Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

22 LE DUAL TOPOLOGIQUE DES FONCTIONS CONTINUES
et donc
∫ b
a
f(x) dp(x) =
∫ b
Théorème 4.5. Il existe une bijection
a
Φ : M −→ L
⇒ :
Soit p ∈ M. On peut alors construire
S p : C[a, b] −→ R : f ↦→
f(x) dp ∗ (x)
∫ b
a
f(x)dp(x)
car p est monotone croissante. On sait que S p ∈ C[a, b] ′ .
Soit f ∈ C[a, b] + et {x 0 , . . . , x n } une subdivision d’ordre n ∈ N de [a, b].
Soit ξ k ∈ [x k , x k+1 ], ∀0 ≤ k ≤ n − 1 arbitraires.
On sait que, lorsque
λ := max{x k+1 − x k | 0 ≤ k ≤ n − 1} −→ 0
n−1
∑
f(ξ k ) ( g(x k+1 ) − g(x k ) ) −→
k=0
∫ b
a
f(x)dp(x)
Or f(ξ k ) ≥ 0, ∀0 ≤ k ≤ n − 1, car f ∈ C[a, b] +
et g(x k+1 ) − g(x k ) ≥ 0, ∀0 ≤ k ≤ n − 1, car g est monotone croissante.
Ainsi, en passant à la limite, S p (f) = ∫ b
a
f(x)dp(x) ≥ 0.
Par conséquent S p ∈ L
On définit alors l’application
⇐ :
S : M −→ L : p ↦→ S p
Soit L ∈ L. Par le théorème de Riesz, on sait que ∃q ∈ BV [a, b] telle
que L = S q . Soit f ∈ C[a, b] + on sait donc que S q (f) = L(f) ≥ 0. Cependant,
en examinant la construction de l’intégrale de Stieljes, on voit que
f ≥ 0 implique forcément que q(x k+1 ) − q(x k ) ≥ 0 pour toute subdivision
{x 0 , . . . , x n } de [a, b] suffisamment fine. Ainsi, on voit qu’il est nécessaire que
q(y)−q(x) ≥ 0, ∀x ≤ y, ce qui signifie en fait que q est monotone croissante.
On considère ensuite la fonction q ∗ définie à la prop. 4.5. On sait qu’elle
est monotone croissante et continue à droite. De plus, par la prop. 4.6, on
sait que S q = S q ∗.
Finalement, on définit r := q ∗ − q ∗ (a). Alors on sait que r ∈ M et que
S r = S q ∗ = L. On pose alors
R : L −→ M : L ↦→ r
Reste maintenant à voir si R est bien définie. En effet, on se base sur
le théorème de Riesz qui assure l’existence de la fonction génératrice de