Les transformations en gÃ©omÃ©trie, introduction Ã une approche ...

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REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …application à plus de 400 problèmes ». Dansce livre, J. Petersen met en évidence une classede problèmes, les constructions géométriqueset les recherches de lieux géométriques,pour lesquels translation, rotation,homothétie, inversion etc... trouvent un vastechamp d’application où elles s’avèrent très efficaces.Les exemples développés par J. Petersen(voir article VI) seront la mine danslaquelle les auteurs de livres d’enseignementiront puiser leurs exercices sur le sujetjusqu’aux années 1970, qui marqueront laquasi disparition de l’enseignement de la géométrie« pure » 68 .ConclusionsI — Ce bref historique suffit à montrer queles transformations géométriques ont étéconsidérées sous trois aspects, apportant dessolutions à trois problématiques étrangèresles unes aux autres qu’il convient de biendiscerner pour leur enseignement.1) La méthode des transformations fut crééedans le cadre de la géométrie des figures etmême plus étroitement dans le cadre de la théoriedes coniques, comme méthode pour découvriret démontrer par transport de certainespropriétés — les invariants de la transformation— d’une configuration simple, où celles-cipeuvent être démontrées, à des configurationsplus complexes 69 . Elle fut ensuite étendue parla méthode des polaires réciproques en uneméthode qui permet de doubler les théorèmesde la géométrie par reflet de toutepropriété P d’une configuration C en unepropriété P* de la configuration duale C*obtenue.Ces méthodes qui ont enthousiasmé lesgéomètres des XVIIème et XIXème siècles, quiont conduit ces derniers à penser, eu égard àleur fécondité, qu’elles constituaient « la véritableméthode en géométrie », méritent d’êtreenseignées comme telles 70 en les faisant agirdans un champ d’application privilégié 71 : lathéorie des coniques 72 .2) Le mode de correspondance des figurespar transformations intervint dans le cadrede la problématique de la refondation de lagéométrie élémentaire — euclidienne —comme géométrie vraie, car expérimentale.D’autres transformations seront alors considéréescomme métaphore du mouvement quiamène une figure d’une position de l’espaceà une autre (translation, rotation), comme métaphoredes procédés d’agrandissement - rétrécissement(homothétie) et comme syntaxepour l’égalité et la similitude des figures 73 . C’estdans ce cadre que ces transformations présententun intérêt 74 , ou dans le cadre étroitdes constructions géométriques développépar J. Petersen 75 .3) Les transformations jouent, par lanotion de groupe de transformations, un rôlemajeur dans le cadre d’une classification etd’une hiérarchisation des géométries. F. Kleina montré que cette notion de « groupe detransformations » était l’instrument d’uneétude structurale des géométries puisqu’ilpermettait d’identifier par isomorphie desgéométries en apparence étrangères les unesaux autres, d’établir des liens de subordinationentre des géométries dont on voyait malles liens qui pouvaient les unir et donc de hiérarchiserespaces et propriétés géométriques76. Ce point de vue ne peut être abordé qu’àun niveau avancé.II — L’étude des programmes des quatre dernièresdécennies permet de distinguer sommairementtrois grandes périodes.46
REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …1) Dans les années 60, les transformationsfaisaient l’objet de longs développements dansla classe de mathématiques élémentaires. Leprogramme comportait une longue partie surles transformations : Translations - Rotations- Homothéties - Similitudes - Affinités- Inversions - Transformations par polaires réciproques.Celles-ci trouvaient des champsd’application dans les autres parties du programme: Descriptive - Cinématique - Théoriedes coniques et dans deux grandes classesde problèmes : problèmes de lieux géométriqueset problèmes de construction. Cesderniers initiés par J. Petersen (Problèmes deconstructions géométriques 77 ) faisaient l’objetd’un apprentissage systématique et donnaientaux translations, rotations, etc., un lieu d’applicationsprivilégié.La géométrie projective, les homographies,la dualité figuraient aux programmesde Math. Sup et de Math. Spé.Ces programmes avaient une grandecohérence d’un point de vue épistémologique.Ils s’inscrivaient dans la première traditionhistorique de la géométrie pure.2) Dans les années 70, après la réformedes maths modernes, les transformationsconservaient une grande place dans le programmede terminale C. Elles étaient alorsintroduites par l’algèbre linéaire et lesgroupes. Leur étude était menée essentiellementpar voie analytique et vectorielle.L’accent était mis sur la notion d’espace : Transformationsaffines - Espaces projectifs - Harmonicité- Espace affine euclidien - Pôles etpolaires par rapport à un cercle - Isométriesvectorielles et affines - Similitudes - Notionssur le groupe circulaire du plan - Inversion- Espace anallagmatique. Les problématiquesde la structuration de l’espace et dela subordination des géométries affines,euclidiennes et projectives étaient mises aupremier plan et celle de la géométrie desfigures étaient mises au second plan bien quenon négligées. Ces programmes avaient euxaussi une grande cohérence d’un point de vueépistémologique. Ils s’inscrivaient dans la troisièmetradition historique.3) La grande cohérence épistémologiquede ces programmes ne les mettait pas à l’abrides critiques et des réformes.Les programmes des années 60 furentréformés car jugés vieillots et n’entretenantplus de liens avec le savoir savant del’époque et les programmes de l’enseignementsupérieur.Les programmes des années 70 furentréformés en raison des difficultés rencontréespour leur enseignement, mettant aucœur de celui-ci la notion de structureavant qu’il y ait quoi que ce soit à structurerpour les élèves.Les programmes qui suivirent diminuèrentfortement la part de la géométrie. Ils negardèrent des transformations que la rotation,la translation, les symétries, la similitude etles isométries, sans problématique propre,sans champ d’application clair.Contrairement aux précédents, ces programmes:• ne relèvent plus d’aucune tradition historiqueet n’ont donc plus de cohérence épistémologique.• ne s’inscrivent clairement dans aucune problématiquede résolution de problèmes et enconséquence fonctionnent sur des problèmes47
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