie projective suscitépar l’œuvre de Poncelet,— La refondation de la géométrie euclidienne,par la notion de mouvement et lerôle fondamental de la translation et de larotation,27

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …Le Portillon de DürerLe fil tendu d’un point de l’objet à représenter à l’œil de l’observateur matérialisele rayon visuel qui va de ce point à l’œil. Par conséquent, si l’on souhaiteque la représentation de l’objet sur le tableau soit fidèle, il faut que le rayonvisuel qui va d’un point de l’objet à l’œil et celui qui va de la représentation surle tableau de ce point à l’œil, soient confondus. Le point doit donc être représentéà l’intersection du plan du tableau et du fil (ou du rayon visuel).La visée et la méthode du dessin en perspective ayant ainsi été illustrées, desrègles vont être élaborées. Dürer en donne quelques illustrations en indiquantcomment on peut construire en vraie grandeur l’intersection d’un cône à basecirculaire avec un plan, ou ce qui revient au même, comment on peut dessinerla perspective d’un cercle.Théorème de la Ramée :(B,H) (D,F) (C,G) en involutionimplique(b, h) (d, f) (c, g) en involution.29

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …Une transversale coupe le quadrilatère complet en (PQ) (IK) (HG) et le cercle en (LM).Desargues montre que (LM) (QP) (IK) sont en involution ainsi que (LM) (QP) (GH) et étendà cette occasion la définition de l’involution à quatre couples de points : (LM) (QP) (IK) (GH)sont en involution si trois de ces quatre couples pris comme on voudra sont en involution.La propriété vraie dans le cercle se transporte aux coniques par projection, par le théorèmede la «Ramée».euclidienne, la seule connue et donc la seuleadmise à l’époque. Le texte de Desargues estdonc créateur à plusieurs niveaux :* Desargues l’architecte, l’auteur de Traitéssur la perspective, la coupe des pierre, la gnomoniquevoit en perspective et donc danscette vision, l’ellipse, l’hyperbole et la parabole— perspectives du cercle — participentdu cercle quant aux propriétés que conserventles projections (ou perspectives),* Desargues mathématise la déformationd’une configuration « par mutation optiqued’apparence » 8 .a) en introduisant la correspondance entreles points de deux plans, aujourd’hui appeléeprojection conique ou cylindrique,b) en traitant de la même façon les faisceauxde droites parallèles et les faisceaux dedroites concourantes, par introduction de lanotion de points à l’infini : « But de l’ordonnanceà l’infini »...,c) en traitant de la même façon cônes etcylindres (sommet rejeté à l’infini),d) en abandonnant, et c’est un changementconsidérable, la traditionnelle trichotomiedes coniques 9 pour la démonstration de leurspropriétés.* Desargues crée un nouveau mode démonstratifqu’il qualifie de « démonstration par lerelief », c’est-à-dire par la perspective. Il utilisealors des considérations de géométriedans l’espace pour établir des propriétés de30

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …géométrie plane, ce qui est en rupture avec latradition euclidienne.Il crée la « méthode des transformations »qui consiste à démontrer une propriété sur uneconfiguration complexe — une conique quelconque— en la démontrant tout d’abord surune configuration simple — le cercle — et enla transportant du cercle à la conique parperspective ou projection.Desargues, conscient de la généralité etde la fécondité de sa démarche « Cette démonstrationbien entendu s’applique en nombred’occasions et fait voir la semblable génération... »,saura transmettre ses idées et aura une postéritéimmédiate et brillante : Pascal « Essaisur les coniques » 10 suivi d’un important Traitésur les coniques 11 .Par la création d’une transformation quipermet d’engendrer dans le plan toute coniqueà partir d’un cercle et d’en démontrer les propriétésà partir de celles du cercle, Philippede La Hire, dans ses « Planiconiques », introduitdans la géométrie une nouvelle syntaxedémonstrative, dégagée de la sémantique dela vision dans l’espace et donc des référentsmétaphoriques liés à la perspective. Il fait ainsifaire à la notion de transformation naissantele saut dans l’abstraction qui permettra d’enobjectiver le concept .Cette création trouvera des applicationsimmédiates dans l’oeuvre de Newton : « Principesmathématiques de la philosophie naturelle.» (Voir article I).Ces idées se perdront au cours duXVIIIème siècle en même temps que se perdrala pratique de la géométrie à la manièredes anciens, la vieille science étant supplantéepar la géométrie de Descartes 12 et le calculinfinitésimal 13 . Il faudra attendre la fin duXVIIIème siècle pour que les méthodes de lagéométrie arguésienne 14 retrouvent de l’intérêtaux yeux des savants, par la création dela géométrie descriptive de Monge 15 et par lesouvrages de Carnot 16 . Les idées de Desarguesseront réintroduites par J. V. Poncelet etseront à la base du grand « Traité des propriétésprojectives des figures 17 » qui fondera la géométriesynthétique moderne et la géométrieprojective.II. La redécouverte.L’influence de l’œuvre de Monge.L’œuvre capitale de Poncelet.Après plusieurs décennies d’abandon,les méthodes de la géométrie seront remisesen usage dans l’œuvre de G. Monge. Mongese fit reconnaître alors qu’il était chargé dedessiner des plans et de réaliser des modèlesen plâtre à l’école royale du génie de Mézières,en inventant une méthode graphique quidevait rapidement donner naissance à la géométriedescriptive, pour résoudre un problèmede défilement 18 . Monge, à l’instar deDesargues, s’intéressera toute sa vie auxproblèmes posés par les différents corps demétiers : dessin architectural, coupe despierres et du bois, charpenterie, dessins demachines, de vaisseaux, etc., et trouveradans ces problèmes matière à géométrie et àinventions géométriques. Cela le conduira àvoir, à conceptualiser tous les problèmes à traversla géométrie, et à élaborer ainsi desméthodes qui s’avéreront d’une très grandefécondité. C’est ainsi, pour ne donner qu’unexemple, qu’il introduisit les transformationsde contact sous le terme de « courbes etsurfaces réciproques » afin de résoudre uneéquation différentielle de la forme y = xF(y’)+ f(y’) en la transformant en une équation linéai-31

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …re : celle vérifiée par les courbes réciproquesdes courbes cherchées.Sa vision géométrique le conduisit ainsià l’invention de méthodes « géométriques » —une transformation dans l’exemple précédent— qui traduites analytiquement fécondèrentle calcul infinitésimal.Monge, par ses créations, introduisit dansla géométrie, ce qui était novateur, desméthodes et des procédures réglées voire algorithmiques— les méthodes de la géométriedescriptive — élargissant ainsi le champd’application de la vieille science en enrichissantsa syntaxe. Il introduisit de plus lasémantique géométrique dans l’analyse infinitésimaled’une manière qui s’avéra trèsopératoire.La postérité des idées de Monge seraimmense, assurée par ses élèves formés dansles institutions qu’il aura fortement contribuéà créer (École polytechnique, Ecole normale).Ceux-ci pérenniseront sa vision géométriquedes problèmes et créeront la géométriemoderne.« Les élèves de Monge et ses premiers successeurss’appliquent à retrouver géométriquement,sans secours étranger, par les nouvellesméthodes, les nombreux théorèmesacquis par la méthode des coordonnées.A cet égard, il faut citer en première ligneplusieurs travaux de L. Carnot.... Et dominantle tout le Traité des Propriétés projectivesdes figures de J.V. Poncelet, constitueenfin le premier exposé systématique de la«géométrie projective» au sens actuel dumot ». 19L’œuvre de Poncelet est à la fois uneœuvre de redécouverte et une œuvre de création.Elle redonna vie aux créations deDesargues 20 après un siècle d’oubli et donnaune extension considérable à celles de Monge.Elle marqua selon le jugement de G. Darboux« le vrai commencement de la géométriesynthétique moderne ».Le projet de Poncelet est explicité dansla préface : « ... J’ai cherché avant tout à perfectionnerla méthode de démontrer et dedécouvrir en simple géométrie ». Il consiste doncà doter la géométrie de méthodes et d’outils,comme il en existe en géométrie analytique,en calcul infinitésimal et en géométrie descriptive,afin de pallier ce qui fait la faiblessede la géométrie, malgré la somme considérablede résultats accumulés, et qui a étéà l’origine de son abandon progressif : « Eneffet, tandis que la géométrie analytique offrepar la marche qui lui est propre, des moyensgénéraux et uniformes pour procéder à lasolution des questions qui se présentent...tandis qu’elle arrive à des résultats dont la généralitéest sans borne, l’autre procède au hasard,sa marche dépend tout à fait de la capacitéde celui qui l’emploie...».La réalisation du projet se fera par :• La création de nouvelles syntaxes démonstrativesqui permettront de faire abstractionde la figure — c’est-à-dire des cas particuliersde figures — et donc de donner plus « d’extensionà la simple géométrie ». Parmi ces syntaxes,citons :a) le principe de continuité 21 qui a unrôle structurant dans le Traité au niveauheuristique et démonstratif,b) les éléments (points, droites, etc.)idéaux, imaginaires, à l’infini 22 .Ces créations renouvellent les typesd’énoncés que peut produire la géométrie et32

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …bouleversent les canons démonstratifs traditionnels23 .• L’introduction de nouvelles méthodes. Cesméthodes nouvelles sont dans le principecelles introduites par Desargues 24 et sont fondéessur les projections 25 .« En réfléchissant attentivement à ce quifait le principal avantage de la géométrie descriptiveet de la géométrie des coordonnées,à ce qui fait que ces branches des mathématiquesoffrent le caractère d’une véritabledoctrine, dont les principes peu nombreuxsont liés et enchaînés d’une manière nécessaireet uniforme, on ne tarde pas à reconnaîtreque cela tient uniquement à l’usagequ’elles font des projections.Il est évident que ces avantages sont uniquementdus à la nature même de la projection,qui en modifiant l’espèce particulière desfigures, les placent dans des circonstancesou plus générales ou au contraire plus restreintes,sans pour cela en détruire les relationset les propriétés génériques, ou en lesmodifiant d’après des lois fort simples et toujoursfaciles à deviner ou à saisir ». 26Poncelet érige alors explicitement auniveau d’une méthode générale de découverteet de démonstration la méthode arguésiennede démonstration par transport depropriétés en faisant une recherche systématiquedes propriétés qui « subsistent » parprojection centrale et en en donnant les caractérisations.En termes modernes, Desarguesdébute le Traité en dégageant la notion d’invariantprojectif et en élaborant des critères dereconnaissance simples et opératoires.Le type de démarche suivi par Ponceletpeut être illustré par l’exemple simple cicontreextrait du chapitre II de la section II.CHAPITRE IIContinuation du même sujet. Desfigures inscrites et circonscrites auxsections coniques. Questions qui s’yrapportent. Théorie des pôles etpolaires réciproques.Un quadrilatère quelconque étant inscrità une conique, soit tracée la droite qui passepar les deux points de concours des côtésopposés ; on pourra regarder la figure commela projection d’une autre, pour laquelle la droiteen question sera passée à l’infini, en mêmetemps que la section conique sera devenue uncercle ; le quadrilatère inscrit à cette sectionconique sera lui-même converti en un quadrilatèreinscrit au cercle, et ayant les côtésopposés parallèles ; c’est-à-dire que ce sera unrectangle.Soit donc ABCD (Fig. 27) le rectangle dontil s’agit ; toutes les propriétés projectives quilui appartiendront, ainsi qu’au cercle correspondant,seront aussi des propriétés de lafigure primitive.33

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …La configuration étudiée est fondamentale,puisqu’elle va servir de support à l’introductiondes pôles et polaires.Elle est étudiée en utilisant toutes lesressources de la méthode des transformationsmises en place dans les chapitres précédents.La configuration n’est pas nouvelle et les propriétésobtenues sont déjà connues.Elles figurent soit dans le « Traité des Sectionsconiques » de De La Hire (1673 et 1685)soit dans « l’Algèbre » posthume de Mac Laurin(1748).La méthode des transformations prouveune fois de plus sa fécondité par les possibilitésqu’elle offre pour repenser et fédérer,simplement, des savoirs anciens. La démarchesuivie est exemplaire de l’usage fait de laméthode des Transformations par Ponceletdans le Traité.1) Étude d’une configuration complexe :Étant donnés, dans une conique, un quadrilatèreinscrit ABCD et le quadrilatère circonscritformé par les tangentes en A, B, C etD à la conique, déterminer a) les points deconcours des différentes lignes et b) les relationsentre les points d’une même ligne.2) On transforme par projection la configurationcomplexe en une plus simple, Poncelet choisit,cela existe, la projection qui transforme laconique en un cercle et la droite déterminéepar M = AB ∩ CD et L = BC ∩ DA en la droitede l’infini. Les deux quadrilatères sontalors transformés en deux rectangles, l’uninscrit et l’autre circonscrit au cercle.3) Étude des propriétés de la nouvelle configuration.Cela posé, par chacun des sommets A, B,C, D menons une tangente au cercle pourformer le parallélogramme circonscrit abcd,dont les côtés opposés vont par conséquentconcourir à l’infini ; traçons les diagonalesAC et BD, ac et bd, elles passeront par le centreP, et, de plus, les deux dernières seront parallèlesaux côtés du quadrilatère ABCD, ouconcourront avec eux à l’infini. Menons enfindes tangentes aux points E et G, F et H où cesmêmes diagonales coupent la circonférence,elles seront, deux à deux, parallèles entreelles et aux côtés du rectangle inscrit, et irontpar conséquent concourir avec eux en deuxpoints à l’infini ; de plus, toutes les droites,partant du centre P et terminées à la circonférenceou aux côtés opposés des deuxquadrilatères ABCD, abcd, sont divisés enparties égales en ce point, et peuvent êtreregardées comme coupées harmoniquementpar ce même point et par celui qui est à l’infini,etc.Si l’on se reporte maintenant à la figureprimitive, les droites parallèles entre ellesseront devenues concourantes en des pointsde la droite qui représente celle à l’infini ; lecentre P sera devenu le pôle de cette droite ettout le reste sera le même de part et d’autre ;donc on a ce théorème :186. Si on inscrit, à une section conique,un quadrilatère quelconque ABCD (fig.28), et qu’on lui en circonscrive un autreabcd, dont les côtés touchent la courbeaux sommets du premier,1°. Les quatre diagonales de ces deux quadrilatèresse croiseront en un mêmepoint P.2°. Les points de concours, L et M, l et m,des côtés opposés du quadrilatère inscritet du quadrilatère circonscrit, seront34

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …Poncelet et ses contemporains verrontimmédiatement la fécondité de ce procédé 27qui permettait de doubler les vérités de la géotousquatre rangés sur une même droitepolaire de P.3°. Les diagonales du quadrilatère circonscritiront concourir respectivementaux points L et M où se coupent, deux àdeux, les côtés opposés du quadrilatèreinscrit.4°. Chacun de ces derniers points est lepôle de la droite, ou diagonale, qui passepar l’autre et par le point P ; ou, ce quirevient au même, c’est le point de concoursdes tangentes qui correspondent à cettediagonale.5°. Toute ligne droite, passant par lepoint P et terminée à la section coniqueou à deux côtés opposés de l’un des quadrilatères,est divisée harmoniquementen ce même point et en celui où la droiterencontre sa polaire LM ; et pareillechose a lieu à l’égard des points L, M parrapport aux droites PM et PL dont ils sontles pôles.4)Transport par projection inverse des propriétésprojectives, mises en évidence, à la configurationinitiale.On notera que, d’un point de vue syntaxique,l’opération 4) n’a pas besoin d’être explicitéepuisque toute propriété — projective —qui appartient à l’une des figures appartientà l’autre étant donné qu’elles sont projectionl’une de l’autre, et qu’il suffit donc de se« reporter » à la figure primitive...Le texte de la démonstration semble suffisammentclair pour ne nécessiter ni paraphrases,ni explications.Cette théorie des pôles et polaires conduisitensuite Poncelet à une ébauche de la Théoriedes transformations par polaires réciproques.Il définit en effet l’image par polaireréciproque — par rapport à une conique donnée— d’une courbe quelconque considérée soit,comme générée par le mouvement d’un point,soit comme enveloppe d’une droite variable.Il termine en remarquant « ... on peut mêmedire en général, qu’il n’existe aucune relationdescriptive d’une figure donnée dans son planqui n’ait sa réciproque dans une autre figure ;car tout consiste à examiner ce qui se passe danssa polaire réciproque par rapport à une sectionconique prise pour directrice... ».Il y a donc là création d’une méthode,qui permet, par transformation, de découvriret de démontrer dans le même temps unefoule de propriétés nouvelles. Il suffit étantdonnée une configuration, de la transformerpar polaires réciproques, toute propriété de laconfiguration initiale se trouve alors reflétéedans la configuration image.35

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …métrie et qui conduira à la féconde théoriede la dualité développée par Gergonne,Chasles, etc.Par son « Traité des propriétés projectivesdes figures », Poncelet a réintroduit dansla géométrie la méthode des transformationstelle que l’avait imaginée Desargues. Il fait lasynthèse des apports de Desargues et Pascal(éléments à l’infini), de Monge (éléments imaginaires,principe de continuité), de De la Hireet Le Poivre (méthode des plans qui deviendrachez Poncelet « l’homologie »), de De la Hire,Monge et Brianchon (premiers éléments d’une« Théorie des pôles et polaires » utilisée pourla découverte et la démonstration de propriétésnouvelles).La synthèse de Poncelet est créatrice desyntaxes nouvelles, de méthodes de démonstrationet de découverte générales par les transformations,organisées en un corps de doctrine,créant ainsi la « géométrie moderne », et suscitantune foule de travaux, tant en Francequ’en Allemagne, qui aboutiront aux théoriesde l’homographie et de la dualité deChasles, aux travaux de Steiner et à l’élaborationde la géométrie projective moderne.III. Le concept maîtrisé.L’époque de Chasles.« Les travaux de J.V. Poncelet suscitèrent partoutles recherches les plus approfondies 28 .On chercha à étudier sous toutes leurs facesles principes qu’il avait découverts et à entirer toutes les conséquences...Partout, on note la plus grande activité,et, comme signe de cette activité mathématique,on peut relever la grande quantitéde journaux scientifiques qui prirentnaissance 29 .» 30M. Chasles s’est fait très tôt le propagandistedes méthodes et concepts introduitspar Poncelet, de leur fécondité, de leur facilitéd’application « des ressources puissantesque la géométrie a acquise depuis une trentained’années (et qui) sont comparables sous plusieursrapports aux méthodes analytiques,avec lesquelles cette science peut rivaliserdésormais sans désavantage dans un ordre trèsétendu de questions» 31 .Convaincu de la fécondité des méthodesnouvelles et de leur pouvoir fédérateur, Chaslesformulera à la fin de l’ « Aperçu historique »le projet de mettre de l’ordre dans « un chaosde propositions nouvelles trouvées au hasard »et dans un amoncellement de méthodes « encoreéparses dans les mémoires des géomètres quis’en sont servis » afin de les rendre propres àune large diffusion et de pallier ainsi « lavéritable cause de l’éloignement pour la géométrierationnelle ».Ce projet trouva une première mise enœuvre par un mémoire « La dualité et l’homographie» sur « les deux doctrines générales dedéformation et de transformation des figures ».Il posa dans ce mémoire le problème de la déterminationdu « principe de transformation desfigures » et du « principe de déformation desfigures » dont les paradigmes respectifs étaientla transformation par polaires réciproques 32 ,la projection, l’homologie, etc., sous leur formela plus générale.L’énoncé du principe de dualité est donnéen deux parties. La première est relative « àla corrélation des relations descriptives desfigures » et la seconde « à la corrélation de leurrelation de grandeurs ». 33Première partie. Lorsqu’une figure deforme quelconque est donnée, on peut tou-36

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …jours former, d’une infinité de manières,une autre figure, dans laquelle les points, lesplans, les droites, correspondront respectivementà des plans, à des points, à desdroites de la première figure.Les points situés sur un même plan, dansl’une des deux figures, auront pour correspondantsdes plans passant tous par lepoint qui correspond à ce plan.Les points situés sur une même droite,dans l’une des deux figures, auront pourcorrespondants, dans l’autre figure, desplans passant par la droite qui correspondraà la première.Les points situés sur une surface courbe,dans la première figure, auront pour correspondants,dans la seconde, des planstangents à une autre surface courbe ; et lesplans tangents à la première surface, en cespoints, auront pour correspondants précisémentles points de contact des plans tangentsà la seconde surface.Enfin, tous les points situés à l’infini,considérés comme appartenant à la premièrefigure, seront regardés comme situéssur un même plan, et tous les plans quileur correspondront passeront par unmême point, qui correspondra à ce plansitué à l’infini.Ce sont ces deux figures que nous appelleronscorrélatives.Deuxième partie. Dans deux figures corrélatives,à quatre points de la première,situés en ligne droite, correspondent, dansla seconde, quatre plans passant par une mêmedroite, et dont le rapport anharmonique 34 esttoujours égal au rapport anharmonique desquatre points.Et, à quatre plans de la première figure,passant par une même droite, correspondentdans la seconde figure, quatre pointssitués en ligne droite, dont le rapport anharmoniqueest égal précisément au rapportanharmonique des quatre plans.»Le principe d’homographie s’obtientalors en répétant deux fois le mécanismede transformation des figures par le principede dualité.« Une figure de forme quelconque étant donnéedans l’espace, on peut toujours concevoirune seconde figure du même genre, et jouissantdes mêmes propriétés descriptives quela première, c’est-à-dire qu’à chaque point,à chaque plan, à chaque droite de la premièrefigure, correspondront, dans la seconde,un point, un plan, une droite.Aux points à l’infini dans la premièrefigure, correspondront dans la seconde, despoints situés tous sur un même plan, desorte qu’à des faisceaux de droites parallèlesappartenant à la première figure, correspondront,dans la seconde, des faisceauxde droites concourantes en des points situéstous sur un même plan.Les deux figures auront entre elles desrelations de grandeur, qui consistent en ceque :* le rapport anharmonique de quatre pointssitués en ligne droite dans la première figure,sera égal au rapport anharmonique desquatre points homologues dans la secondefigure ;* le rapport anharmonique de quatre plansde la première figure, passant par une mêmedroite, sera égal au rapport anharmoniquedes quatre plans homologues, dans la secondefigure. »Dans le mémoire de Chasles, les transformationsou déformations sont caractériséesen tant que classe de modes de corres-37

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …pondance entre figures, ayant la propriétégénérale de refléter ou de transporter certainstypes de propriétés 35 .M. Chasles fait ainsi apparaître, danssa forme la plus générale, car décontextualisée,la grande invention : le couple transformation-invariant,qui confère à la « géométriemoderne » ses méthodes de découverteet de démonstration ainsi que des principesfédérateurs pour les multiples résultatsaccumulés au hasard des découvertes. Parce travail d’abstraction, il contribue ainsi àélever au rang de méthode les diverses créationsde Desargues et Poncelet liées à uneutilisation systématique de modes de correspondanceentre figures.En Allemagne, J. Steiner œuvra à ladivulgation de ces méthodes par son enseignementet par ses travaux dont la féconditéet la puissance contribuèrent fortementà attirer l’attention sur l’intérêt desméthodes de « géométrie pure ». Le projet deSteiner est exprimé dans la préface de« Etude systématique de la dépendance desformes géométriques l’une de l’autre » 36 .« Par ce livre on a tenté de découvrir l’organisationqui relie entre eux les phénomènesles plus disparates de l’espace géométrique.Il existe un petit nombre de relations fondamentalestoutes simples par où se révèlele schéma général suivant lequel la massedes théorèmes se déploie logiquement sansaucune difficulté ; l’ordre pénètre le chaoset l’on voit toutes les parties s’enchaînernaturellement... ».Les œuvres de Chasles et Steiner constituentun aboutissement des méthodes etrecherches initiées par Desargues et Ponceletdans le cadre de la géométrie des figureshérité des grecs et plus particulièrement danscelui de la géométrie des coniques 37 qui, dèsles origines, apparaît comme le lieu privilégiépour l’élaboration, le développement et l’applicationde ces méthodes.Il y a aboutissement car ces auteurs :• ont, par leur œuvre et leur enseignement 38 ,par les résultats nouveaux qu’ils ont découvertset les démonstrations simples de résultatsplus anciens, par la présentation dans une théorieunifiée de savoirs épars et apparemmentsans liens, convaincu de la fécondité, de la puissanceet donc de l’intérêt, des méthodes par transformationou déformation.• ont donné la forme la plus générale possibleaux modes de transformation et de déformationdéfinis et utilisés par leurs prédécesseursen élaborant les théories de la dualité et del’homographie.• ne sont pas sortis, comme cela a déjà été dit,des cadres initiaux de la géométrie des figureset de la théorie des coniques 39 .Ce dernier point mérite d’être souligné,car les transformations vont, dans les décennies1860-1880, être utilisées à d’autres finsque celles qui consistent à construire desfigures ou à découvrir et établir leurs propriétés.Elles vont, en effet, jouer un rôle de premierplan :• dans les reconstructions de la géométriequi accompagneront les réflexions sur l’originedes axiomes suscitées par la diffusion des« géométries non euclidiennes » 40 ,• dans la caractérisation et la subordinationdes diverses géométries par la notion de groupede transformations qui sera opérée parKlein.38

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …IV. Le problème du mouvementen géométrie. Les apports externes.Des travaux contemporains de ceux de Ponceletet de Chasles sur :— la description du mouvement d’un corps dansl’espace et corrélativement d’une figure dansson plan (Poinsot, Chasles...),— la théorie des parallèles (Lobatchevski,Bolyai, Gauss...) 41 ,— les hypothèses qui servent de fondementà la géométrie (Riemann)vont conduire les géomètres à se questionnersur l’origine des axiomes de la géométrievraie : celle d’Euclide. Cela les amènera àintroduire de façon explicite le mouvement dansla géométrie et en dernière instance à refondercelle-ci sur les mouvements de translationet de rotation qui conduiront, aux niveaux dessyntaxes démonstratives, aux translationset rotations géométriques par considérationdes seuls états initiaux et finaux des figures.(Voir article IV).L’histoire de cette évolution est complexeet foisonnante. Les quelques lignes qui suiventne peuvent qu’en donner sommairementquelques étapes de façon très lacunaire.A) Le changement dans les croyances. Lespoints de vue de Gauss et Lobatchevski.Jusqu’à la fin de la première moitié duXIXème siècle, la croyance répanduedans les milieux savants était que lagéométrie d’Euclide était la seule sciencede l’espace qui pouvait exister, toutautre postulat, demande ou axiome queceux d’Euclide devant nécessairementconduire à l’absurdité !Dans cette croyance, la question de lavérité du Vème Postulat d’Euclide 42 ne seposait pas. Cette vérité était a priori indépendantede toute démonstration. Cettecroyance se doublait de celle de la démontrabilitéde cet énoncé dans le cadre des Elémentseux-mêmes, d’où les multiples tentativesde démonstration faites tout au long del’histoire 43 .Le premier qui semble avoir douté del’existence d’une telle démonstration sembleêtre Gauss « Je suis de plus en plus convaincuque l’on ne peut démontrer par le seul raisonnementla nécessité de la géométrie euclidienne.Il est possible que dans l’avenir nouspuissions avoir des idées sur la nature del’espace qui aujourd’hui nous sont inaccessibles.Ainsi la géométrie ne peut être à côté del’arithmétique, qui est de nature a priori,mais plutôt à côté de la mécanique 44 ».Le premier à avoir transformé ce douteen certitude est Lobatchevski 45 . En développantune géométrie, sans contradiction, surla base d’une négation du Postulat d’Euclide« Il existe une droite a et un point A non situésur celle-ci, tels que le point A soit traversé parau moins deux droites qui ne coupent pas ladroite a tout en étant dans le même plan ». Lobatchevskiétablissait définitivement que toutetentative de démonstration du Postulat étaitvouée à l’échec, que d’autres géométries quecelle d’Euclide étaient logiquement possibles.En conséquence, la vérité de la géométried’Euclide, non remise en question et évidentepuisqu’elle était le cadre de l’expression deslois de la philosophie naturelle 46 , ne pouvaitêtre établie que par l’expérience. C’est cequ’exprime clairement Lobatchevski lui-même,croyant pouvoir établir la vérité de la géométried’Euclide par des expériences astronomiques :« Dans mon mémoire sur les principes de la39

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …géométrie, j’ai prouvé en m’appuyant surquelques observations astronomiques, quedans un triangle dont les côtés sont de lamême grandeur que de la terre au soleil, lasomme des angles ne peut différer de deuxdroits au plus que de 0,0003 secondes sexagésimales.On doit donc regarder la propositionde la géométrie usitée comme démontréeavec rigueur ». 47L’irruption des géométries non euclidiennes,leur diffusion dans les années 1860auront pour effet de promouvoir les thèsesmatérialistes qui subordonnent la géométrieà la physique et plus particulièrementà la mécanique. Ces thèses seront corroboréeset renforcées par le mémoire de Riemann sur« les hypothèses qui servent de fondements àla géométrie » (1854). Riemann renouvelantle « concept » même de géométrie, montrantla diversité des géométries possibles sur unevariété de dimension n, renvoie explicitementà la physique pour les critères de choix.En résumé, la possibilité reconnue d’unemultiplicité de géométries possibles, toutes logiquementvalides, pose le problème de la justificationdu choix euclidien fait pour l’expressiondes lois de la physique. Ces choix nepeuvent être fournis que par la physique ellemêmeet plus particulièrement par la mécaniquedont les concepts fondamentaux et primordiaux,notion de solide invariable,mouvement d’un solide dans l’espace, vontfournir aux savants de l’époque le cadre de lajustification, voire de la refondation desaxiomes d’Euclide.B) Le problème de l’origine des axiomes. Lestravaux de refondation de la géométrie.Helmholtz en Allemagne (1865) et à sa suiteHoüel en France (1867) accréditèrent la thèseselon laquelle « les propositions fondamentalesde la géométrie correspondent à des relationsphysiques dont l’expérience seule peut nous fournirla connaissance », et menèrent des recherchesayant pour objet de caractériser la géométriede l’espace physique par les propriétés desmouvements. Helmholtz élabora le premier unecaractérisation de la géométrie de l’espacephysique par les propriétés des mouvementsenvisagés comme transformations de pointsdans une région de l’espace qui aura une postéritéconsidérable avec notamment les travauxde Lie.En France, ce mouvement d’idées trouveraun zélateur en la personne de J. Hoüel par son« Essai critique sur les principes fondamentauxde la géométrie élémentaire ». J. Hoüels’y élève contre « ... une suite d’idées inexactessur la nature et l’origine des vérités primordialesde la science de l’étendue » dont la sourceest « ... le faux point de vue métaphysiqueoù l’on s’est placé en considérant la géométriecomme une science de raisonnement pur, et nevoulant admettre parmi ces axiomes que desvérités nécessaires et du domaine de la pureraison ». Cela le conduit à donner aux axiomesun statut différent « des autres vérités géométriquesque l’expérience nous révèle endehors de toute étude scientifique et que la géométrierattache à ces axiomes comme conséquences». Il y a donc eu erreur sur la naturede la géométrie qui « ... comme la mécaniqueet la physique a pour objet d’étude une grandeurconcrète, l’étendue, affectant nos sensd’une certaine manière ». 48J. Hoüel illustre ces thèses en discutant,ce qui reste à ses yeux, en dépit de tous leslivres parus sur le sujet, le modèle d’expositiondes Eléments de Géométrie : le traitéd’Euclide. J. Hoüel traducteur de Lobatchevski,Bolyai, Riemann sait qu’il y a mul-40

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …tiplicité des géométries possibles et en déduit,conformément à l’idéologie de l’époque que « lanature intime des vérités géométriques » n’estpas de l’ordre de la logique mais de celui del’expérience. La géométrie d’Euclide est la« géométrie réelle ou expérimentale » autrementdit la géométrie vraie et ses axiomes noussont révélés par l’expérience, l’instrument dela révélation étant le mouvement.Aux axiomes, demandes, définitions duLivre I d’Euclide, J. Hoüel propose « d’enajouter une... dont Euclide fait souvent unusage tacite, quoiqu’il semble avoir voulud’abord l’éviter.... Nous demandons qu’unefigure invariable de forme puisse être transportéed’une manière quelconque dans sonplan ou dans l’espace ». 49Pour J. Hoüel, l’origine des « idées géométriques», la « véritable source » des propositionsest contenue dans les termes de lanouvelle demande :« Toute la géométrie est fondée sur l’idée del’invariabilité des formes. On commencerapar admettre qu’il existe dans les figures unecertaine propriété qui subsiste lorsque cesfigures se trouvent transportées dans une autrerégion de l’espace ».Les concepts de base de la mécaniquefondent la géométrie 50 . L’étude géométriquedu mouvement faite par Poinsot 51 , Chasles,etc., en fournit les syntaxes par la translationet la rotation. Ces idées vont trouver une traductiondidactique dans les « Nouveaux Elémentsde Géométrie » de Ch. Méray (1874).C) La traduction didactique de Charles Méray.Ch. Méray reprend à Helmholtz et àHoüel cette idée que l’expérience du mouvementdes corps dans l’espace est la matrice detoutes les idées géométriques et en fait lapierre angulaire d’un ouvrage qui vise à améliorerl’enseignement de la géométrie élémentaire.La démarche suivie, dans le but « d’éleverl’enseignement théorique sans imposerplus d’efforts aux élèves, simplifier l’enseignementpratique sans l’abaisser à ne mettreen jeu que la mémoire... chercher à ôter auxdébuts de la géométrie leur caractère aride ettout à fait scolastique », se fait par des innovationshardies qui bouleversent l’ordre d’expositiontraditionnel. Ch. Méray innove surdeux points « J’ai abandonné la distinctiond’usage entre la géométrie plane et la géométriedans l’espace... puisque la nature ne nousoffre que des figures de l’espace ». 52« J’ai changé la base première des raisonnementsen substituant d’autres faits auxaxiomes reçus ». Ces faits sont :• l’expérience de l’invariabilité des corpssolides qui par abstraction conduit à la notionde figure invariable, c’est-à-dire qui peut être« déplacée dans l’espace » sans être altérée danssa forme et ses dimensions,• l’expérience de la coïncidence qui conduit àcelles de figures égales. Deux figures solidessont égales quand on peut (au moins par lapensée) les amener à coïncider.Ce qui conduit à préciser la notion dedéplacement « on entend par déplacementd’une figure un mouvement limité, en vertuduquel elle passe d’une première position diteinitiale, à une seconde dite finale ».Méray définit et étudie les deux déplacementsqui permettent en mécanique derendre compte des mouvements d’un corps dansl’espace : le mouvement de translation et le41

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …mouvement de rotation, qui sont des déplacements.Le mouvement de translation est alors lerévélateur des parallélismes et de leurs propriétéset le mouvement de rotation des perpendicularitéset de leurs propriétés. Le postulatd’Euclide devient alors une banalepropriété qui dérive de la possibilité d’amenerune droite en une autre position par translation.La géométrie ainsi construite aux référentsexternes : « la réalité des choses », « lanature », « les faits », « des vérités considérablespar elles-mêmes », « ... que l’origine premièredes vérités géométriques est incontestablementexpérimentale (il est bien difficile devoir dans l’évidence mathématique autre chosequ’un souvenir net et présent de l’exactitudede faits simples mille et mille fois observés...) »,est alors nécessairement euclidienne. Elle estla géométrie vraie, la géométrie expérimentalefondée sur les mouvements de translationet de rotation qui rendent compte de façon infinitésimaleet finie de tout déplacement desfigures ou des corps solides.Cette reconstruction de la géométrie aamené au premier plan deux mouvementsqui furent traités syntaxiquement comme destransformations par la seule considérationdes états initiaux ou finaux : la translation etla rotation 53 . Celles-ci occuperont une placefondamentale dans l’œuvre de F. Klein qui caractériserales géométries par des groupes detransformations.V. Les transformationset la classification des géométries.Au début des années 1870 émerge une nouvelleconception de la géométrie dans laquellela notion de transformation occupe uneplace centrale et sera dotée d’un nouveaustatut. Les travaux de Riemann et Helmholtzdéjà mentionnés, ceux de Galois et Jordan surla théorie des groupes eurent pour postéritéimmédiate ceux de S. Lie et de F. Klein 54 quiimposèrent, à l’issue d’une synthèse originaleet novatrice, le point de vue selon lequel toutegéométrie est caractérisée par un groupe detransformations, l’œuvre déterminante estcelle de F. Klein connue sous le nom de « Programmed’Erlangen ».Ce texte, publié en 1872, « considérationscomparatives sur les recherches géométriquesmodernes » expose un « principe général » quipermet d’édifier la géométrie élémentaire etla géométrie projective (dont les liens étaientmal élucidés) et, par extension, de décrire lesrapports de dépendance qu’ont les différentesgéométries entre elles : subordinations ouisomorphie.Klein commence par caractériser les propriétésqui font l’objet de la géométrie élémentairepar un groupe de transformations,le groupe principal :« Il y a des transformations de l’espace quin’altèrent en rien les propriétés géométriquesdes figures. Par nature, ces propriétés sont,en effet, indépendantes de la situation occupéedans l’espace par la figure, de sa grandeurabsolue, et enfin aussi du sens dans lequelses parties sont disposées. Les déplacementsde l’espace, les transformations avec similitudeet celles par symétrie n’altèrent doncpas les propriétés des figures, non plus queles transformations composées avec les précédentes.Nous appelons groupe principal detransformations de l’espace l’ensemble de toutesces transformations ; les propriétés géométriquesne sont pas altérées par les transformationsdu groupe principal. La réci-42

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …proque est également vraie : les propriétésgéométriques sont caractérisées par leurinvariance relativement aux transformationsdu groupe principal ».Klein étend ensuite ce point de vue :« comme généralisation de la géométrie sepose ainsi la question générale que voici :Etant donnés une multiplicité et un groupede transformations de cette multiplicité,en étudier les êtres au point de vue des propriétésqui ne sont pas altérées par les transformationsdu groupe.On donne une multiplicité et un groupe detransformations de cette multiplicité ; développerla théorie des invariants relatifs à cegroupe».Ce point de vue permet à Klein :• de subordonner les géométries et de mettreainsi en évidence leurs liens internes. Ilmontre ainsi que le groupe des transformationsprojectives contient le groupe des transformationsaffines (les transformations projectivesdu plan qui laissent invariantes la droiteà l’infini) qui contient lui-même le groupe dela géométrie élémentaire, etc.,• de montrer :— l’isomorphie de la géométrie projective dela droite et de la géométrie projective dessystèmes de points d’une conique,— l’identité de la géométrie par rayons vecteursréciproques dans le plan et de la géométrieprojective sur une surface du second degré,• de montrer que la géométrie de Lobatchevskiest subordonnée à la géométrie projective.Klein a donc mis en évidence le fait quele concept de groupe de transformations permettaitd’établir des relations entre les différentesgéométries (liens de subordination)— de sérier et de classer les différents typesde propriétés géométriques (projectives,métriques, etc.) — de dégager l’identité structuralede géométries en apparence étrangèresles unes aux autres.Les travaux de F. Klein opèrent un déplacementde l’intérêt porté aux transformationsgéométriques de l’instrumental vers le structuralqui aura pour effet de libérer la géométriede ses bases empiriques, d’éliminer l’intuitifdes raisonnements et de libérer les résultatsproduits de l’adéquation à un certain typed’expérimental ou d’observable comme modede validation ultime 55 . Cela implique unrenouvellement des conceptions quant auxrapports entre le théorique et l’expérimentalqui ne peut être développé ici 56 .Dans les décennies qui suivront le programmed’Erlangen, les transformationsseront au cœur de la géométrie 57 et Poincarévoit dans la notion de groupe de déplacementsla notion primordiale et fondamentalede la géométrie 58 , mieux encore : unecatégorie de l’entendement « Dans notreesprit préexistait l’idée latente d’un certainnombre de groupes : ce sont ceux dont Lie afait la théorie ».VI. Les premières traditions didactiques.La première tradition didactique 54 futinstaurée par M. Chasles lui-même, par sonenseignement à la chaire de Géométrie Supérieureà la Faculté des Sciences de Paris et parla publication de son Traité de GéométrieSupérieure. Paradoxalement, alors qu’il avaitété l’apologiste et le propagandiste de laméthode des transformations dans l’« Aperçuhistorique » 59 , après avoir contribué lui43

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …même à lui donner la plus grande extensionpossible par ses travaux sur l’homographie etla dualité, il donne à cette méthode structuranteet unifiante pour l’ensemble des savoirsgéométriques, une place marginale.Il ne leur consacre en effet que trois destrente cinq chapitres du Traité de GéométrieSupérieure :Chapitre XXV « Théorie des figures homographiques».Chapitre XXVI « Théorie des figures corrélatives».Chapitre XXVII « Des applications de lathéorie des figures homographiques et de cellesdes figures corrélatives regardées commeméthodes de démonstration »Ce chapitre donne la clé du paradoxe évoquéci-dessus. Chasles y rappelle que :« Ces transformations donnent le moyend’appliquer à une figure les propriétés d’unefigure plus simple... ».« Ou bien un problème étant proposé àl’égard d’une figure, on cherche à le résoudresur la plus simple des figures transformées».« Avec une figure donnée, on en forme uneseconde, aux propriétés de la première figurecorrespondent des propriétés de la secondequi dérivent de la première en vertu despropriétés générales qui ont lieu entre deuxfigures corrélatives ».Chasles y explique ensuite « Pourquoil’on ne fait pas usage dans le cours de cetouvrage des méthodes de transformation ».Bien que ne reniant pas les « méthodes ingénieusesqui ont enrichi la science d’une foulede vérités dont on n’avait pas eu l’idée auparavant...et que la géométrie doit connaître »,Chasles évite d’y recourir car, « Par lesméthodes de transformation, on fait un théorèmedéterminé avec un autre théorème déjàconnu. On peut former ainsi une collectionplus ou moins ample de propositions », et lespropositions obtenues « manquent de liensentre elles », ne se laissant pas « déduire lesunes des autres » et ne peuvent donc pas formerun corps de doctrine. « Nous avons cherché,au contraire, à former un ensemble de propositionsconstituant par leur enchaînementnaturel des théories et un corps de doctrinessusceptibles d’applications fécondes danstoutes les parties de la géométrie. »« Il nous a donc fallu démontrer directementchacune de ces propositions, ... par lespropres ressources que peuvent offrir les théoriesauxquelles elles se rapportent ».Chasles écrit un traité ; un traité obéità une logique déterminée par le modèle desEléments d’Euclide resté canonique jusqu’auxtemps présents. Les transformations sontmarginalisées au nom de cette logique. Néanmoins,une grande partie du traité de GéométrieSupérieure est consacrée à l’étude denotions dont l’importance a été révélée par laméthode des transformations : « Théorie durapport anharmonique, de la division homographiqueet de l’involution » qui se rapportentaux invariants des projections centrales,révélés par Desargues et Poncelet. Ces théoriesconduisent à celles des divisions et faisceauxhomographiques qui ont un rôle centraldans le Traité.D’autres cours et traités vont suivre celuide M. Chasles, dans lesquels la méthode destransformations se verra conférer l’importancequi lui a été reconnue à partir des travauxde J.V. Poncelet 60 . Paul Serret dans44

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …« Des Méthodes en Géométrie » 61 la décrit dansla onzième méthode : « Par la transformationdes figures — Réflexions générales sur l’importancede cette méthode » :« Cette méthode, l’une des plus importanteset des plus fécondes de la géométrieest certainement celle qui a le plus puissammentservi les géomètres de notre siècledans leurs efforts pour reculer les bornes dela science de leurs prédécesseurs. Ceux-ciparaissent l’avoir à peu près ignorée...Dans notre siècle au contraire, d’éminentsgéomètres, parmi lesquels nousciterons M.M. Poncelet, Chasles et Dupin,ont cultivé cette méthode avec une sorte deprédilection...C’est donc de nos jours seulement quecette méthode a réellement pris naissance ;et des fruits qu’elle a déjà portés, des rapprochementsinattendus qu’elle établit sifréquemment entre des figures diverses , ilest permis de conclure qu’elle constitue la véritableméthode en géométrie, et doit le mieuxcontribuer à agrandir indéfiniment le champdes vérités géométriques...».P. Serret exemplifie son propos par uneprésentation, une étude et diverses applicationsen géométrie plane et en géométriesphérique de la transformation par rayons vecteursréciproques 62 .M. Höuel dans « Introduction à la géométriesupérieure » 63 qui se propose de mettre àla disposition des élèves et candidats aux concoursles méthodes modernes, bien que prenant pourbase le traité de M. Chasles redonne à la méthodedes transformations un rôle central.« On sait que les théories de l’ancienne géométrie,telles que les expose le traité deLegendre, sont devenues insuffisantes pourrésoudre une foule de questions que les élèvessont appelés à traiter. Le but que nous proposonsest d’exposer... les méthodes modernesqui deviennent alors indispensables 64 . Pourcela, nous n’avons pu mieux faire que deprendre pour base de notre travail le Traitéde Géométrie Supérieure de M. Chasles... »Le traité de M. Chasles est entièrement fondésur le rapport anharmonique : en effet, ungrand monument a besoin d’unité ; mais unélève, aux prises avec une question difficile,frappe à toutes les portes pour demanderune solution... Aussi nous avons rappelé lesidées dont M. Poncelet a tiré un si grandparti... ».Le traité se termine par un chapitreconsacré à « la rotation des figures et qui n’estpas exclusivement consacré à la géométriepure » 65 .Ces méthodes ne feront longtemps quel’objet d’appendices dans les traités de géométrieélémentaire 66 .Des éléments de « géométrie moderne » liésà la théorie des transformations : inversion,perspective, homographies,... seront introduitsau niveau de la classe de mathématiqueslors de la réforme 1902 - 1905 (voir articleVI). La translation, le mouvement de rotation,l’homothétie feront leur apparition dans le programmede la classe de mathématiques élémentairesen 1891, selon les conceptionsexprimées par J. Höuel, développées par Ch.Méray (voir articles IV et V). La traditiondidactique qui se constituera pour l’enseignementde ces notions nouvelles sera déterminéepar le livre de J. Petersen : « problèmesde constructions géométriques » 67 proposant« Méthodes et théories pour la résolution desproblèmes de constructions géométriques avec45

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …application à plus de 400 problèmes ». Dansce livre, J. Petersen met en évidence une classede problèmes, les constructions géométriqueset les recherches de lieux géométriques,pour lesquels translation, rotation,homothétie, inversion etc... trouvent un vastechamp d’application où elles s’avèrent très efficaces.Les exemples développés par J. Petersen(voir article VI) seront la mine danslaquelle les auteurs de livres d’enseignementiront puiser leurs exercices sur le sujetjusqu’aux années 1970, qui marqueront laquasi disparition de l’enseignement de la géométrie« pure » 68 .ConclusionsI — Ce bref historique suffit à montrer queles transformations géométriques ont étéconsidérées sous trois aspects, apportant dessolutions à trois problématiques étrangèresles unes aux autres qu’il convient de biendiscerner pour leur enseignement.1) La méthode des transformations fut crééedans le cadre de la géométrie des figures etmême plus étroitement dans le cadre de la théoriedes coniques, comme méthode pour découvriret démontrer par transport de certainespropriétés — les invariants de la transformation— d’une configuration simple, où celles-cipeuvent être démontrées, à des configurationsplus complexes 69 . Elle fut ensuite étendue parla méthode des polaires réciproques en uneméthode qui permet de doubler les théorèmesde la géométrie par reflet de toutepropriété P d’une configuration C en unepropriété P* de la configuration duale C*obtenue.Ces méthodes qui ont enthousiasmé lesgéomètres des XVIIème et XIXème siècles, quiont conduit ces derniers à penser, eu égard àleur fécondité, qu’elles constituaient « la véritableméthode en géométrie », méritent d’êtreenseignées comme telles 70 en les faisant agirdans un champ d’application privilégié 71 : lathéorie des coniques 72 .2) Le mode de correspondance des figurespar transformations intervint dans le cadrede la problématique de la refondation de lagéométrie élémentaire — euclidienne —comme géométrie vraie, car expérimentale.D’autres transformations seront alors considéréescomme métaphore du mouvement quiamène une figure d’une position de l’espaceà une autre (translation, rotation), comme métaphoredes procédés d’agrandissement - rétrécissement(homothétie) et comme syntaxepour l’égalité et la similitude des figures 73 . C’estdans ce cadre que ces transformations présententun intérêt 74 , ou dans le cadre étroitdes constructions géométriques développépar J. Petersen 75 .3) Les transformations jouent, par lanotion de groupe de transformations, un rôlemajeur dans le cadre d’une classification etd’une hiérarchisation des géométries. F. Kleina montré que cette notion de « groupe detransformations » était l’instrument d’uneétude structurale des géométries puisqu’ilpermettait d’identifier par isomorphie desgéométries en apparence étrangères les unesaux autres, d’établir des liens de subordinationentre des géométries dont on voyait malles liens qui pouvaient les unir et donc de hiérarchiserespaces et propriétés géométriques76. Ce point de vue ne peut être abordé qu’àun niveau avancé.II — L’étude des programmes des quatre dernièresdécennies permet de distinguer sommairementtrois grandes périodes.46

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …1) Dans les années 60, les transformationsfaisaient l’objet de longs développements dansla classe de mathématiques élémentaires. Leprogramme comportait une longue partie surles transformations : Translations - Rotations- Homothéties - Similitudes - Affinités- Inversions - Transformations par polaires réciproques.Celles-ci trouvaient des champsd’application dans les autres parties du programme: Descriptive - Cinématique - Théoriedes coniques et dans deux grandes classesde problèmes : problèmes de lieux géométriqueset problèmes de construction. Cesderniers initiés par J. Petersen (Problèmes deconstructions géométriques 77 ) faisaient l’objetd’un apprentissage systématique et donnaientaux translations, rotations, etc., un lieu d’applicationsprivilégié.La géométrie projective, les homographies,la dualité figuraient aux programmesde Math. Sup et de Math. Spé.Ces programmes avaient une grandecohérence d’un point de vue épistémologique.Ils s’inscrivaient dans la première traditionhistorique de la géométrie pure.2) Dans les années 70, après la réformedes maths modernes, les transformationsconservaient une grande place dans le programmede terminale C. Elles étaient alorsintroduites par l’algèbre linéaire et lesgroupes. Leur étude était menée essentiellementpar voie analytique et vectorielle.L’accent était mis sur la notion d’espace : Transformationsaffines - Espaces projectifs - Harmonicité- Espace affine euclidien - Pôles etpolaires par rapport à un cercle - Isométriesvectorielles et affines - Similitudes - Notionssur le groupe circulaire du plan - Inversion- Espace anallagmatique. Les problématiquesde la structuration de l’espace et dela subordination des géométries affines,euclidiennes et projectives étaient mises aupremier plan et celle de la géométrie desfigures étaient mises au second plan bien quenon négligées. Ces programmes avaient euxaussi une grande cohérence d’un point de vueépistémologique. Ils s’inscrivaient dans la troisièmetradition historique.3) La grande cohérence épistémologiquede ces programmes ne les mettait pas à l’abrides critiques et des réformes.Les programmes des années 60 furentréformés car jugés vieillots et n’entretenantplus de liens avec le savoir savant del’époque et les programmes de l’enseignementsupérieur.Les programmes des années 70 furentréformés en raison des difficultés rencontréespour leur enseignement, mettant aucœur de celui-ci la notion de structureavant qu’il y ait quoi que ce soit à structurerpour les élèves.Les programmes qui suivirent diminuèrentfortement la part de la géométrie. Ils negardèrent des transformations que la rotation,la translation, les symétries, la similitude etles isométries, sans problématique propre,sans champ d’application clair.Contrairement aux précédents, ces programmes:• ne relèvent plus d’aucune tradition historiqueet n’ont donc plus de cohérence épistémologique.• ne s’inscrivent clairement dans aucune problématiquede résolution de problèmes et enconséquence fonctionnent sur des problèmes47

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …d’inspiration disparate, voire sur de purescréations didactiques.Ils sont utilisés soit comme outil dedémonstration, le plus souvent non nécessaire(voir translation – homothétie), soitcomme simple langage démonstratif, et doncdans des cadres où ils ne prennent pas sens.A la lumière de ce qui précède, il nesemble pas abusif d’affirmer que la finalité d’unenseignement des transformations visée parces programmes n’est pas claire et mériteraitd’être réexaminée.BibliographieNotion de Transformation ; éléments pour une étude historique et épistémologique,Irem de Poitiers,Article I : La genèse de la notion de transformation. Les premières transformations. 1994.Article II : La redécouverte. L’influence de l’œuvre de Monge. L’œuvre capitale de Poncelet.1995.Article III : Le concept maîtrisé. L’époque de Chasles. 1997.Article IV : Les apports externes. 1998.Article V : Le problème du mouvement en géométrie. 1995.Article VI : La constitution d’une tradition didactique. 1999.Article VII : Les transformations et la classification des géométries. 1998.Les sommaires de ces brochures sont consultables sur le site de l’IREM de Poitiers : http://irem.univpoitiers.fr/Ces articles contiennent une bibliographie importante.On pourra consulter en particulier :M. Chasles, Aperçu Historique sur le Développement des Méthodes en Géométrie (1837)D. Hilbert, Les Fondements de la GéométrieJ. Hoüel, Essai Critique sur les Principes Fondamentaux de la Géométrie Élémentaire (1867)F. Klein, Programme d’ErlangenG. Monge, Géométrie Descriptive (1799)J.V. Poncelet, Traité des Propriétés Projectives des Figures (1822)R. Taton, L’œuvre Mathématique de G. DesarguesR. Taton, L’œuvre mathématique de G. Monge48

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …Notes :1 Sept articles, écrits par Jean Claude Thiénard,publiés par l’IREM de Poitiers ont étéconsacrés au sujet. Ceux-ci renferment de trèslarges extraits expliqués et commentés desgrands auteurs qui ont créé et développé leconcept de transformation et la méthode detransformation.2 Voir bibliographie3 XIVe siècle italien4 Une copie faite par De La Hire sera retrouvéeet publiée par Poudra en 1864. Un exemplairedu texte original sera retrouvé à la bibliothèquenationale en 1950.5 Celles-ci étant nombreuses et n’ayant paseu de postérité, constituent un obstacle àune première lecture du texte. Un effort deune à deux heures permet de franchir cetobstacle.6 (KI) (HG) (PQ) sont en involution signifieQI.QK QG.QHque : ––––– = –––––– .PI.PK PG.PH7 Le langage est évidemment anachronique.L’anachronisme sera systématiquement utilisé,en dépit de l’inconvénient majeur qu’il ad’éloigner des modes de pensée des auteurs,voire de les dénaturer, comme outil de laforme brève.8 Selon l’expression de Leibniz.9 Trichotomie : ellipse, hyperbole, parabole,jusque là observée depuis le Traité des coniquesd’Apollonius (262-180 avant J.C.).10 1640. Cet essai renferme le fameux théorèmesur l’hexagramme mystique.11 Celui-ci s’est perdu après que Leibniz l’aitconsulté en 1676.12 La géométrie de Descartes (1637) fonde, aveccertains travaux de Fermat la géométrie analytique.13 Le calcul infinitésimal est créé conjointementet de manière apparemment indépendantepar Leibniz et Newton dans les années1660-1670. Les méthodes de la géométrie à lamanière des anciens resteront vivaces enAngleterre. Halley Mac Laurin, Simson, Stewart,Taylor resteront dans le cadre des «Principesmathématiques de la philosophie naturelle»de Newton pour donner des solutions auxproblèmes de leur époque. Sur le continent cesméthodes tomberont dans l’oubli.14 Le mot Arguésienne est construit sur le nomde Desargues.15 La géométrie descriptive fut l’objet deleçons à l’école normale en l’an 1793. Elle futpubliée par Hachette en 1799.16 De la corrélation des figures en géométrie(1801).Géométrie de Position (1803).Essai sur la théorie des transversales (1806).17 Publiée en 1822.18 Problème classique de l’architecture militairequi consiste à construire les murs de protectiondes fortifications en fonction des accidentsdu terrain, de façon à être protégé destirs d’artillerie de l’ennemi. Selon les méthodesclassiques, ce type de problème se résolvait parapproximations successives et exigeait delourds et nombreux calculs (se rapporter àl’article II).19 Michel Chasles, dans «Aperçu historique».20 Dans sa préface, Poncelet évoque longuementles travaux de Desargues qu’il connaîtà travers ses disciples ou ses ennemis.Pour Poncelet, Desargues est le «Monge de sonsiècle».21 Voir article II, III 1) a) pour des détails.Ce principe a son origine dans le principe des49

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …relations contingentes de Monge. Il énonce quesi l’on passe d’une figure à une autre par« degrés insensibles » ou par un « mouvementcontinu » certaines propriétés métriquesou descriptives démontrées pour l’une d’ellesseront encore vraies pour l’autre, même sicertains éléments ont disparu.22 Ces derniers avaient déjà été considérés parDesargues.23 Ceux-ci avaient déjà été bouleversés parDesargues.24 « Desargues, ami illustre de Descartes, etdont celui-ci faisait le plus grand cas commegéomètre, fut, je crois, le premier d’entre lesmodernes qui envisagea la géométrie sous lepoint de vue général que je viens de faireconnaître ». Poncelet25 Hormis la transformation par polairesréciproques (cf infra).26 Poncelet27 Dès 1823, Poncelet rédigera un mémoire« Théorie générale des polaires réciproques »qu’il présentera à l’Académie en avril 1824.28 Elles furent l’œuvre de Chasles, Gergonne,Bobillier.... en France, et de Steiner,Möbius, Plücher, Von Staudt... en Allemagne.29 Les annales mathématiques fondées parJ.D. Gergonne (de 1810 à 1831), la correspondancemathématique et physique fondéepar A. Quételet, le Journal de Crelle, etc.30 Cité de l’encyclopédie des sciences mathématiquespures et appliquées. Article de G.Fano (1915).31 Introduction à l’« Aperçu historique sur l’origineet le développement des méthodes engéométrie ».32 Le seul exemple connu à l’époque.33 On notera que le point de vue est global.Ces transformations ou déformations sontconsidérées par leur action sur les figures etnon sur les éléments d’un espace ; elles sontdéfinies par leur action sur les différents élémentsconstitutifs des figures : points, droites,plans, tangentes...34 Le rapport anharmonique d’un faisceau dequatre plans est le rapport anharmoniquedes quatre points d’intersection d’une droiteavec ces quatre plans. Ce rapport est un invariant: il ne dépend pas de la droite.35 Dans les œuvres des prédécesseurs, cellesciapparaissent comme modes de correspondanceparticuliers et effectifs.36 « Systematische Entwickelung der Abhängigkcitgeometrisher gestalten von einander». (1832).37 Chasles publie le « Traité des sectionsconiques » en 1865. Dans ce traité les coniquessont caractérisées par :« La courbe, lieu des points d’intersection desrayons homologues de deux faisceaux homographiques,est une section conique qui passepar les centres des deux faisceaux ».ou l’énoncé dual« La courbe, enveloppe des droites qui joignentdeux à deux les points homologues dedeux divisions homographiques faites sur deuxdroites est une section conique tangente àces deux droites ».38 Chasles milita pour la création d’unechaire de géométrie supérieure à la facultédes sciences de Paris. Celle-ci fut créée en 1846.Il fut le premier à l’occuper. L’essentiel des coursqu’il y professa fit l’objet du « Traité de GéométrieSupérieure » (1852) (cf infra.)39 Une autre transformation sera introduiteet utilisée dans le cadre de la géométrie desfigures : la transformation par rayons vecteursréciproques (inversion en termes modernes)qui aura une grande importance parmi lesméthodes nouvelles en géométrie.40 Expression de Gauss pour caractériser les50

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …géométries de Bolyai et Lobatchevski.41 De façon précise l’élaboration de géométriesniant l’axiome des parallèles appelé Postulatd’Euclide.42 Dont un équivalent est l’existence d’uneunique parallèle passant par un point donnéà une droite donnée.43 Se reporter à l’article IV pour les détails.44 Lettre à Olhers 1817.45 Les premiers mémoires sont de 1829. Ilsseront suivis par celui de Bolyai (1832). Ilsemble que ce dernier possédait déjà sesrésultats en 1823.46 Terme par lequel on désignait l’ensembledes sciences d’observation dans lesquellesentrait la physique.47 Lobatchevski - Géométrie (1835). L’énoncé: « la somme des angles d’un triangle estégale à deux droits » est un équivalent duPostulat d’Euclide. Dans la géométrie deLobatchevski, la somme des angles d’un triangleest inférieure à deux droits et cettesomme croît avec les dimensions du triangle.La différence de cette somme à deux droits nepeut donc être mise expérimentalement enévidence, qu’en considérant des trianglesastronomiques.48 Dans cette conception les vérités géométriquess’ordonnent en deux catégories :1) celles qui nous sont révélées par les sensau travers des expériences les plus ordinairesde la vie. Certaines (théorèmes) peuventapparaître comme conséquences logiqued’autres (axiomes) et la limite entre axiomeset théorèmes est arbitraire,2) celles plus cadrées qui apparaîtront àl’issue d’une démarche déductive et qui a posterioriseront confirmées (ou non infirmées)par l’expérience.49 J. Hoüel affirme qu’Euclide a recours aumouvement de façon tacite. Ce point est longuementanalysé dans l’article V.50 Newton affirmait déjà que « la géométrieest fille de la méchanique... ».51 Voir article IV.52 Cette distinction hiérarchique faite dansEuclide a toujours été reconduite dans lesouvrages didactiques.53 L’œuvre de Méray fait l’objet d’une étudedétaillée dans l’article IV. On pourra notammenty voir comment Méray rend compte dela deuxième grande problématique de la géométrieélémentaire, celle de la similitude desfigures par l’homothétie (la première étant cellede la congruence des figures traitée par les déplacements).54 Voir article VII pour une étude détaillée.55 Rappelons que pour Méray, par exemple,les énoncés de la géométrie élémentairesont factuels et qu’en conséquence leur véritéultime résulte moins du raisonnementqui les produit que de l’adéquation à certainesexpériences. Dans la dialectique de l’interneet de l’externe, l’externe est primordial. Ily a renversement des termes de cette dialectiquedans l’optique de Klein.56 Voir article VII.57 Même si la construction faite par Hilbertdans les « Fondements de la géométrie » commencepar énoncer les axiomes de congruenceindépendamment de la notion de déplacement.Voir article VI.58 Se reporter à l’article VI pour une étudedétaillée.59 La méthode des transformations a « donnélieu aux méthodes qui constituait la géométrierécente »... « Ces modes de transformationssont autant de moyens sûrs, de moules,pour ainsi dire qui servent à créer à volontédes vérités géométriques sans nombre ».51

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …60 Par M. Chasles lui-même. (Cf supra).61 1855.62 Voir article VI.63 1865.64 Souligné par l’auteur.65 Rotation et translation sont des mouvementsqui appartiennent à la mécanique. Elles commencentà entrer dans la géométrie, sousforme de transformations par considérationsdes positions initiales et finales et par lathéorie du centre instantané de rotation développéepar M. Chasles et déjà très usitée parses contemporains : voir articles III et IV.66 Voir les différentes éditions du traité de géométriede Rouché et Comberousse.67 Copenhague 1866. Traduit en français en1879.68 Selon l’expression de M. Chasles.69D’où la méthode plus complexe, immédiatementélaborée, qui consiste pour démontrerune propriété P d’une configuration C complexe:1) à trouver une transformation (bijective) ftelle que P soit invariante par f et C’ = f(C) soitune configuration plus simple2) à démontrer P sur C ‘ et à déduire le résultatsur CC’est cette démarche qui donne à la méthodesa fécondité.70 En insistant sur l’aspect méthodologique :le transport ou le reflet de propriété et doncsur la notion d’invariant...En faisant ressortir l’aspect culturel, en explicitantles liens entre dessins en perspectiveet projection centrale et la méthode des plansqui en découle : homologie, etc.71 Pour rester à un niveau élémentaire.72 Cela permet d’insister sur le fait que lestransformations intéressantes dans le cadrede la géométrie des figures sont a priori cellesqui déforment.A cet égard, le petit traité de J.F Le Poivre resteun modèle du genre. Il conduit avec simplicitéet une grande économie de moyens à despropriétés substantielles des différentesconiques.73 Voir la géométrie de C. Méray par exemple.74 Ou dans celui qui sera évoqué ci-après (cfinfra).75 S’initier à ce type de problème demande uninvestissement important en temps et il n’ya guère de saupoudrage possible en la matière.76 La géométrie élémentaire est alors caractériséepar ce que F. Klein appelle le groupeprincipal engendré par les rotations, translations,homothéties et symétries.77 Les nombreux exercices sur ce thème quirempliront les manuels scolaires pendant desdécennies seront directement inspirés voirerecopiés de ce petit livre.52