Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …Poncelet et ses contemporains verrontimmédiatement la fécondité de ce procédé 27qui permettait de doubler les vérités de la géotousquatre rangés sur une même droitepolaire de P.3°. Les diagonales du quadrilatère circonscritiront concourir respectivementaux points L et M où se coupent, deux àdeux, les côtés opposés du quadrilatèreinscrit.4°. Chacun de ces derniers points est lepôle de la droite, ou diagonale, qui passepar l’autre et par le point P ; ou, ce quirevient au même, c’est le point de concoursdes tangentes qui correspondent à cettediagonale.5°. Toute ligne droite, passant par lepoint P et terminée à la section coniqueou à deux côtés opposés de l’un des quadrilatères,est divisée harmoniquementen ce même point et en celui où la droiterencontre sa polaire LM ; et pareillechose a lieu à l’égard des points L, M parrapport aux droites PM et PL dont ils sontles pôles.4)Transport par projection inverse des propriétésprojectives, mises en évidence, à la configurationinitiale.On notera que, d’un point de vue syntaxique,l’opération 4) n’a pas besoin d’être explicitéepuisque toute propriété — projective —qui appartient à l’une des figures appartientà l’autre étant donné qu’elles sont projectionl’une de l’autre, et qu’il suffit donc de se« reporter » à la figure primitive...Le texte de la démonstration semble suffisammentclair pour ne nécessiter ni paraphrases,ni explications.Cette théorie des pôles et polaires conduisitensuite Poncelet à une ébauche de la Théoriedes transformations par polaires réciproques.Il définit en effet l’image par polaireréciproque — par rapport à une conique donnée— d’une courbe quelconque considérée soit,comme générée par le mouvement d’un point,soit comme enveloppe d’une droite variable.Il termine en remarquant « ... on peut mêmedire en général, qu’il n’existe aucune relationdescriptive d’une figure donnée dans son planqui n’ait sa réciproque dans une autre figure ;car tout consiste à examiner ce qui se passe danssa polaire réciproque par rapport à une sectionconique prise pour directrice... ».Il y a donc là création d’une méthode,qui permet, par transformation, de découvriret de démontrer dans le même temps unefoule de propriétés nouvelles. Il suffit étantdonnée une configuration, de la transformerpar polaires réciproques, toute propriété de laconfiguration initiale se trouve alors reflétéedans la configuration image.35