Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

2. L’INTEGRALE DE STIELTJES 11
On constate donc que g ∈ BV [a, b], et par conséquent que g est à variation
bornée sur tout sous-intervalle de [a, b]. Ainsi :
∫ b
m∑
∫ ci+1
(1)
f(x)dg(x) = f(x)dg(x)
a
i=0
où nous avons posé c 0 := a et c m+1 = b. Etudions à présent ∫ c i+1
c i
f(x)dg(x).
En subdivisant l’intervalle [c i , c i+1 ], et en formant la somme ω pour cet
intervalle, on obtient :
ω = f(ξ 0 )(g(c i + 0) − g(c i )) + f(ξ n−1 )(g(c i+1 ) − g(c i+1 − 0))
car les autres termes se compensent. Par conséquent, en passant à la limite,
on obtient
∫ ci+1
c i
f(x)dg(x) = f(c i )(g(c i + 0) − g(c i )) + f(c i+1 )(g(c i+1 ) − g(c i+1 − 0))
Le résultat suit immédiatement en remplaçant terme à terme dans l’équation
(1.1)
Théorème 2.6. Si f ∈ C[a, b] et g ∈ BV [a, b], alors
∫ b
∣ f(x)dg(x)
∣ ≤ ‖f‖ · V a b (g)
a
Preuve :
Soit un n ∈ N et une subdivision quelconque {x 0 , . . . , x n } de [a, b] d’ordre n.
On choisit les ξ k ∈ [x k , x k+1 ] de manière arbitraire. Soit ω la somme dans la
construction de l’intégrale de Stieltjes associée à cette subdivision et à ces
ξ k . On a alors
∣
∣
n−1
∑
‖f‖·n−1
|ω| =
f(ξ
∣ k )(g(x k+1 ) − g(x k ))
∣ ≤ ∑
i=0
Le résultat suit par passage à la limite.
c i
i=0
|g(x k+1 )−g(x k )| ≤ ‖f‖·V b
a (g)
Lemme 2.1. Soit g ∈ BV [a, b] et {f n } n∈N ⊂ C[a, b] qui converge uniformément
vers f, ie ‖f n − f‖ −→ 0. Alors
Preuve :
lim
n→∞
∫ b
a
f n (x)dg(x) =
∫ b
a
f(x)dg(x)
Notons tout d’abord que f ∈ C[a, b] à cause de la convergence uniforme.
On aura alors ∣ ∫ b
∫ b
∣ f n (x)dg(x) − f(x)dg(x)
∣ ≤ ‖f n − f‖ · Va b (g)
a
et on sait que
lim ‖f n − f‖ = 0
n→∞
par la convergence uniforme.
a