Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 21
et tel que le pas de la subdivision {y o , y 1 , . . . , y n−1 , y n } soit < δ, où on a
posé y 0 := a et y n := b
Ainsi,
∫ b
∫ b
∣ f(x)dp(x) − f(x)dp ∗ (x)
∣ =
a
a
∫ b
n−1
∑
n−1
∑
∫ b
f(x)dp(x) + f(ξ
∣
k )(p(y k+1 ) − p(y k )) − f(ξ k )(p(y k+1 ) − p(y k )) − f(x)dp ∗ (x)
a
k=0
k=0
a
∣ ≤
∫ ∣
b
n−1
∑
∣∣∣∣ ∫ b
n−1
f(x)dp(x) − f(ξ
∣
k )(p(y k+1 ) − p(y k ))
∣ + ∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ k )(p(y k+1 ) − p(y k ))
∣
a
k=0
Comme le pas de {y 0 , . . . , y n } est < δ, on sait que
∫ b
n−1
∑
f(x)dp(x) − f(ξ
∣
k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
< ɛ 3
De plus,
Or
a
∣ ∣∣∣∣ ∫ b
a
k=0
n−1
∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
≤
k=0
n−1
a
k=0
∫ b
∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ
∣
k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) )∣ ∣ ∣∣∣
+
a
k=0
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) ) n−1
∑
− f(ξ k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
≤
k=0
∣ ∣∣∣∣ ∫ b
a
k=0
n−1
∑
f(x)dp ∗ (x) − f(ξ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) )∣ ∣ ∣∣∣
< ɛ 3
k=0
Par conséquent,
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) ) n−1
∑
− f(ξ k ) ( p(y k+1 ) − p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
=
k=0
k=0
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( p ∗ (x k+1 ) − p ∗ (x k ) − p(y k+1 ) + p(y k ) )∣ ∣ ∣∣∣
=
k=0
n−1
∑
f(ξ
∣ k ) ( (p ∗ (x k+1 ) − p(y k+1 )) − (p(y k ) − p ∗ (x k )) )∣ ∣ ∣∣∣
≤
k=0
n−1
∑
|f(ξ k )| { |p ∗ (x k+1 ) − p(y k+1 )| + |p(y k ) − p ∗ (x k )| } ≤
k=0
n−1
∑ {
ɛ
|f(ξ k )|
6n · (1 + max{f(ξ k ) : 1 ≤ k ≤ n}) +
ɛ
}
≤ ɛ 6n · (1 + max{f(ξ k ) : 1 ≤ k ≤ n}) 3
k=0
Par conséquent
∫ b
∣ f(x) dp(x) −
a
∫ b
a
f(x) dp ∗ (x)
∣ < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ