Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 23
l’intégrale de Stieljes, mais rien ne nous garanti que le choix de cette fonction
est bien défini.
Supposons alors que ∃r 1 , r 2 ∈ M telles que S r1 = S r2 . Si nous montrons
que r 1 = r 2 , nous saurons alors que l’application R est bien définie.
Soient x, y ∈ [a, b], x ≤ y. On pose
µ r1
(
(x, y]
)
:= r1 (y) − r 1 (x)
µ r2
(
(x, y]
)
:= r2 (y) − r 2 (x)
qui définissent deux mesures finies sur la tribu des boréliens de [a, b]. On admet
à ce stade la construction de l’intégrale de Lebesgue-Stieltjes, expliquée
dans [1] et [3] qui généralise celle de Stieljes, car elle permet d’intégrer une
plus grande classe de fonctions, comme par exemple les fonctions étagées
(c’est-à-dire des fonctions mesurables admettant un nombre fini de valeurs).
Soient alors c, d ∈ [a, b], c ≤ d. On considère la fonction étagée :
{
1 , si x ∈ [c, d]
χ |[c,d] (x) :=
0 , si x /∈ [c, d]
Ainsi,
∫ d
c
dr 1 (x) = S r1 (χ |[c,d] ) = S r2 (χ |[c,d] ) =
∫ d
c
dr 2 (x)
cependant, on sait, d’après la construction de l’intégrale de Stieltjes, que
et que
∫ d
c
∫ d
Par conséquent, on arrive au résultat :
c
dr 1 (x) = r 1 (d) − r 1 (c)
dr 2 (x) = r 2 (d) − r 2 (c)
r 1 (d) − r 1 (c) = r 2 (d) − r 2 (c), ∀c, d ∈ [a, b] c ≤ d
et donc
(r 1 − r 2 )(c) = (r 1 − r 2 )(d), ∀c, d ∈ [a, b] c ≤ d
par conséquent,
r 1 − r 2 = cte
Or
(r 1 − r 2 )(a) = r 1 (a) − r 2 (a) = 0
ainsi,
r 1 = r 2
Par conséquent, on sait que
R ◦ S = id M
S ◦ R = id L
M et L sont donc bien en bijection.