Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …mouvement de rotation, qui sont des déplacements.Le mouvement de translation est alors lerévélateur des parallélismes et de leurs propriétéset le mouvement de rotation des perpendicularitéset de leurs propriétés. Le postulatd’Euclide devient alors une banalepropriété qui dérive de la possibilité d’amenerune droite en une autre position par translation.La géométrie ainsi construite aux référentsexternes : « la réalité des choses », « lanature », « les faits », « des vérités considérablespar elles-mêmes », « ... que l’origine premièredes vérités géométriques est incontestablementexpérimentale (il est bien difficile devoir dans l’évidence mathématique autre chosequ’un souvenir net et présent de l’exactitudede faits simples mille et mille fois observés...) »,est alors nécessairement euclidienne. Elle estla géométrie vraie, la géométrie expérimentalefondée sur les mouvements de translationet de rotation qui rendent compte de façon infinitésimaleet finie de tout déplacement desfigures ou des corps solides.Cette reconstruction de la géométrie aamené au premier plan deux mouvementsqui furent traités syntaxiquement comme destransformations par la seule considérationdes états initiaux ou finaux : la translation etla rotation 53 . Celles-ci occuperont une placefondamentale dans l’œuvre de F. Klein qui caractériserales géométries par des groupes detransformations.V. Les transformationset la classification des géométries.Au début des années 1870 émerge une nouvelleconception de la géométrie dans laquellela notion de transformation occupe uneplace centrale et sera dotée d’un nouveaustatut. Les travaux de Riemann et Helmholtzdéjà mentionnés, ceux de Galois et Jordan surla théorie des groupes eurent pour postéritéimmédiate ceux de S. Lie et de F. Klein 54 quiimposèrent, à l’issue d’une synthèse originaleet novatrice, le point de vue selon lequel toutegéométrie est caractérisée par un groupe detransformations, l’œuvre déterminante estcelle de F. Klein connue sous le nom de « Programmed’Erlangen ».Ce texte, publié en 1872, « considérationscomparatives sur les recherches géométriquesmodernes » expose un « principe général » quipermet d’édifier la géométrie élémentaire etla géométrie projective (dont les liens étaientmal élucidés) et, par extension, de décrire lesrapports de dépendance qu’ont les différentesgéométries entre elles : subordinations ouisomorphie.Klein commence par caractériser les propriétésqui font l’objet de la géométrie élémentairepar un groupe de transformations,le groupe principal :« Il y a des transformations de l’espace quin’altèrent en rien les propriétés géométriquesdes figures. Par nature, ces propriétés sont,en effet, indépendantes de la situation occupéedans l’espace par la figure, de sa grandeurabsolue, et enfin aussi du sens dans lequelses parties sont disposées. Les déplacementsde l’espace, les transformations avec similitudeet celles par symétrie n’altèrent doncpas les propriétés des figures, non plus queles transformations composées avec les précédentes.Nous appelons groupe principal detransformations de l’espace l’ensemble de toutesces transformations ; les propriétés géométriquesne sont pas altérées par les transformationsdu groupe principal. La réci-42