Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

et donc
1. NOTIONS PRELIMINAIRES 7
n∑
|f(x j ) − f(x j−1 )| ≤ K
j=1
Remarque 1.11. Nous énonçons ci-dessous quelques résultats utilisés
dans certaines démonstrations au chapitre suivant :
Proposition 1.4. Soit f ∈ R [a,c]
– Si f ∈ BV [a, c] et a < b < c, alors : V c
a (f) = V b
a (f) + V c
b (f)
– Si f |[a,b] ∈ BV [a, b] et f |[b,c] ∈ BV [b, c], alors f ∈ BV [a, c]
Alors :
Proposition 1.5. Soit f ∈ BV [a, b]. On définit :
π(a) = 0 et π(x) := V x
a (f), ∀x ∈ (a.b]
– π ≥ 0 sur [a, b]
– π est croissante sur [a, b]
– Soit c ∈ [a, b], alors f est continue en c ⇔ π est continue en c
Théorème 1.12. Jordan
Toute fonction continue à variation bornée peut s’écrire comme différence
de deux fonctions continues monotones croissantes.
Théorème 1.13. Premier Théorème d’Helly
Soit une collection quelconque de fonctions F ⊂ R [a,b] .
Si ∃K > 0 tel que
|f| ≤ K et V b
a (f) ≤ K , ∀f ∈ F
alors il existe une suite {f n } n∈N ⊂ F qui converge en chaque point de [a, b]
vers une fonction ϕ ∈ BV [a, b].
Définition 1.14. Soit f ∈ R [0,1] . On appelle polynome de Bernstein de
degré n de la fonction f la fonction :
n∑ ( i
B n (x) := f C
n)
nx i i (1 − x) n−i , ∀x ∈ [0, 1]
où
i=0
C i n :=
n!
(n − i)! i! , i = 0, . . . , n
Théorème 1.15. Bernstein
Si f ∈ C[0, 1], alors ‖B n − f‖ −→ 0 quand n → ∞