Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …60 Par M. Chasles lui-même. (Cf supra).61 1855.62 Voir article VI.63 1865.64 Souligné par l’auteur.65 Rotation et translation sont des mouvementsqui appartiennent à la mécanique. Elles commencentà entrer dans la géométrie, sousforme de transformations par considérationsdes positions initiales et finales et par lathéorie du centre instantané de rotation développéepar M. Chasles et déjà très usitée parses contemporains : voir articles III et IV.66 Voir les différentes éditions du traité de géométriede Rouché et Comberousse.67 Copenhague 1866. Traduit en français en1879.68 Selon l’expression de M. Chasles.69D’où la méthode plus complexe, immédiatementélaborée, qui consiste pour démontrerune propriété P d’une configuration C complexe:1) à trouver une transformation (bijective) ftelle que P soit invariante par f et C’ = f(C) soitune configuration plus simple2) à démontrer P sur C ‘ et à déduire le résultatsur CC’est cette démarche qui donne à la méthodesa fécondité.70 En insistant sur l’aspect méthodologique :le transport ou le reflet de propriété et doncsur la notion d’invariant...En faisant ressortir l’aspect culturel, en explicitantles liens entre dessins en perspectiveet projection centrale et la méthode des plansqui en découle : homologie, etc.71 Pour rester à un niveau élémentaire.72 Cela permet d’insister sur le fait que lestransformations intéressantes dans le cadrede la géométrie des figures sont a priori cellesqui déforment.A cet égard, le petit traité de J.F Le Poivre resteun modèle du genre. Il conduit avec simplicitéet une grande économie de moyens à despropriétés substantielles des différentesconiques.73 Voir la géométrie de C. Méray par exemple.74 Ou dans celui qui sera évoqué ci-après (cfinfra).75 S’initier à ce type de problème demande uninvestissement important en temps et il n’ya guère de saupoudrage possible en la matière.76 La géométrie élémentaire est alors caractériséepar ce que F. Klein appelle le groupeprincipal engendré par les rotations, translations,homothéties et symétries.77 Les nombreux exercices sur ce thème quirempliront les manuels scolaires pendant desdécennies seront directement inspirés voirerecopiés de ce petit livre.52