Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

2. L’INTEGRALE DE STIELTJES 9
Ces nombres existent, car f ∈ C[a, b]. on forme les sommes inférieures de f
et (respectivement) supérieures de f associées à cette subdivision :
n−1
∑ (
s = m k g(xk+1 ) − g(x k ) ) n−1
∑ (
et S = M k g(xk+1 ) − g(x k ) )
k=0
Il est clair que s ≤ ω ≤ S pour tout choix des points ξ k ∈ [x k , x k+1 ].
De plus, on constate que si on rajoute des points à la subdivision, s ne
décroît pas et S ne croît pas. Par conséquent, si on choisit deux subdivisions
de [a, b], et on note s 1 , s 2 les sommes inférieures et respectivement S 1 , S 2
les sommes supérieures associées à ces subdivisions, on peut obtenir une
troisième subdivision de [a, b] en combinant les deux premières. On note
comme précédemment s 3 et S 3 les sommes obtenues. Ainsi, par la remarque
ci-dessus, on observe que s 1 ≤ s 3 ≤ S 3 ≤ S 2 , et donc que s 1 ≤ S 2 . On
observe que l’ensemble des sommes inférieures de f est borné, car S 2 < ∞.
On peut alors considérer I := sup{s}. Ainsi, pour toute subdivision de [a, b],
on aura s ≤ I ≤ S et que |ω − I| ≤ S − s.
f est continue sur [a, b] qui est compact, elle est donc uniformément continue,
ie ∀ɛ > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x, x ′ ∈ [a, b], |x − x ′ | < δ ⇒ |f(x) − f(x ′ )|.
Ainsi, on constate que M k − m k < ɛ, 0 ≤ k ≤ n − 1 pour λ < δ (rappel : λ
est le pas de la subdivision).
Ainsi, S −s < ɛ·(g(b)−g(a)). On arrive par conséquent au résultat suivant :
ce qui signifie
On voit donc que
k=0
λ < δ ⇒| ω − I |< ɛ (g(b) − g(a))
I =
lim ω = I
λ→0
∫ b
a
f(x)dg(x)
En ce qui concerne le cas plus général où g est à variation bornée, selon le
théorème 1.1.1, on peut écrire g = g 1 − g 2 où g 1 , g 2 ∈ R [a,b] sont monotones
croissantes sur [a, b]. On aura alors
∫ b
a
f(x)dg(x) =
∫ b
a
f(x)dg 1 (x) −
∫ b
a
f(x)dg 2 (x)
Théorème 2.3. Si f ∈ C[a, b] et g est dérivable sur [a, b] avec une
dérivée Riemann-intégrable sur [a, b], alors :
∫ b
a
f(x)dg(x) =
∫ b
a
f(x)g ′ (x)dx
où le membre de droite est l’intégrale classique de Riemann.
Preuve :
Il découle des hypothèses que g ′ est bornée sur [a, b] et donc, selon le
théorème des accroissements finis, g ∈ BV [a, b]. Ainsi on sait que l’intégrale
de gauche existe. De plus, on admet un résultat de théorie de l’intégration qui
nous dit que, sous les hypothèses ci-dessus, la fonction f(x)g’(x) est continue