Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …Une transversale coupe le quadrilatère complet en (PQ) (IK) (HG) et le cercle en (LM).Desargues montre que (LM) (QP) (IK) sont en involution ainsi que (LM) (QP) (GH) et étendà cette occasion la définition de l’involution à quatre couples de points : (LM) (QP) (IK) (GH)sont en involution si trois de ces quatre couples pris comme on voudra sont en involution.La propriété vraie dans le cercle se transporte aux coniques par projection, par le théorèmede la «Ramée».euclidienne, la seule connue et donc la seuleadmise à l’époque. Le texte de Desargues estdonc créateur à plusieurs niveaux :* Desargues l’architecte, l’auteur de Traitéssur la perspective, la coupe des pierre, la gnomoniquevoit en perspective et donc danscette vision, l’ellipse, l’hyperbole et la parabole— perspectives du cercle — participentdu cercle quant aux propriétés que conserventles projections (ou perspectives),* Desargues mathématise la déformationd’une configuration « par mutation optiqued’apparence » 8 .a) en introduisant la correspondance entreles points de deux plans, aujourd’hui appeléeprojection conique ou cylindrique,b) en traitant de la même façon les faisceauxde droites parallèles et les faisceaux dedroites concourantes, par introduction de lanotion de points à l’infini : « But de l’ordonnanceà l’infini »...,c) en traitant de la même façon cônes etcylindres (sommet rejeté à l’infini),d) en abandonnant, et c’est un changementconsidérable, la traditionnelle trichotomiedes coniques 9 pour la démonstration de leurspropriétés.* Desargues crée un nouveau mode démonstratifqu’il qualifie de « démonstration par lerelief », c’est-à-dire par la perspective. Il utilisealors des considérations de géométriedans l’espace pour établir des propriétés de30