Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …« Des Méthodes en Géométrie » 61 la décrit dansla onzième méthode : « Par la transformationdes figures — Réflexions générales sur l’importancede cette méthode » :« Cette méthode, l’une des plus importanteset des plus fécondes de la géométrieest certainement celle qui a le plus puissammentservi les géomètres de notre siècledans leurs efforts pour reculer les bornes dela science de leurs prédécesseurs. Ceux-ciparaissent l’avoir à peu près ignorée...Dans notre siècle au contraire, d’éminentsgéomètres, parmi lesquels nousciterons M.M. Poncelet, Chasles et Dupin,ont cultivé cette méthode avec une sorte deprédilection...C’est donc de nos jours seulement quecette méthode a réellement pris naissance ;et des fruits qu’elle a déjà portés, des rapprochementsinattendus qu’elle établit sifréquemment entre des figures diverses , ilest permis de conclure qu’elle constitue la véritableméthode en géométrie, et doit le mieuxcontribuer à agrandir indéfiniment le champdes vérités géométriques...».P. Serret exemplifie son propos par uneprésentation, une étude et diverses applicationsen géométrie plane et en géométriesphérique de la transformation par rayons vecteursréciproques 62 .M. Höuel dans « Introduction à la géométriesupérieure » 63 qui se propose de mettre àla disposition des élèves et candidats aux concoursles méthodes modernes, bien que prenant pourbase le traité de M. Chasles redonne à la méthodedes transformations un rôle central.« On sait que les théories de l’ancienne géométrie,telles que les expose le traité deLegendre, sont devenues insuffisantes pourrésoudre une foule de questions que les élèvessont appelés à traiter. Le but que nous proposonsest d’exposer... les méthodes modernesqui deviennent alors indispensables 64 . Pourcela, nous n’avons pu mieux faire que deprendre pour base de notre travail le Traitéde Géométrie Supérieure de M. Chasles... »Le traité de M. Chasles est entièrement fondésur le rapport anharmonique : en effet, ungrand monument a besoin d’unité ; mais unélève, aux prises avec une question difficile,frappe à toutes les portes pour demanderune solution... Aussi nous avons rappelé lesidées dont M. Poncelet a tiré un si grandparti... ».Le traité se termine par un chapitreconsacré à « la rotation des figures et qui n’estpas exclusivement consacré à la géométriepure » 65 .Ces méthodes ne feront longtemps quel’objet d’appendices dans les traités de géométrieélémentaire 66 .Des éléments de « géométrie moderne » liésà la théorie des transformations : inversion,perspective, homographies,... seront introduitsau niveau de la classe de mathématiqueslors de la réforme 1902 - 1905 (voir articleVI). La translation, le mouvement de rotation,l’homothétie feront leur apparition dans le programmede la classe de mathématiques élémentairesen 1891, selon les conceptionsexprimées par J. Höuel, développées par Ch.Méray (voir articles IV et V). La traditiondidactique qui se constituera pour l’enseignementde ces notions nouvelles sera déterminéepar le livre de J. Petersen : « problèmesde constructions géométriques » 67 proposant« Méthodes et théories pour la résolution desproblèmes de constructions géométriques avec45