Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

Identification du
dual topologique de C[a, b]
Louis Fauchier-Magnan, SMA - EPFL
Prof. Antoine Derighetti - IACS
juin 2005

Table des matières
Le dual topologique des fonctions continues 5
1. Notions preliminaires 5
2. L’integrale de Stieltjes 8
3. Le Théorème de Riesz 12
4. Identification de C[a, b] ′ 14
5. Conclusion 24
Bibliographie 25
3

Le dual topologique des fonctions continues
1. Notions preliminaires
Définition 1.1. Soient a, b ∈ R, a < b. On pose
C[a, b] := {f : [a, b] → R : f est continue sur [a, b]}.
Remarque 1.2. On munit C[a, b] d’une structure de R-espace vectoriel
en définissant : ∀f, g ∈ C[a, b], ∀λ ∈ R
– (f + g)(x) := f(x) + g(x)
– (λf)(x) := λf(x), ∀x ∈ R
On munit C[a, b] d’une structure d’espace vectoriel normé grâce à l’application
:
‖ · ‖ : C[a, b] −→ [0, ∞)
{ }
‖f‖ := max |f(x)|
x∈[a,b]
Définition 1.3. On définit :
– le dual algébrique de C[a, b] comme l’ensemble des formes linéaires sur
C[a, b], noté C[a, b] ∗ .
– le dual topologique de C[a, b] comme l’ensemble des formes linéaires
continues sur C[a, b], noté C[a, b] ′ .
Remarque 1.4. C[a, b] ′ ⊂ C[a, b] ∗
Remarque 1.5. L’analyse fonctionnelle nous assure que la propriété de
continuité peut-être remplacée par le fait d’être borné, mais nous reprendrons
ce point plus en détail.
Définition 1.6. Soit f ∈ R [a,b] .
f est dite monotone croissante si : ∀x, y ∈ [a, b], x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
f est dite monotone décroissante si : ∀x, y ∈ [a, b], x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)
Définition 1.7. Soit un intervalle compact [a, b] ⊂ R et n ∈ N. Un
ensemble de points {x 0 , . . . , x n } ⊂ [a, b] vérifiant :
x 0 = a, x n = b, x i < x i+1 ∀ 0 ≤ i ≤ n − 1
est appelé une subdivision (d’ordre n) de [a, b]
Définition 1.8. Soient a, b ∈ R, avec a < b et f ∈ R [a,b] .
On dit que f est à variation bornée sur [a, b] si ∃K > 0 tel que pour toute
5

6 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
subdivision {x 0 , . . . , x n } d’ordre n de [a, b]
n∑
|f(x j ) − f(x j−1 )| ≤ K
j=1
Définition 1.9. L’ensemble des fonctions à variation bornée sur [a, b]
est noté BV [a, b]
Proposition 1.1. BV [a, b] est un R-sous espace vectoriel de R [a,b]
Preuve :
Soient f, g ∈ BV [a, b] et λ, µ ∈ R.
Soit n ∈ N et {x 0 , . . . , x n } une subdivision d’ordre n de [a, b].
Alors
n∑
|(λf + µg)(x i ) − (λf + µg)(x i−1 )| ≤
|λ| ·
j=1
n∑
|f(x i ) − f(x i−1 )| + |µ| ·
i=1
car f, g ∈ BV [a, b].
n∑
|g(x i ) − g(x i−1 )| < ∞
Proposition 1.2. Toute fonction f ∈ R [a,b] monotone croissante ou
décroissante est à variation bornée.
Preuve : Soit n ∈ N et {x 0 , . . . , x n } une subdivision d’ordre n de [a, b].
Supposons f croissante. Alors :
n∑
|f(x j ) − f(x j−1 )| =
j=1
i=1
n∑
f(x j ) − f(x j−1 ) = f(x n ) − f(x 0 ) = f(b) − f(a)
j=1
Supposons f décroissante. Alors :
n∑
|f(x j ) − f(x j−1 )| =
j=1
n∑
f(x j−1 ) − f(x j ) = f(x 0 ) − f(x n ) = f(a) − f(b)
j=1
Définition 1.10. Soit f ∈ BV [a, b].
On appelle variation totale de f sur [a, b] le nombre :
{ n∑
}
Va b (f) := sup |f(x j ) − f(x j−1 )| : n ∈ N, {x 0 , . . . , x n } subdivision de [a, b]
j=1
Proposition 1.3. Soit f ∈ BV [a, b] et a ≤ c < d ≤ b.
Alors f |[c,d] ∈ BV [c, d].
Preuve :
Soit K > 0 tel que f ∈ BV [a, b].
Soit {x 0 , . . . , x n } une subdivision de [c, d].
Ainsi {a, x 0 , . . . , x n , b} est une subdivision de [a, b] et donc :
n∑
|f(c) − f(a)| + |f(x j ) − f(x j−1 )| + |f(b) − f(d)| ≤ K
j=1

et donc
1. NOTIONS PRELIMINAIRES 7
n∑
|f(x j ) − f(x j−1 )| ≤ K
j=1
Remarque 1.11. Nous énonçons ci-dessous quelques résultats utilisés
dans certaines démonstrations au chapitre suivant :
Proposition 1.4. Soit f ∈ R [a,c]
– Si f ∈ BV [a, c] et a < b < c, alors : V c
a (f) = V b
a (f) + V c
b (f)
– Si f |[a,b] ∈ BV [a, b] et f |[b,c] ∈ BV [b, c], alors f ∈ BV [a, c]
Alors :
Proposition 1.5. Soit f ∈ BV [a, b]. On définit :
π(a) = 0 et π(x) := V x
a (f), ∀x ∈ (a.b]
– π ≥ 0 sur [a, b]
– π est croissante sur [a, b]
– Soit c ∈ [a, b], alors f est continue en c ⇔ π est continue en c
Théorème 1.12. Jordan
Toute fonction continue à variation bornée peut s’écrire comme différence
de deux fonctions continues monotones croissantes.
Théorème 1.13. Premier Théorème d’Helly
Soit une collection quelconque de fonctions F ⊂ R [a,b] .
Si ∃K > 0 tel que
|f| ≤ K et V b
a (f) ≤ K , ∀f ∈ F
alors il existe une suite {f n } n∈N ⊂ F qui converge en chaque point de [a, b]
vers une fonction ϕ ∈ BV [a, b].
Définition 1.14. Soit f ∈ R [0,1] . On appelle polynome de Bernstein de
degré n de la fonction f la fonction :
n∑ ( i
B n (x) := f C
n)
nx i i (1 − x) n−i , ∀x ∈ [0, 1]
où
i=0
C i n :=
n!
(n − i)! i! , i = 0, . . . , n
Théorème 1.15. Bernstein
Si f ∈ C[0, 1], alors ‖B n − f‖ −→ 0 quand n → ∞

8 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
2. L’integrale de Stieltjes
Définition 2.1. Soient f, g ∈ R [a,b] Soit {x 0 , . . . , x n } une subdivision
d’ordre n ∈ N de [a, b]. On choisit un point ξ k ∈ [x k , x k+1 ], ∀ 0 ≤ k ≤ n − 1.
On forme ensuite la somme
n−1
∑
ω := f(ξ k ) ( g(x k+1 ) − g(x k ) )
k=0
et on définit le pas λ := max{x k+1 − x k : 0 ≤ k ≤ n − 1}.
Si la somme ω tend vers une limite finie Ω lorsque λ → 0 indépendamment
du choix de la subdivision et des ξ k , on appelle Ω l’intégrale de Stieltjes de
f par rapport à g
Plus techniquement, Ω est l’intégrale de Stieltjes de f par rapport à g si :
∀ɛ > 0, ∃δ > 0 tel que pour toute subdivision vérifiant λ < δ, | ω − Ω |< ɛ
pour tout choix des points ξ k . On la note ∫ b
a f(x)dg(x)
Proposition 2.1. Quelques propriétés fondamentales :
– ∫ b
a (f + g)(x)dh(x) = ∫ b
a f(x)dh(x) + ∫ b
a g(x)dh(x)
– ∫ b
a f(x)d(g + h)(x) = ∫ b
a f(x)dg(x) + ∫ b
a f(x)dh(x)
– ∫ b
a αf(x)d(βg)(x) = αβ ∫ b
a f(x)dg(x)
– ∫ b
a f(x)d(g + C)(x) = ∫ b
a
f(x)dg(x) ∀α, β, C ∈ R
– ∫ b
a f(x)dg(x) = ∫ c
a f(x)dg(x) + ∫ b
c f(x)dg(x),
∀a < c < b, ∀f, g, h ∈ R [a,b]
(On suppose ici que toutes ces intégrales existent.)
De plus, l’existence d’une des deux intégrales ∫ b
a f(x)dg(x) et ∫ b
a g(x)df(x)
implique celle de l’autre et dans ce cas, on a la formule d’intégration par
parties :
∫ b
a
f(x)dg(x) +
∫ b
a
g(x)df(x) = f(b)g(b) − f(a)g(a)
Théorème 2.2. L’intégrale de Stieltjes ∫ b
a
f(x)dg(x) existe si f ∈ C[a, b]
et g ∈ BV [a, b].
Preuve :
Supposons tout d’abord que g est monotone croissante sur [a, b]. Soit {x 0 , . . . , x n }
une subdivision d’ordre n de [a, b].
∀ 0 ≤ k ≤ n − 1, on définit
m k := min { f(x) : x ∈ [x k , x k+1 ] }
et
M k := max { f(x) : x ∈ [x k , x k+1 ] }

2. L’INTEGRALE DE STIELTJES 9
Ces nombres existent, car f ∈ C[a, b]. on forme les sommes inférieures de f
et (respectivement) supérieures de f associées à cette subdivision :
n−1
∑ (
s = m k g(xk+1 ) − g(x k ) ) n−1
∑ (
et S = M k g(xk+1 ) − g(x k ) )
k=0
Il est clair que s ≤ ω ≤ S pour tout choix des points ξ k ∈ [x k , x k+1 ].
De plus, on constate que si on rajoute des points à la subdivision, s ne
décroît pas et S ne croît pas. Par conséquent, si on choisit deux subdivisions
de [a, b], et on note s 1 , s 2 les sommes inférieures et respectivement S 1 , S 2
les sommes supérieures associées à ces subdivisions, on peut obtenir une
troisième subdivision de [a, b] en combinant les deux premières. On note
comme précédemment s 3 et S 3 les sommes obtenues. Ainsi, par la remarque
ci-dessus, on observe que s 1 ≤ s 3 ≤ S 3 ≤ S 2 , et donc que s 1 ≤ S 2 . On
observe que l’ensemble des sommes inférieures de f est borné, car S 2 < ∞.
On peut alors considérer I := sup{s}. Ainsi, pour toute subdivision de [a, b],
on aura s ≤ I ≤ S et que |ω − I| ≤ S − s.
f est continue sur [a, b] qui est compact, elle est donc uniformément continue,
ie ∀ɛ > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x, x ′ ∈ [a, b], |x − x ′ | < δ ⇒ |f(x) − f(x ′ )|.
Ainsi, on constate que M k − m k < ɛ, 0 ≤ k ≤ n − 1 pour λ < δ (rappel : λ
est le pas de la subdivision).
Ainsi, S −s < ɛ·(g(b)−g(a)). On arrive par conséquent au résultat suivant :
ce qui signifie
On voit donc que
k=0
λ < δ ⇒| ω − I |< ɛ (g(b) − g(a))
I =
lim ω = I
λ→0
∫ b
a
f(x)dg(x)
En ce qui concerne le cas plus général où g est à variation bornée, selon le
théorème 1.1.1, on peut écrire g = g 1 − g 2 où g 1 , g 2 ∈ R [a,b] sont monotones
croissantes sur [a, b]. On aura alors
∫ b
a
f(x)dg(x) =
∫ b
a
f(x)dg 1 (x) −
∫ b
a
f(x)dg 2 (x)
Théorème 2.3. Si f ∈ C[a, b] et g est dérivable sur [a, b] avec une
dérivée Riemann-intégrable sur [a, b], alors :
∫ b
a
f(x)dg(x) =
∫ b
a
f(x)g ′ (x)dx
où le membre de droite est l’intégrale classique de Riemann.
Preuve :
Il découle des hypothèses que g ′ est bornée sur [a, b] et donc, selon le
théorème des accroissements finis, g ∈ BV [a, b]. Ainsi on sait que l’intégrale
de gauche existe. De plus, on admet un résultat de théorie de l’intégration qui
nous dit que, sous les hypothèses ci-dessus, la fonction f(x)g’(x) est continue

10 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
presque partout, et donc qu’elle est intégrable. Les deux membres de l’égalité
existent donc, il reste à voir qu’ils sont égaux. On suppose, comme dans le
théorème précédent, que g est monotone croissante sur [a, b]. Considérons
une subdivision d’ordre n {x 0 , . . . , x n } de [a, b]. On applique à chaque sousintervalle
[x k , x k+1 ] le théorème des accroissements finis qui nous dit que
∀ 0 ≤ k ≤ n−1, ∃ν k ∈ (x k , x k+1 ) tel que g(x k+1 )−g(x k ) = g ′ (ν k ) ( x k+1 −x k
)
En formant la somme ω donnée par la construction de l’intégrale de Stieltjes,
on peut choisir ξ k = ν k , ∀ 0 ≤ k ≤ n − 1, car la convergence de l’intégrale,
par définition, ne dépend pas du choix des ξ k . On arrive donc au résultat :
n−1
∑
ω = f(ν k )g ′ (ν k ) ( )
x k+1 − x k
i=0
C’est une somme de Riemman pour la fonction f(x)g’(x). En redéfinissant
la subdivision et en prenant la limite, on obtient que
∫ b
a
f(x)dg(x) = lim
λ→0
ω =
∫ b
a
f(x)g ′ (x)dx
Le résultat pour g ∈ BV [a, b] se déduit comme dans la fin de la preuve du
théorème précédent.
Théorème 2.4. Second Théorème d’Helly (sans preuve)
Soient f ∈ C[a, b] et {g n } n∈N ⊂ R [a,b] convergent point par point vers une
fonction g ∈ R [a,b] . Si ∃K > 0 tel que
alors
∫ b
lim
n→∞
a
V b
a (g n ) < K, ∀n ∈ N
f(x)dg n (x) =
∫ b
a
f(x)dg(x)
Théorème 2.5. Soient f, g ∈ R [a,b] .
Soient a < c 1 < c 2 < · · · < c m < b, alors si g est constante sur tous les
sous-intervalles (a, c 1 ), (c 1 , c 2 ), . . . , (c m , b), on a :
où
Preuve :
∫ b
a
f(x)dg(x) = f(a)(g(a + 0) − g(a)) +
m∑
f(c i )(g(c i + 0) − g(c i − 0)) + f(b)(g(b) − g(b − 0))
i=1
Il est facile de voir que
V b
a (g) = |g(a + 0) − g(a)| +
g(x + 0) := lim g(x + µ), µ > 0
µ→0
g(x − 0) := lim g(x + µ), µ < 0
µ→0
n∑ {
|g(ci ) − g(c i − 0)| + |g(c i + 0) − g(c i )| } + |g(b) − g(b − 0)|
i=1

2. L’INTEGRALE DE STIELTJES 11
On constate donc que g ∈ BV [a, b], et par conséquent que g est à variation
bornée sur tout sous-intervalle de [a, b]. Ainsi :
∫ b
m∑
∫ ci+1
(1)
f(x)dg(x) = f(x)dg(x)
a
i=0
où nous avons posé c 0 := a et c m+1 = b. Etudions à présent ∫ c i+1
c i
f(x)dg(x).
En subdivisant l’intervalle [c i , c i+1 ], et en formant la somme ω pour cet
intervalle, on obtient :
ω = f(ξ 0 )(g(c i + 0) − g(c i )) + f(ξ n−1 )(g(c i+1 ) − g(c i+1 − 0))
car les autres termes se compensent. Par conséquent, en passant à la limite,
on obtient
∫ ci+1
c i
f(x)dg(x) = f(c i )(g(c i + 0) − g(c i )) + f(c i+1 )(g(c i+1 ) − g(c i+1 − 0))
Le résultat suit immédiatement en remplaçant terme à terme dans l’équation
(1.1)
Théorème 2.6. Si f ∈ C[a, b] et g ∈ BV [a, b], alors
∫ b
∣ f(x)dg(x)
∣ ≤ ‖f‖ · V a b (g)
a
Preuve :
Soit un n ∈ N et une subdivision quelconque {x 0 , . . . , x n } de [a, b] d’ordre n.
On choisit les ξ k ∈ [x k , x k+1 ] de manière arbitraire. Soit ω la somme dans la
construction de l’intégrale de Stieltjes associée à cette subdivision et à ces
ξ k . On a alors
∣
∣
n−1
∑
‖f‖·n−1
|ω| =
f(ξ
∣ k )(g(x k+1 ) − g(x k ))
∣ ≤ ∑
i=0
Le résultat suit par passage à la limite.
c i
i=0
|g(x k+1 )−g(x k )| ≤ ‖f‖·V b
a (g)
Lemme 2.1. Soit g ∈ BV [a, b] et {f n } n∈N ⊂ C[a, b] qui converge uniformément
vers f, ie ‖f n − f‖ −→ 0. Alors
Preuve :
lim
n→∞
∫ b
a
f n (x)dg(x) =
∫ b
a
f(x)dg(x)
Notons tout d’abord que f ∈ C[a, b] à cause de la convergence uniforme.
On aura alors ∣ ∫ b
∫ b
∣ f n (x)dg(x) − f(x)dg(x)
∣ ≤ ‖f n − f‖ · Va b (g)
a
et on sait que
lim ‖f n − f‖ = 0
n→∞
par la convergence uniforme.
a

12 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
Remarque 2.7. Ce lemme peut être reformulé de la manière suivante :
Si on fixe g ∈ BV [a, b], alors l’application
S g : C[a, b] −→ R : f ↦→
∫ b
a
f(x)dg(x)
est une forme linéaire continue sur (C[a, b], ‖ · ‖), ie S g ∈ C[a, b] ′ et de plus,
on peut noter que S g est Lipschitz de constante V b
a g.
3. Le Théorème de Riesz
Comme expliqué au début du chapitre, nous nous intéressons à identifier
C[a, b] ′ , c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires continues sur C[a, b].
Le théorème suivant, classique en analyse fonctionnelle, nous sera très utile :
Une forme linéaire Φ est continue sur un domaine, si et seulement si elle
est bornée sur ce domaine.
Nous donnons ici à ”borné” la signification suivante :
∃K > 0 tel que |Φ(f)| ≤ K · ‖f‖, ∀f ∈ C[a, b]
Par conséquent, lorsque nous étudierons une forme linéaire sur C[a, b], sa
bornitude sera équivalente à sa continuité.
Le point capital de ce chapitre est le théorème de Frederic Riesz (1880-
1956) qui dit la chose suivante :
Soit Φ ∈ C[a, b] ′ . Alors ∃g ∈ BV [a, b] telle que
Preuve :
Φ(f) =
∫ b
a
f(x) dg(x), ∀f ∈ C[a, b]
Tout d’abord, on remarque qu’on peut restreindre l’étude à l’intervalle [0,1]
sans perte de généralité. En utilisant les notations de Bernstein, on admet
le résultat élémentaire de combinatoire
n∑
Cnx i i (1 − x) n−i = 1
i=1
Ainsi, en posant ɛ i = ±1 (i = 0, 1, . . . , n), alors
∣ n∑
∣∣∣∣
(2)
ɛ i C i
∣
nx i (1 − x) n−i ≤ 1
i=1
On sait, par continuité de Φ, que ∃K > 0 tel que
(3) |Φ(f)| ≤ K · ‖f‖
De ces deux dernières équations, on arrive au résultat :
n∑
(4)
ɛ
∣ i Φ(Cnx i i (1 − x) n−i )
∣ ≤ K
i=1

3. LE THéORèME DE RIESZ 13
On définit par morceaux une fonction g n de la façon suivante :
– g n (0) = 0
– g n (x) = Φ(C 0 nx 0 (1 − x) n−0 ) , x ∈ (0, 1 n )
– g n (x) = Φ(Cnx 0 0 (1 − x) n−0 ) + Φ(Cnx 1 1 (1 − x) n−1 ), x ∈ [ 1 n , 2 n )
. . .
n−1
∑
– g n (x) = Φ(Cnx k i (1 − x) n−i ), x ∈ [ n−1
n , 1)
– g n (1) =
i=0
n∑
Φ(Cnx k i (1 − x) n−i )
i=0
Par l’équation (1.3), on sait que les fonctions g n et leurs variations totales
sont bornées par un seul nombre. Elles sont donc de variation bornée. Par
le premier théorème de Helly, on sait qu’il existe une sous-suite {g ni } i∈N ⊂
{g n } n∈N qui converge vers une fonction g ∈ BV [0, 1].
Soit f ∈ C[0, 1], on sait par le théorème (2.5) que
∫ 1
n∑ ( i
f(x) dg n (x) = f
n)Φ ( Cnx k k (1 − x) n−k)
et en posant
0
B n (x) :=
n∑
i=0
i=0
( i
f C
n)
nx k k (1 − x) n−k
on obtient ∫ 1
f(x)dg n (x) = Φ ( B n (x) )
Par le théorème de Bernstein,
Par linéarité, on sait que
et par conséquent :
0
‖B n − f‖ −→ 0
|Φ ( B n
)
− Φ
(
f
)
| = |Φ
(
Bn − f ) | ≤ K · ‖B n − f‖
Φ ( B n
)
−→ Φ
(
f
)
quand n → ∞
En reformulant ce résultat, on obtient
∫ 1
lim
n→∞
0
f(x) dg n (x) = Φ ( f )
Cependant, par le deuxième théorème de Helly, on sait que
Par conséquent
∫ 1
lim
n→∞
0
f(x) dg n (x) =
Φ ( f ) =
∫ 1
0
∫ 1
0
f(x) dg(x)
f(x) dg(x)

14 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
4. Identification de C[a, b] ′
Grâce aux résultats obtenus dans les paragraphes précédents, nous allons
pouvoir étudier en détail l’espace C[a, b] ′ . Tout d’abord nous pouvons
considérer l’application suivante :
S : BV [a, b] → C[a, b] ′ : g ↦→ S g
où S g (f) := ∫ b
a
f(x)dg(x), ∀f ∈ C[a, b]
Nous savons d’après la remarque (2.7) que l’application S est bien définie,
et, par le théorème de Riesz, qu’elle est surjective. Il est cependant facile de
constater qu’elle n’est pas injective.
Nous introduisons les ensembles suivants :
L := {L ∈ C[a, b] ′ : L(f) ≥ 0 si f ≥ 0}
M := {p : [a, b] → R : p continue à droite, monotone croissante et p(a) = 0}
Nous allons étudier plus précisément ces deux ensembles afin d’arriver à une
décomposition de C[a, b] ′
4.1. L’ensemble L.
Proposition 4.1. Soit L ∈ C[a, b] ∗ telle que f ≥ 0 ⇒ L(f) ≥ 0
Alors L est continue.
Preuve : Soit f ∈ C[a, b] On définit :
– f + := |f|+f
2
– f − := |f|−f
2
On constate clairement que :
– f + , f − ∈ C[a, b]
– f + − f − = f
– f + + f − = |f|
– f + , f − ≥ 0
Ensuite, |L(f)| = |L(f + −f − )| = |L(f + )−L(f − )| ≤ |L(f + )|+|L(f − )| =
L(f + ) + L(f − ) = L(f + + f − ) = L(|f|)
Par conséquent,
|L(f)| ≤ L(|f|)
On sait également que g ≤ h ⇒ L(g) ≤ L(h).
En effet, h − g ≥ 0 ⇒ L(h) − L(g) = L(h − g) ≥ 0.
De plus, on voit facilement que, si f ≠ 0, 0 ≤ |f| ≤ 1, car 0 ≤ |f| ≤ ‖f‖
∣ ∣ ∣
1 ∣∣L(
Par conséquent,
‖f‖ |L(f)| = f ∣∣ ∣∣
‖f‖ ) ≤ L(
f
et donc,
|L(f)| ≤ L(1) · ‖f‖
‖f‖
∣
∣) = L( |f|
‖f‖ ) ≤ L(1)
‖f‖

4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 15
et donc L est continue, car elle est bornée.
De plus, on peut calculer la norme de L qui est définie comme :
‖L‖ := sup { |L(f)| : ‖f‖ = 1 }
On a montré que
‖L‖ ≤ L(1)
Considérons la fonction f ≡ 1. f ∈ C[a, b] et ‖f‖ = 1. Par définition,
‖L‖ ≥ |L(1)| = L(1). Ainsi,
‖L‖ = L(1)
Proposition 4.2. On pose C[a, b] + := {f ∈ C[a, b] : f ≥ 0}
Soit l : C[a, b] + −→ [0, ∞) telle que :
– l(f + g) = l(f) + l(g) additive
– l(αf) = α · l(f) ∀f, g ∈ C[a, b] + , ∀α ≥ 0 homogène
Alors ∃L ∈ C[a, b] ′ telle que L(f) = l(f), ∀f ∈ C[a, b] + , ie L ”prolonge” l.
Preuve :
Soit f ∈ C[a, b]. On définit comme dans la proposition précédente f + et f − .
On pose :
L(f) := l(f + ) − l(f − )
qui est bien définie. Vérifions maintenant que L ∈ C[a, b] ′ :
Additive :
Soient f, g ∈ C[a, b].
On sait alors que (f + g) + − (f + g) − = f + g = (f + − f − ) + (g + − g − ). Par
conséquent, (f + g) + + f − + g − = (f + g) − + f + + g + . En applicant l, on
voit que
et donc
l((f + g) + ) + l(f − ) + l(g − ) = l((f + g) − ) + l(f + ) + l(g + )
L(f+g) = l((f+g) + )−l((f+g) − ) = (l(f + )−l(f − ))+(l(g + )−l(g − )) = L(f)+L(g)
ie
Homogène :
Soient α ∈ R et f ∈ C[a, b].
L(f + g) = L(f) + L(g)
(1) Si α ≥ 0, alors (αf) + = α(f) + et (αf) − = α(f) − . Par conséquent,
L(αf) = l((αf) + ) − l((αf) − ) = l(αf + ) − l(αf − ) = α(l(f + ) −
l(f − )) = α · L(f)
(2) (−f) + = f − et (−f) − = f + . Par conséquent, L(−f) = l((−f) + ) −
l((−f) − ) = l(f − ) − l(f + ) = −L(f)
(3) Si α < 0, alors −α > 0 et donc L(αf) = L(−(−α)f) = −L((−α)f) =
−(−α)L(f) = α · L(f)

16 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
Par conséquent,
L(αf) = α · L(f), ∀α ∈ R, ∀f ∈ C[a, b]
On voit donc que L ∈ C[a, b] ∗ . Reste à prouver la continuité. On utilise
pour cela la proposition précédente :
Soit f ∈ C[a, b] + , alors f + = f et f − = 0. Or, l(0) = 0 (clairement),
ainsi, L(f) = l(f + ) − l(f − ) = l(f) ≥ 0, car f ≥ 0. Ainsi, L est continue, ie
L ∈ C[a, b] ′ .
Proposition 4.3. Soit L ∈ C[a, b] ′ . On appelle valeur absolue de L
l’ application |L| définie par :
|L| : C[a, b] + −→ R
|L| (f) := sup { |L(g)| : |g| ≤ f, g ∈ C[a, b] }
Alors |L| est additive et homogène.
Preuve :
On a tout d’abord besoin de prouver un petit lemme intermédiaire :
Lemme 4.1. Soient x, y ∈ R, alors ∃ɛ ∈ {−1, 1} tel que |x+ɛ·y| = |x|+|y|
Preuve :
Il faut distinguer tous les cas possibles :
– si x, y ≥ 0, alors |x| + |y| = x + y = |x + 1 · y|
– si x ≥ 0 et y < 0, alors |x| + |y| = x + (−y) = |x + (−1) · y|
} {{ }
≥ 0
– si x < 0 et y ≥ 0, alors |x| + |y| = −x + y = − (x − y) = |x − y| =
} {{ }
≤ 0
|x + (−1) · y|
– si x, y < 0, alors |x| + |y| = −x − y = − (x + y) = |x + 1 · y|
} {{ }
≥ 0
On revient à notre proposition. Remarquons tout d’abord que notre
définition est bien posée. En effet, l’ensemble {g ∈ C[a, b] : |g| ≤ f} est
borné, car f est continue sur l’intervalle [a, b] et donc bornée. Par conséquent,
l’ensemble { |L(g)| : |g| ≤ f, g ∈ C[a, b] } est borné par continuité de L. Son
sup existe donc et la définition est bien posée.
Remarque 4.1. Si f ≤ g, alors |L| (f) ≤ |L| (g), car
{
|L(u)| : |u| ≤ f, u ∈ C[a, b]
}
⊂
{
|L(v)| : |v| ≤ f, v ∈ C[a, b]
}
Par conséquent, comme |L| (0) = 0, f ≥ 0 =⇒ |L| (f) ≥ 0,
Homogénéité :
Soit α > 0 et f ∈ C[a, b], alors :
|L| (αf) := sup { |L(g)| : |g| ≤ αf, g ∈ C[a, b] } =

4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 17
sup { |L(g)| : 1 α |g| ≤ f, g ∈ C[a, b]} = sup { ∣ |L(g)| :
1 ∣∣∣
∣α g ≤ f, g ∈ C[a, b] } =
sup { ∣ α
∣ ∣ ∣
∣∣ ∣∣∣
∣L(
α g) 1 ∣∣∣
:
α g ≤ f, g ∈ C[a, b] } =
sup { ∣ g
∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∣αL(
α ) g
: ∣ ≤ f, g ∈ C[a, b] } = sup { |α| |L(h)| : |h| ≤ f, h ∈ C[a, b] } =
α
α sup { |L(h)| : |h| ≤ f, h ∈ C[a, b] } = α |L| (f)
Ensuite :
|L| (0 · f) = sup { |L(g)| : |g| ≤ 0, g ∈ C[a, b] } =
car L est linéaire.
Par conséquent,
Additivité :
sup { |L(0)|} = |L(0)| = 0 = 0 · |L| (f)
|L| (αf) = α · |L| (f), ∀α ≥ 0, ∀f ∈ C[a, b]
Soient f 1 , f 2 ∈ C[a, b] + et g 1 , g 2 ∈ C[a, b] telle que |g 1 | ≤ f 1 et |g 2 | ≤ f 2 .
Alors pour ɛ ∈ {−1, 1}, |g 1 + ɛ · g 2 | ≤ |g 1 | + |g 2 | ≤ f 1 + f 2 Ainsi,
|L(g 1 ) + ɛ · L(g 2 )| = |L(g 1 + ɛ · g 2 )| ≤ |L| (f 1 + f 2 )
Cependant, d’après le lemme 4.1, ∃ɛ ∈ {−1, 1} tel que
|L(g 1 )| + |L(g 2 )| = |L(g 1 ) + ɛ · L(g 2 )|
Ainsi,
|L(g 1 )| + |L(g 2 )| ≤ |L| (f 1 + f 2 )
Comme on a pris |g 1 | ≤ f 1 et |g 2 | ≤ f 2 quelconques, on peut passer au sup
ce qui nous donne le résultat suivant :
|L| (f 1 ) + |L| (f 2 ) ≤ |L| (f 1 + f 2 )
Ensuite, soit g ∈ C[a, b] telle que g ≤ f 1 + f 2 . On définit ∀x ∈ [a, b] :
{
g(x)
f i (x)
g i (x) :=
f 1 (x)+f 2 (x)
si f 1 (x) + f 2 (x) ≠ 0
i = 1, 2
0 sinon
On observe que f 1 (x) + f 2 (x) = 0 ⇒ g(x) = 0 et par conséquent,
Ainsi,
et
Par conséquent :
|g i (x)| ≤ |g(x)|, ∀x ∈ [a, b], i = 1, 2
g i ∈ C[a, b], i = 1, 2
∣ |g i | ≤
∣ g f i ∣∣∣
≤ |g| · |f i|
f 1 + f 2 |f 1 + f 2 | ≤ |f i| = f i , i = 1, 2
g 1 + g 2 = g
|L(g)| = |L(g 1 + g 2 )| = |L(g 1 ) + L(g 2 )| ≤ |L(g 1 )|+|L(g 2 )| ≤ |L| (f 1 )+|L| (f 2 )

18 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
En passant au sup, on trouve que
|L| (f 1 + f 2 ) ≤ |L| (f 1 ) + |L| (f 2 )
On arrive par conséquent au résultat final :
|L| (f 1 + f 2 ) = |L| (f 1 ) + |L| (f 2 ), ∀f 1 , f 2 ∈ C[a, b] +
Théorème 4.2. Soit L ∈ C[a, b] ′ , alors ∃L 1 , L 2 ∈ C[a, b] ′ telles que :
– L = L 1 − L 2
– ∀f ∈ C[a, b] + , L i (f) ≥ 0, i = 1, 2
Preuve :
On reprend l’application |L| : C[a, b] + −→ R définie à la proposition 4.3.
Par la proposition 4.2, on peut la prolonger en une forme linéaire continue
|L| ˆ définie sur C[a, b]. On pose alors
L 1 : C[a, b] −→ R : f ↦→ 1 2 · ( |L|(f) ˆ
)
+ L(f)
Il est clair que L 1 , L 2
d’éléments de C[a, b] ′ .
L 2 : C[a, b] −→ R : f ↦→ 1 2 · ( ˆ |L|(f) − L(f)
)
∈ C[a, b] ′ , car ce sont des combinaisons linéaires
De plus, on remarque que L = L 1 − L 2 Finalement, soit f ∈ C[a, b] + .
On sait donc que |L|(f) ˆ = |L| (f). De plus, comme |f| = f ≤ f, alors
c’est-à-dire
Par conséquent
|L(f)| ≤ |L| (f)
− |L| (f) ≤ L(f) ≤ |L| (f)
L 1 (f) = 1 2 · ( |L|(f) ˆ
) 1
+ L(f) =
2 · ( |L| (f) + L(f) ) ≥ 0
et
L 2 (f) = 1 2 · ( |L|(f) ˆ
) 1
− L(f) =
2 · ( |L| (f) − L(f) ) ≥ 0
∀f ∈ C[a, b]
Théorème 4.3.
C[a, b] ′ = L − L := {f − g : f, g ∈ L}
Preuve :
Nous allons démontrer la double inclusion :
⊂ :
Soit L ∈ C[a, b] ′ Alors, par le théorème 4.3, ∃L 1 , L 2 ∈ L telles que
L = L 1 − L 2 ∈ L − L
⊃ :
Soient L 1 , L 2 ∈ L Alors L 1 , L 2 ∈ C[a, b] ′ et donc L 1 − L 2 ∈ C[a, b] ′

4.2. L’ensemble M.
Définition 4.4. On définit l’ensemble
4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 19
BV [a, b] 0 := {f ∈ BV [a, b] : f continue à droite et f(a) = 0}
Proposition 4.4.
BV [a, b] 0 = M − M := {p − q : p, q ∈ M}
On procède de nouveau par double inclusion :
⊂ :
Soit f ∈ BV [a, b] 0 , d’après le théorème de Jordan, ∃p, q ∈ R [a,b] continues à
droites et monotones croissantes. On remarque que p(a) − q(a) = f(a) = 0,
par conséquent, p(a) = q(a) On pose alors p ′ := p − p(a) et q ′ := q − q(a).
Alors p ′ , q ′ ∈ M et donc f = p ′ − q ′ ∈ M − M
⊃ :
Soient p, q ∈ M, alors p − q est continue à droite et est à variation bornée,
car toute fonction monotone croissante est à variation bornée (prop. 1.2)
et BV [a, b] est un R-espace vectoriel (prop. 1.1). Finalement, (p − q)(a) :=
p(a) − q(a) = 0 ainsi, p − q ∈ BV [a, b] 0

20 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
4.3. Bijection entre L et M.
Proposition 4.5. Soit p ∈ R [a,b] monotone croissante. On définit
p ∗ : [a, b] −→ R : x ↦→ lim
y→x +
p(y) = inf{p(y) : y > x}
Alors p ∗ est une fonction monotone croissante, continue à droite, et qui est
égale à p en tout point de continuité à droite de p.
Preuve :
Remarquons d’abord que p ∗ est bien définie, car p est monotone croissante.
Ensuite, soit ˜x ∈ [a, b] un point de continuité à droite de p. Alors
p ∗ (˜x) = lim y→˜x+ = p(˜x) par définition.
Ensuite soient x, y ∈ [a, b] tels que x < y. Alors
p ∗ (x) = inf{p(w) : w > x} ≤ p(y)
De plus, soit z > y, alors p(z) ≥ p(y) et donc, en passant à l’inf, p ∗ (y) ≥ p(y),
par conséquent p ∗ (x) ≤ p ∗ (y). Ainsi p ∗ est monotone croissante.
Finalement, p ∗ est continue à droite par définition.
Proposition 4.6. Soient p et p ∗ comme dans la proposition précédente.
Alors
Preuve :
∫ b
a
f(x) dp(x) =
∫ b
a
f(x) dp ∗ (x), ∀f ∈ C[a, b]
Soit ɛ > 0 et f ∈ C[a, b]. On veut montrer que
∫ b
∫ b
∣ f(x) dp(x) − f(x) dp ∗ (x)
∣ < ɛ
a
Tout d’abord, pour cet ɛ > 0, ∃δ > 0 tel que pour toute subdivision
d’ordre n ∈ N {x 0 , . . . , x n } de [a, b] avec
λ := max{x k+1 − x k | 0 ≤ k ≤ n − 1} < δ
et
ξ k ∈ [x k , x k+1 ], ∀ 0 ≤ k ≤ n − 1 arbitraires
on a, par le théorème de Stieltjes :
∫ b
n−1
∑
f(x) dp(x) − f(ξ
∣
k )(p(x k+1 ) − p(x k ))
a
∣ < ɛ 3
k=0
∫ b
n−1
∑
f(x) dp ∗ (x) − f(ξ
∣
k )(p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ))
∣ < ɛ 3
a
k=0
Cependant, par définition de p ∗ , ∀ i ∈ {1, . . . , n − 1}, ∃y i > x i tel que :
p(y i ) − p(x i ) <
a
ɛ
6n · (1 + max{f(ξ k ) : 1 ≤ k ≤ n})

4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 21
et tel que le pas de la subdivision {y o , y 1 , . . . , y n−1 , y n } soit < δ, où on a
posé y 0 := a et y n := b
Ainsi,
∫ b
∫ b
∣ f(x)dp(x) − f(x)dp ∗ (x)
∣ =
a
a
∫ b
n−1
∑
n−1
∑
∫ b
f(x)dp(x) + f(ξ
∣
k )(p(y k+1 ) − p(y k )) − f(ξ k )(p(y k+1 ) − p(y k )) − f(x)dp ∗ (x)
a
k=0
k=0
a
∣ ≤
∫ ∣
b
n−1
∑
∣∣∣∣ ∫ b
n−1
f(x)dp(x) − f(ξ
∣
k )(p(y k+1 ) − p(y k ))
∣ + ∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ k )(p(y k+1 ) − p(y k ))
∣
a
k=0
Comme le pas de {y 0 , . . . , y n } est < δ, on sait que
∫ b
n−1
∑
f(x)dp(x) − f(ξ
∣
k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
< ɛ 3
De plus,
Or
a
∣ ∣∣∣∣ ∫ b
a
k=0
n−1
∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
≤
k=0
n−1
a
k=0
∫ b
∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ
∣
k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) )∣ ∣ ∣∣∣
+
a
k=0
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) ) n−1
∑
− f(ξ k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
≤
k=0
∣ ∣∣∣∣ ∫ b
a
k=0
n−1
∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) )∣ ∣ ∣∣∣
< ɛ 3
k=0
Par conséquent,
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) ) n−1
∑
− f(ξ k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
=
k=0
k=0
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) − p(y k+1 ) + p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
=
k=0
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( (p ∗ (x k+1 ) − p(y k+1 )) − (p(y k ) − p ∗ (x k )) )∣ ∣ ∣∣∣
≤
k=0
n−1
∑
|f(ξ k )| { |p ∗ (x k+1 ) − p(y k+1 )| + |p(y k ) − p ∗ (x k )| } ≤
k=0
n−1
∑ {
ɛ
|f(ξ k )|
6n · (1 + max{f(ξ k ) : 1 ≤ k ≤ n}) +
ɛ
}
≤ ɛ 6n · (1 + max{f(ξ k ) : 1 ≤ k ≤ n}) 3
k=0
Par conséquent
∫ b
∣ f(x) dp(x) −
a
∫ b
a
f(x) dp ∗ (x)
∣ < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ

22 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
et donc
∫ b
a
f(x) dp(x) =
∫ b
Théorème 4.5. Il existe une bijection
a
Φ : M −→ L
⇒ :
Soit p ∈ M. On peut alors construire
S p : C[a, b] −→ R : f ↦→
f(x) dp ∗ (x)
∫ b
a
f(x)dp(x)
car p est monotone croissante. On sait que S p ∈ C[a, b] ′ .
Soit f ∈ C[a, b] + et {x 0 , . . . , x n } une subdivision d’ordre n ∈ N de [a, b].
Soit ξ k ∈ [x k , x k+1 ], ∀0 ≤ k ≤ n − 1 arbitraires.
On sait que, lorsque
λ := max{x k+1 − x k | 0 ≤ k ≤ n − 1} −→ 0
n−1
∑
f(ξ k ) ( g(x k+1 ) − g(x k ) ) −→
k=0
∫ b
a
f(x)dp(x)
Or f(ξ k ) ≥ 0, ∀0 ≤ k ≤ n − 1, car f ∈ C[a, b] +
et g(x k+1 ) − g(x k ) ≥ 0, ∀0 ≤ k ≤ n − 1, car g est monotone croissante.
Ainsi, en passant à la limite, S p (f) = ∫ b
a
f(x)dp(x) ≥ 0.
Par conséquent S p ∈ L
On définit alors l’application
⇐ :
S : M −→ L : p ↦→ S p
Soit L ∈ L. Par le théorème de Riesz, on sait que ∃q ∈ BV [a, b] telle
que L = S q . Soit f ∈ C[a, b] + on sait donc que S q (f) = L(f) ≥ 0. Cependant,
en examinant la construction de l’intégrale de Stieljes, on voit que
f ≥ 0 implique forcément que q(x k+1 ) − q(x k ) ≥ 0 pour toute subdivision
{x 0 , . . . , x n } de [a, b] suffisamment fine. Ainsi, on voit qu’il est nécessaire que
q(y)−q(x) ≥ 0, ∀x ≤ y, ce qui signifie en fait que q est monotone croissante.
On considère ensuite la fonction q ∗ définie à la prop. 4.5. On sait qu’elle
est monotone croissante et continue à droite. De plus, par la prop. 4.6, on
sait que S q = S q ∗.
Finalement, on définit r := q ∗ − q ∗ (a). Alors on sait que r ∈ M et que
S r = S q ∗ = L. On pose alors
R : L −→ M : L ↦→ r
Reste maintenant à voir si R est bien définie. En effet, on se base sur
le théorème de Riesz qui assure l’existence de la fonction génératrice de

4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 23
l’intégrale de Stieljes, mais rien ne nous garanti que le choix de cette fonction
est bien défini.
Supposons alors que ∃r 1 , r 2 ∈ M telles que S r1 = S r2 . Si nous montrons
que r 1 = r 2 , nous saurons alors que l’application R est bien définie.
Soient x, y ∈ [a, b], x ≤ y. On pose
µ r1
(
(x, y]
)
:= r1 (y) − r 1 (x)
µ r2
(
(x, y]
)
:= r2 (y) − r 2 (x)
qui définissent deux mesures finies sur la tribu des boréliens de [a, b]. On admet
à ce stade la construction de l’intégrale de Lebesgue-Stieltjes, expliquée
dans [1] et [3] qui généralise celle de Stieljes, car elle permet d’intégrer une
plus grande classe de fonctions, comme par exemple les fonctions étagées
(c’est-à-dire des fonctions mesurables admettant un nombre fini de valeurs).
Soient alors c, d ∈ [a, b], c ≤ d. On considère la fonction étagée :
{
1 , si x ∈ [c, d]
χ |[c,d] (x) :=
0 , si x /∈ [c, d]
Ainsi,
∫ d
c
dr 1 (x) = S r1 (χ |[c,d] ) = S r2 (χ |[c,d] ) =
∫ d
c
dr 2 (x)
cependant, on sait, d’après la construction de l’intégrale de Stieltjes, que
et que
∫ d
c
∫ d
Par conséquent, on arrive au résultat :
c
dr 1 (x) = r 1 (d) − r 1 (c)
dr 2 (x) = r 2 (d) − r 2 (c)
r 1 (d) − r 1 (c) = r 2 (d) − r 2 (c), ∀c, d ∈ [a, b] c ≤ d
et donc
(r 1 − r 2 )(c) = (r 1 − r 2 )(d), ∀c, d ∈ [a, b] c ≤ d
par conséquent,
r 1 − r 2 = cte
Or
(r 1 − r 2 )(a) = r 1 (a) − r 2 (a) = 0
ainsi,
r 1 = r 2
Par conséquent, on sait que
R ◦ S = id M
S ◦ R = id L
M et L sont donc bien en bijection.

24 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
4.4. Bijection entre C[a, b] ′ et BV [a, b] 0 .
Remarque 4.6. On rappelle les résultats obtenus :
– BV [a, b] 0 = M − M
– C[a, b] ′ = L − L
où
BV [a, b] 0 := {f ∈ BV [a, b] : f continue à droite et f(a) = 0}
L := {L ∈ C[a, b] ′ : L(f) ≥ 0 si f ≥ 0}
M := {p : [a, b] → R : p continue à droite, monotone croissante et p(a) = 0}
Théorème 4.7. Il existe une bijection
Preuve :
S : BV [a, b] 0 −→ C[a, b] ′
L’application
S : BV [a, b] 0 −→ C[a, b] ′ : p ↦→ S p
sera une bijection par les propriétés énoncées dans la remarque précédente et
le théorème (4.5). De plus, on sait par la proposition 2.1 que S est linéaire.
Par conséquent, il s’agit d’un isomorphisme canonique.
Remarque 4.8. On a donc la représentation suivante :
Le dual topologique des fonctions continues sur un intervalle compact I
est canoniquement isomorphe avec le R-espace vectoriel des fonctions à variation
bornée, continues à droite, s’annulant sur la borne inférieure de I.
5. Conclusion
Il est intéressant de remarquer que notre étude a porté sur un espace
vectoriel avec lequel nous sommes habitués à travailler, mais dont le dual
topologique se révèle être beaucoup moins courant.
Je tiens à remercier le Prof. Antoine Derighetti pour son soutien durant
tout ce travail.

Bibliographie
[1] I. P. Natanson Theory of functions of a real variable vol 1, Frederick
Ungar Publishing, New York, 1955
[2] H. L. Royden Real analysis, second edition The Macmilan Company,
Londres, 1970
[3] N. Bourbaki Livre VI, intégration Hermann, Paris, 1963
[4] Antoine Derighetti Cours Séries Trigonométriques I, EPFL, 2004-
2005
[5] Marc Troyanov Cours Mesure et Intégration, EPFL, 2004-2005
25