Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …proque est également vraie : les propriétésgéométriques sont caractérisées par leurinvariance relativement aux transformationsdu groupe principal ».Klein étend ensuite ce point de vue :« comme généralisation de la géométrie sepose ainsi la question générale que voici :Etant donnés une multiplicité et un groupede transformations de cette multiplicité,en étudier les êtres au point de vue des propriétésqui ne sont pas altérées par les transformationsdu groupe.On donne une multiplicité et un groupe detransformations de cette multiplicité ; développerla théorie des invariants relatifs à cegroupe».Ce point de vue permet à Klein :• de subordonner les géométries et de mettreainsi en évidence leurs liens internes. Ilmontre ainsi que le groupe des transformationsprojectives contient le groupe des transformationsaffines (les transformations projectivesdu plan qui laissent invariantes la droiteà l’infini) qui contient lui-même le groupe dela géométrie élémentaire, etc.,• de montrer :— l’isomorphie de la géométrie projective dela droite et de la géométrie projective dessystèmes de points d’une conique,— l’identité de la géométrie par rayons vecteursréciproques dans le plan et de la géométrieprojective sur une surface du second degré,• de montrer que la géométrie de Lobatchevskiest subordonnée à la géométrie projective.Klein a donc mis en évidence le fait quele concept de groupe de transformations permettaitd’établir des relations entre les différentesgéométries (liens de subordination)— de sérier et de classer les différents typesde propriétés géométriques (projectives,métriques, etc.) — de dégager l’identité structuralede géométries en apparence étrangèresles unes aux autres.Les travaux de F. Klein opèrent un déplacementde l’intérêt porté aux transformationsgéométriques de l’instrumental vers le structuralqui aura pour effet de libérer la géométriede ses bases empiriques, d’éliminer l’intuitifdes raisonnements et de libérer les résultatsproduits de l’adéquation à un certain typed’expérimental ou d’observable comme modede validation ultime 55 . Cela implique unrenouvellement des conceptions quant auxrapports entre le théorique et l’expérimentalqui ne peut être développé ici 56 .Dans les décennies qui suivront le programmed’Erlangen, les transformationsseront au cœur de la géométrie 57 et Poincarévoit dans la notion de groupe de déplacementsla notion primordiale et fondamentalede la géométrie 58 , mieux encore : unecatégorie de l’entendement « Dans notreesprit préexistait l’idée latente d’un certainnombre de groupes : ce sont ceux dont Lie afait la théorie ».VI. Les premières traditions didactiques.La première tradition didactique 54 futinstaurée par M. Chasles lui-même, par sonenseignement à la chaire de Géométrie Supérieureà la Faculté des Sciences de Paris et parla publication de son Traité de GéométrieSupérieure. Paradoxalement, alors qu’il avaitété l’apologiste et le propagandiste de laméthode des transformations dans l’« Aperçuhistorique » 59 , après avoir contribué lui43