Les transformations en gÃ©omÃ©trie, introduction Ã une approche ...

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REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …métrie et qui conduira à la féconde théoriede la dualité développée par Gergonne,Chasles, etc.Par son « Traité des propriétés projectivesdes figures », Poncelet a réintroduit dansla géométrie la méthode des transformationstelle que l’avait imaginée Desargues. Il fait lasynthèse des apports de Desargues et Pascal(éléments à l’infini), de Monge (éléments imaginaires,principe de continuité), de De la Hireet Le Poivre (méthode des plans qui deviendrachez Poncelet « l’homologie »), de De la Hire,Monge et Brianchon (premiers éléments d’une« Théorie des pôles et polaires » utilisée pourla découverte et la démonstration de propriétésnouvelles).La synthèse de Poncelet est créatrice desyntaxes nouvelles, de méthodes de démonstrationet de découverte générales par les transformations,organisées en un corps de doctrine,créant ainsi la « géométrie moderne », et suscitantune foule de travaux, tant en Francequ’en Allemagne, qui aboutiront aux théoriesde l’homographie et de la dualité deChasles, aux travaux de Steiner et à l’élaborationde la géométrie projective moderne.III. Le concept maîtrisé.L’époque de Chasles.« Les travaux de J.V. Poncelet suscitèrent partoutles recherches les plus approfondies 28 .On chercha à étudier sous toutes leurs facesles principes qu’il avait découverts et à entirer toutes les conséquences...Partout, on note la plus grande activité,et, comme signe de cette activité mathématique,on peut relever la grande quantitéde journaux scientifiques qui prirentnaissance 29 .» 30M. Chasles s’est fait très tôt le propagandistedes méthodes et concepts introduitspar Poncelet, de leur fécondité, de leur facilitéd’application « des ressources puissantesque la géométrie a acquise depuis une trentained’années (et qui) sont comparables sous plusieursrapports aux méthodes analytiques,avec lesquelles cette science peut rivaliserdésormais sans désavantage dans un ordre trèsétendu de questions» 31 .Convaincu de la fécondité des méthodesnouvelles et de leur pouvoir fédérateur, Chaslesformulera à la fin de l’ « Aperçu historique »le projet de mettre de l’ordre dans « un chaosde propositions nouvelles trouvées au hasard »et dans un amoncellement de méthodes « encoreéparses dans les mémoires des géomètres quis’en sont servis » afin de les rendre propres àune large diffusion et de pallier ainsi « lavéritable cause de l’éloignement pour la géométrierationnelle ».Ce projet trouva une première mise enœuvre par un mémoire « La dualité et l’homographie» sur « les deux doctrines générales dedéformation et de transformation des figures ».Il posa dans ce mémoire le problème de la déterminationdu « principe de transformation desfigures » et du « principe de déformation desfigures » dont les paradigmes respectifs étaientla transformation par polaires réciproques 32 ,la projection, l’homologie, etc., sous leur formela plus générale.L’énoncé du principe de dualité est donnéen deux parties. La première est relative « àla corrélation des relations descriptives desfigures » et la seconde « à la corrélation de leurrelation de grandeurs ». 33Première partie. Lorsqu’une figure deforme quelconque est donnée, on peut tou-36
REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006LES TRANSFORMATIONSEN GEOMETRIE …jours former, d’une infinité de manières,une autre figure, dans laquelle les points, lesplans, les droites, correspondront respectivementà des plans, à des points, à desdroites de la première figure.Les points situés sur un même plan, dansl’une des deux figures, auront pour correspondantsdes plans passant tous par lepoint qui correspond à ce plan.Les points situés sur une même droite,dans l’une des deux figures, auront pourcorrespondants, dans l’autre figure, desplans passant par la droite qui correspondraà la première.Les points situés sur une surface courbe,dans la première figure, auront pour correspondants,dans la seconde, des planstangents à une autre surface courbe ; et lesplans tangents à la première surface, en cespoints, auront pour correspondants précisémentles points de contact des plans tangentsà la seconde surface.Enfin, tous les points situés à l’infini,considérés comme appartenant à la premièrefigure, seront regardés comme situéssur un même plan, et tous les plans quileur correspondront passeront par unmême point, qui correspondra à ce plansitué à l’infini.Ce sont ces deux figures que nous appelleronscorrélatives.Deuxième partie. Dans deux figures corrélatives,à quatre points de la première,situés en ligne droite, correspondent, dansla seconde, quatre plans passant par une mêmedroite, et dont le rapport anharmonique 34 esttoujours égal au rapport anharmonique desquatre points.Et, à quatre plans de la première figure,passant par une même droite, correspondentdans la seconde figure, quatre pointssitués en ligne droite, dont le rapport anharmoniqueest égal précisément au rapportanharmonique des quatre plans.»Le principe d’homographie s’obtientalors en répétant deux fois le mécanismede transformation des figures par le principede dualité.« Une figure de forme quelconque étant donnéedans l’espace, on peut toujours concevoirune seconde figure du même genre, et jouissantdes mêmes propriétés descriptives quela première, c’est-à-dire qu’à chaque point,à chaque plan, à chaque droite de la premièrefigure, correspondront, dans la seconde,un point, un plan, une droite.Aux points à l’infini dans la premièrefigure, correspondront dans la seconde, despoints situés tous sur un même plan, desorte qu’à des faisceaux de droites parallèlesappartenant à la première figure, correspondront,dans la seconde, des faisceauxde droites concourantes en des points situéstous sur un même plan.Les deux figures auront entre elles desrelations de grandeur, qui consistent en ceque :* le rapport anharmonique de quatre pointssitués en ligne droite dans la première figure,sera égal au rapport anharmonique desquatre points homologues dans la secondefigure ;* le rapport anharmonique de quatre plansde la première figure, passant par une mêmedroite, sera égal au rapport anharmoniquedes quatre plans homologues, dans la secondefigure. »Dans le mémoire de Chasles, les transformationsou déformations sont caractériséesen tant que classe de modes de corres-37
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