Les transformations en géométrie, introduction à une approche ...

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …même à lui donner la plus grande extensionpossible par ses travaux sur l’homographie etla dualité, il donne à cette méthode structuranteet unifiante pour l’ensemble des savoirsgéométriques, une place marginale.Il ne leur consacre en effet que trois destrente cinq chapitres du Traité de GéométrieSupérieure :Chapitre XXV « Théorie des figures homographiques».Chapitre XXVI « Théorie des figures corrélatives».Chapitre XXVII « Des applications de lathéorie des figures homographiques et de cellesdes figures corrélatives regardées commeméthodes de démonstration »Ce chapitre donne la clé du paradoxe évoquéci-dessus. Chasles y rappelle que :« Ces transformations donnent le moyend’appliquer à une figure les propriétés d’unefigure plus simple... ».« Ou bien un problème étant proposé àl’égard d’une figure, on cherche à le résoudresur la plus simple des figures transformées».« Avec une figure donnée, on en forme uneseconde, aux propriétés de la première figurecorrespondent des propriétés de la secondequi dérivent de la première en vertu despropriétés générales qui ont lieu entre deuxfigures corrélatives ».Chasles y explique ensuite « Pourquoil’on ne fait pas usage dans le cours de cetouvrage des méthodes de transformation ».Bien que ne reniant pas les « méthodes ingénieusesqui ont enrichi la science d’une foulede vérités dont on n’avait pas eu l’idée auparavant...et que la géométrie doit connaître »,Chasles évite d’y recourir car, « Par lesméthodes de transformation, on fait un théorèmedéterminé avec un autre théorème déjàconnu. On peut former ainsi une collectionplus ou moins ample de propositions », et lespropositions obtenues « manquent de liensentre elles », ne se laissant pas « déduire lesunes des autres » et ne peuvent donc pas formerun corps de doctrine. « Nous avons cherché,au contraire, à former un ensemble de propositionsconstituant par leur enchaînementnaturel des théories et un corps de doctrinessusceptibles d’applications fécondes danstoutes les parties de la géométrie. »« Il nous a donc fallu démontrer directementchacune de ces propositions, ... par lespropres ressources que peuvent offrir les théoriesauxquelles elles se rapportent ».Chasles écrit un traité ; un traité obéità une logique déterminée par le modèle desEléments d’Euclide resté canonique jusqu’auxtemps présents. Les transformations sontmarginalisées au nom de cette logique. Néanmoins,une grande partie du traité de GéométrieSupérieure est consacrée à l’étude denotions dont l’importance a été révélée par laméthode des transformations : « Théorie durapport anharmonique, de la division homographiqueet de l’involution » qui se rapportentaux invariants des projections centrales,révélés par Desargues et Poncelet. Ces théoriesconduisent à celles des divisions et faisceauxhomographiques qui ont un rôle centraldans le Traité.D’autres cours et traités vont suivre celuide M. Chasles, dans lesquels la méthode destransformations se verra conférer l’importancequi lui a été reconnue à partir des travauxde J.V. Poncelet 60 . Paul Serret dans44