Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

4. IDENTIFICATION DE C[a, b] ′ 17
sup { |L(g)| : 1 α |g| ≤ f, g ∈ C[a, b]} = sup { ∣ |L(g)| :
1 ∣∣∣
∣α g ≤ f, g ∈ C[a, b] } =
sup { ∣ α
∣ ∣ ∣
∣∣ ∣∣∣
∣L(
α g) 1 ∣∣∣
:
α g ≤ f, g ∈ C[a, b] } =
sup { ∣ g
∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∣αL(
α ) g
: ∣ ≤ f, g ∈ C[a, b] } = sup { |α| |L(h)| : |h| ≤ f, h ∈ C[a, b] } =
α
α sup { |L(h)| : |h| ≤ f, h ∈ C[a, b] } = α |L| (f)
Ensuite :
|L| (0 · f) = sup { |L(g)| : |g| ≤ 0, g ∈ C[a, b] } =
car L est linéaire.
Par conséquent,
Additivité :
sup { |L(0)|} = |L(0)| = 0 = 0 · |L| (f)
|L| (αf) = α · |L| (f), ∀α ≥ 0, ∀f ∈ C[a, b]
Soient f 1 , f 2 ∈ C[a, b] + et g 1 , g 2 ∈ C[a, b] telle que |g 1 | ≤ f 1 et |g 2 | ≤ f 2 .
Alors pour ɛ ∈ {−1, 1}, |g 1 + ɛ · g 2 | ≤ |g 1 | + |g 2 | ≤ f 1 + f 2 Ainsi,
|L(g 1 ) + ɛ · L(g 2 )| = |L(g 1 + ɛ · g 2 )| ≤ |L| (f 1 + f 2 )
Cependant, d’après le lemme 4.1, ∃ɛ ∈ {−1, 1} tel que
|L(g 1 )| + |L(g 2 )| = |L(g 1 ) + ɛ · L(g 2 )|
Ainsi,
|L(g 1 )| + |L(g 2 )| ≤ |L| (f 1 + f 2 )
Comme on a pris |g 1 | ≤ f 1 et |g 2 | ≤ f 2 quelconques, on peut passer au sup
ce qui nous donne le résultat suivant :
|L| (f 1 ) + |L| (f 2 ) ≤ |L| (f 1 + f 2 )
Ensuite, soit g ∈ C[a, b] telle que g ≤ f 1 + f 2 . On définit ∀x ∈ [a, b] :
{
g(x)
f i (x)
g i (x) :=
f 1 (x)+f 2 (x)
si f 1 (x) + f 2 (x) ≠ 0
i = 1, 2
0 sinon
On observe que f 1 (x) + f 2 (x) = 0 ⇒ g(x) = 0 et par conséquent,
Ainsi,
et
Par conséquent :
|g i (x)| ≤ |g(x)|, ∀x ∈ [a, b], i = 1, 2
g i ∈ C[a, b], i = 1, 2
∣ |g i | ≤
∣ g f i ∣∣∣
≤ |g| · |f i|
f 1 + f 2 |f 1 + f 2 | ≤ |f i| = f i , i = 1, 2
g 1 + g 2 = g
|L(g)| = |L(g 1 + g 2 )| = |L(g 1 ) + L(g 2 )| ≤ |L(g 1 )|+|L(g 2 )| ≤ |L| (f 1 )+|L| (f 2 )