Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …re : celle vérifiée par les courbes réciproquesdes courbes cherchées.Sa vision géométrique le conduisit ainsià l’invention de méthodes « géométriques » —une transformation dans l’exemple précédent— qui traduites analytiquement fécondèrentle calcul infinitésimal.Monge, par ses créations, introduisit dansla géométrie, ce qui était novateur, desméthodes et des procédures réglées voire algorithmiques— les méthodes de la géométriedescriptive — élargissant ainsi le champd’application de la vieille science en enrichissantsa syntaxe. Il introduisit de plus lasémantique géométrique dans l’analyse infinitésimaled’une manière qui s’avéra trèsopératoire.La postérité des idées de Monge seraimmense, assurée par ses élèves formés dansles institutions qu’il aura fortement contribuéà créer (École polytechnique, Ecole normale).Ceux-ci pérenniseront sa vision géométriquedes problèmes et créeront la géométriemoderne.« Les élèves de Monge et ses premiers successeurss’appliquent à retrouver géométriquement,sans secours étranger, par les nouvellesméthodes, les nombreux théorèmesacquis par la méthode des coordonnées.A cet égard, il faut citer en première ligneplusieurs travaux de L. Carnot.... Et dominantle tout le Traité des Propriétés projectivesdes figures de J.V. Poncelet, constitueenfin le premier exposé systématique de la«géométrie projective» au sens actuel dumot ». 19L’œuvre de Poncelet est à la fois uneœuvre de redécouverte et une œuvre de création.Elle redonna vie aux créations deDesargues 20 après un siècle d’oubli et donnaune extension considérable à celles de Monge.Elle marqua selon le jugement de G. Darboux« le vrai commencement de la géométriesynthétique moderne ».Le projet de Poncelet est explicité dansla préface : « ... J’ai cherché avant tout à perfectionnerla méthode de démontrer et dedécouvrir en simple géométrie ». Il consiste doncà doter la géométrie de méthodes et d’outils,comme il en existe en géométrie analytique,en calcul infinitésimal et en géométrie descriptive,afin de pallier ce qui fait la faiblessede la géométrie, malgré la somme considérablede résultats accumulés, et qui a étéà l’origine de son abandon progressif : « Eneffet, tandis que la géométrie analytique offrepar la marche qui lui est propre, des moyensgénéraux et uniformes pour procéder à lasolution des questions qui se présentent...tandis qu’elle arrive à des résultats dont la généralitéest sans borne, l’autre procède au hasard,sa marche dépend tout à fait de la capacitéde celui qui l’emploie...».La réalisation du projet se fera par :• La création de nouvelles syntaxes démonstrativesqui permettront de faire abstractionde la figure — c’est-à-dire des cas particuliersde figures — et donc de donner plus « d’extensionà la simple géométrie ». Parmi ces syntaxes,citons :a) le principe de continuité 21 qui a unrôle structurant dans le Traité au niveauheuristique et démonstratif,b) les éléments (points, droites, etc.)idéaux, imaginaires, à l’infini 22 .Ces créations renouvellent les typesd’énoncés que peut produire la géométrie et32