Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

4.2. L’ensemble M.
Définition 4.4. On définit l’ensemble
4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 19
BV [a, b] 0 := {f ∈ BV [a, b] : f continue à droite et f(a) = 0}
Proposition 4.4.
BV [a, b] 0 = M − M := {p − q : p, q ∈ M}
On procède de nouveau par double inclusion :
⊂ :
Soit f ∈ BV [a, b] 0 , d’après le théorème de Jordan, ∃p, q ∈ R [a,b] continues à
droites et monotones croissantes. On remarque que p(a) − q(a) = f(a) = 0,
par conséquent, p(a) = q(a) On pose alors p ′ := p − p(a) et q ′ := q − q(a).
Alors p ′ , q ′ ∈ M et donc f = p ′ − q ′ ∈ M − M
⊃ :
Soient p, q ∈ M, alors p − q est continue à droite et est à variation bornée,
car toute fonction monotone croissante est à variation bornée (prop. 1.2)
et BV [a, b] est un R-espace vectoriel (prop. 1.1). Finalement, (p − q)(a) :=
p(a) − q(a) = 0 ainsi, p − q ∈ BV [a, b] 0