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GROUPES TOPOLOGIQUESPETER JOSSENRésumé. On établira, à partir des notions fondamentales de groupe, espacetopologique et espace mésuré la dualité de Pontriagin - van Kampen.Date: 17 juin 2004.1

2 PETER JOSSEN1. Préliminaires et NotationsOn admette les notations suivantes (les chiffres indiquant le numero de la premièrepage ≥ 3 sur laquelle la notation en question apparait) :⊕ somme directeC Les nombres complexesC 00 Fonctions à support compactC + 00 Fonctions nonnégatives à support compactG ′ Groupe de caractèresĜ Groupe dualL p Fonctions p-intégrablesm mesure de HaarN {1, 2, 3, ...}P Combinaisons C-lineaires de fonctions de type positiveP 0 Fonctions de type positiveQ Les nombres rationnelsR Les nombres réelsT Le tore de dimension 1, i.e. les nombres complexes de module 12. GroupesDéfinition 2.1. Soit G un groupe. On appelle caractère sur G tout homomorphismeχ : G → T. On munit l’ensemble des caractères sur G du produit ponctuel :χ 1 χ 2 (x) = χ 1 (x)χ 2 (x) pour tout caractères χ 1 , χ 2 et tout x ∈ G.On note χ 0 le caractère trivial qui vaut 1 sur tout G. L’inverse d’un caractèreest donné par χ −1 (x) = χ(x).Voilà un lemme qui va être d’une importance majéure pour la démonstration duthéorème de dualité (surtout en forme du corrolaire qui lui suit). Pontriagin, commeaussi d’autres auteurs le démontrent par récurrence transfinie. Cette version n’utilisepas ce concepte, mais fait intervenir le lemme de Zorn.Définition 2.2. Un groupe G et dit divisible si pour tout g ∈ G et tout n ∈ N, ilexiste un r ∈ G tel que r n = g.On remarque qu’un groupe fini divisible est nécessairement trivial. T, Q et Rsont divisibles, Z ne l’est pas.Lemme 2.3. Soit G un groupe Abélien, H un sous-groupe de G et ϕ un homomorphismede H dans un groupe divisible Abélien D. Alors il existe un homomorphismede G dans D qui coincïde sur H avec ϕ.Démonstration. J’affirme que la famille des sous-groupes de G conteanant H satisfaitles hypothèses du lemme de Zorn pour l’ordre suivant :H 1 ≤ H 2 ⇐⇒ H 1 ⊆ H 2 , et tout homomorphisme H 1 → D s’etend sur H 2En effet, supposons qu’on ait une chaine de telles sous-groupes emboités de G :H = H 0 ⊇ H 1 ⊇ H 2 ⊇ H 3 ⊇ H 4 ⊇ ...tout munis d’un homomorphisme ψ n : H n → D et tel que ψ n est un prolongementde ψ n−1 pour tout 1 ≤ n. Désignons avec H ∞ leur réunion. Comme pour tout

4 PETER JOSSENDéfinition 3.2. Un espace topologique est dit T 0 , si pour tout points distinctsx, y ∈ X il existe un voisinage de x ne contenant pas y ou bien un voisinage de yne contenant pas x.Proposition et Définition 3.3. Les conditions suivantes sont équivalentes pourtout espace topologique X, et on dira que X est T 1 si ils sont vraies pour X.I: Tout singleton {x} ⊆ X est fermé.III: Pour tout point x et tout point y ≠ x de X il existe un voisinage de x necontenant pas y.II: L’intersection de tout les voisinages de x consiste en {x} seulement, pourtout x ∈ X.Démonstration. (I) =⇒ (II) : Soient x, y ∈ X. Par hypothèse y est fermé. X\{y}est alors un ouvert contenant x mais pas y, et donc un voisinage de x ne contenantpas y.(II) =⇒ (III) : Soit x ∈ X, y ∈ X et y ≠ x. Il existe alors un voisinage de x necontenant pas y. y n’est donc pas dans l’intersection de tout les voisinages de x.Ceci etant vrai pour tout y ≠ x, on a que l’intersection de tout les voisinages de xconsiste en {x} seulement.(III) =⇒ (I) : Supposons que y adhère à x. Tout voisinage de y contient doncx, et x se trouve alors dans l’intersection de tout les voisinages de y. L’hypothèsepermet de conclure que x = y, ce qui montre que y ∈ {x}. {x} est donc fermé. □Définition 3.4. Un espace topologique X est apellé T 2 ou de Hausdorff si pourtout points x, y ∈ X avec x ≠ y il existent des voisinages V x de x et V y de ydisjointes.Proposition et Définition 3.5. Tout espace topologique T 0 et T 3 est de Hausdorff.(La réciproque est fausse). Un tel espace est appellé régulier.Démonstration. Prenons x, y ∈ X, et supposons sans perte de généralisation qu’ilexiste un voisinage V x de x qui ne contient pas y (quitte à permuter x et y). Parrégularité, V x contient un voisinage fermé F x de x. Le complement de F x ext unouvert qui contient y, donc un voisinage de y, qui est clairement disjoint du voisinageF x de x.□Voici le célèbre lemme d’Urysohn, qu’on démontra pour être plus complet.Lemme et Definition 3.6. Les conditions suivantes sont équivalentes pour toutespace topologique X, et on dira que X est complétement régulier ils sont vraiespour X.I: Pour tout paire de fermés disjoints F , G dans X il existent des voisinagesV F de F et V G de G disjointes.II: Pour tout ouvert O de X et tout fermé F contenu dans O, il existe unvoisinage fermé de F contenu dans UIII: Pour tout paire de fermés disjoints F , G dans X il existe une fonctioncontinue sur X à valeurs dans [0, 1] qui vaut 0 sur F et 1 sur G.Démonstration. (I) =⇒ (II) : Soit F un fermé contenu dans l’ouvert U. F etX\U sont donc des fermés disjoints, ce qui entraine par hypothèse qu’il existent

GROUPES TOPOLOGIQUES 5des voisinages ouvertes O 1 de F et O 2 de X\U qui sont disjointes. Ainsi on a commedésiré :F ⊆ O 1 ⊆ O 1 ⊆ X\O 2 ⊆ U(III) =⇒ (I) : Soient F et G fermés disjointes dans X. Par hypothèse, il existe unefonction continue f : X → R qui vaut identiquement 1 sur F et identiquement 0sur G. Considerons V F = f −1 (] 1 2 , ∞[) et V G = f −1 (] − ∞, 1 2[). Ces deux ensemblessont disjointes, ouverts par continuité de f et F ⊆ V F et G ⊆ V G , donc tout cequ’on voulait.Reste à voir la partie essentielle de ce lemme, à savoir(II) =⇒ (III) : On commence par une construction, qui attribue à chaquenombre rationnel p un ouvert O p de X de telle sorte que(3.1) q < p entraine O q ⊆ O pNotons P = [0, 1] ∩ Q et choisissons un dénombrement (p n ) ∞ n=0 de P tel que 0 = p 0 ,1 = p 1 . Par P n on désigne les n premiers éléments de cette suite. DefinissonsO 1 = X\G. F est un fermé contenu dans l’ouvert O 1 , donc par normalité de X ilexiste un ouvert O 0 tel que F ⊆ O 0 et O 0 ⊆ O 1 .Supposons maintenant que p n ≠ 0, 1, que O p est défini pour p ∈ P n−1 , et que lafamille (O p ) p∈Pn−1 satisfait 3.1. Car l’ensemble P n est un sous-ensemble fini de R,chaque élément de P n sauf 0 et 1 a un successeur et un predecesseur, en particulierp n . Soit q le predecesseur et p le successeur de p n dans (P n , ≤). Comme O q ⊆ O p ,on peut trouver (car X est normal) un ouvert O pn tel que O q ⊆ O pn et O pn ⊆ O p .Clairement, la famille (O p ) p∈Pn satisfait 3.1. Ainsi on définit O p pour p ∈ P . PosonsO p = ∅ si p < 0 et O p = X si p > 1. La famille (O p ) p∈Q satisfait toujours 3.1.J’affirme quef(x) = inf{p ∈ Q | x ∈ O p }a toutes les propriétés demandées. Vu que pour tout p > 1 tout x ∈ X est contenudans O p = X, et que pour tout p < 0 aucun x ∈ X est contenu dans O p = ∅, f estbien défini et f(X) ⊆ [0, 1]. Si x ∈ F ⊆ O 0 , on a f(x) = 0. Si x ∈ G on a pour toutp ∈ P que x /∈ O p ⊆ O 1 = X\G et donc f(x) = 1.Reste à voir que f est continue. Remarquons qu’on a(3.2) x ∈ O q =⇒ f(x) ≤ qcar si x ∈ O q on a x ∈ O p pour tout rationnel p > q et donc f(x) ≤ q, et que(3.3) x /∈ O p =⇒ f(x) ≥ pcar si x /∈ O p on a x /∈ O q pour tout rationnel q < p et donc f(x) ≥ p. Soit maintenantx 0 in X et ε > 0, et construisins un voisinage V de x 0 tel que |f(x) − f(x 0 )| < εpour tout x ∈ V . Choisissons deux nombres rationnels p et q tels quef(x 0 ) − ε < q < f(x 0 ) < p < f(x 0 ) + εSoit V = O p \O q . Car f(x 0 ) < p on a par 3.3 que x 0 ∈ O p , et car f(x 0 ) > q on apar 3.2 que x /∈ O q . Par consequent x 0 ∈ V . V est ouvert, et donc un voisinage dex 0 . Soit x ∈ V . Alors x ∈ O p donc f(x) ≤ p par 3.2 et x /∈ O q donc f(x) ≥ q par3.3. En résumé on a q ≤ f(x) ≤ p pour tout x ∈ V ou bien que |f(x) − f(x 0 )| < εpour tout x ∈ V . f est donc continue en x 0 , ce qui termine la preuve. □Le resultat suivant, le ”théorème des partitions de l’unité” due à Dieudonné estune généralisation du lemme d’Urysohn.

6 PETER JOSSENTheorème 3.7. Soit X un espace topologique normal, F une partie fermée dansX et U 1 , U 2 , ..., U n un recouvrement ouvert fini de F . Alors il existent des fonctionscontinues h 1 , h 2 , ..., h n sur G à valeurs dans [0, 1] tels queI: ∑ nk=1 h k(x) = 1 pour tout x ∈ FII: h k (x) = 0 pour tout x /∈ U k et tout 1 ≤ k ≤ nDémonstration. En trois étapes.(I) Soit (O i ) 1≤k≤n un recouvrement ouvert fini de X. J’affirme l’existence d’unefamille de fermés (F i ) 1≤k≤n telle que F k ⊆ O k et ⋃ 1≤k≤n F k = X. Cela ce montrepar induction sur n. Pour n = 1, l’assertion est triviale. Voyons le cas n = 2 : On aO 1 ∪ O 2 = X. Les fermés X\O 1 , X\O 2 etant disjoints, on peut trouver des ouvertsV 1 , V 2 disjoints tels que O 1 ⊆ V 1 et O 2 ⊆ V 2 . En posant F 1 = X\V 1 , F 2 = X\V 2on obtient le résultat désiré pour le cas n = 2.Supposons maintenant que le résultat est(correct pour n − 1, et soit (O i ) 1≤k≤n un⋃ )recouvrement ouvert de X. Comme X =1≤k

GROUPES TOPOLOGIQUES 7où U n est non vide et U n ⊆ U n−1 ∩ D n . Comme U 0 est compact, et tous les U n nonvides, on a que∞⋂ ∞⋂∅ ≠ U n ⊆n=1 n=1D n□4. Mesure et IntegrationPour ce chapitre, on se fixe un espace topologique de Hausdorff localement compactX.Définition 4.1. On note C + 00 (X) l’ensemble des fonctions continus à valeurs réelsnonnégatifes sur X, qui s’annullent en dehors d’un ensemble compact (qui depend dela fonction en question). On appelle ”intégrale de Radon” toute forme I : C + 00 (X) →R + satisfaisantI: I(f) est réel positif pour f ≠ 0II: I(f + g) = I(f) + I(g) pour tout f, g ∈ C + 00 (X)III: I(αf) = αI(f) pour tout f ∈ C + 00 (X), α ∈ R +On doit remarquer que I n’est pas une forme linéaire, car C + 00 (X) n’est pas unespace véctoriel. Mais une mesure de Radon se prolonge d’une façon evidente enune forme linéaire sur le C-espace véctoriel C 00 (X) des fonctions continus à valeurscomplexes s’annullant en dehors d’une partie compacte.Définition 4.2. On appelle ”integrale de Radon complexe” toute forme linéaireI : C 00 (X) → C pour laquelle existent des mésures de Radon I 1 , I 2 , I 3 , I 4 tels queI = I 1 − I 2 + i(I 3 − I 4 ).Définition 4.3. On appelle une fonction f sur X ”intégrable sur tout compact”si fg est intégrable quelque soit g ∈ C + 00 .5. Definition et propriétés élémentaires des groupes topologiquesDéfinition 5.1. On appelle ”groupe topologique” un triple (G, ·, T) tel queGT1) : (G, ·) est un groupeGT2) : (G, T) est un espace topologiqueGT3 I ) : Les applications (x, y) ↦→ xy etGT3 II ) : x ↦→ x −1 sont continues.Si aucune confusion n’est possible on parlera d’un groupe topologique G, cet àdire on identifie le groupe topologique (G, ·, T) avec son ensemle sous-jacent G. Onremarque que au lieu de demander la continuité de (x, y) ↦→ xy et x ↦→ x −1 onpourrait simplement demander la continuité de (x, y) ↦→ xy −1 .Proposition 5.2. Soient G un groupe topologique n ∈ N, r 1 , r 2 , ..., r n ∈ Z, eta 1 , a 2 , ..., a n ∈ G. Soit U un voisinage de b = a r11 ar2 2 ...arn n . Alors il existent desvoisinages V i de a i pour 1 ≤ i ≤ n tels que V r11 V r2 rn2 ...Vn⊆ U. Si a i = a j on peutchoisir V i = V j

8 PETER JOSSENDémonstration. L’application f : (x 1 , x 2 , ..., x n ) ↦→ x r11 xr2 2 ...xrn n est continue, carelle est composition d’applications continues. Ainsi pour tout voisinage de U deb = f(a 1 , a 2 , ..., a n ) il existent des voisinages V i de a i pour 1 ≤ i ≤ n de tellemanière que f(V 1 , V 2 , ..., V n ) ⊆ U.Si a i = a j , on peut choisir V i = V j en prenant l’intersection.□Proposition 5.3. Soit G un groupe topologique. Les applications ϕ : x ↦→ x −1 ,f a : x ↦→ xa et a f : x ↦→ ax sont des homéomorphismes de G sur lui même quelquesoit a ∈ GDémonstration. ϕ, f a et a f sont continus par GT3 et des bijections. Les applicationsinverses sont données par x = φ(x −1 ) = f a (xa −1 ) = a f(a −1 x).□Proposition 5.4. Tout groupe topologique G est homogène vu comme espace topologique,cet à dire quelque soient a, b ∈ G il existe un homéomorphisme h : G → Gavec f(a) = b.Démonstration. L’homéomorphisme h : x ↦→ a −1 xb fait l’affaire.□Corollaire 5.5. Soit f : G → H un homomorphisme entre groupes topologiques Get H. Si f est continu en e G , alors f est continu partout.Démonstration. Soit f : G → H un homomorphisme continu en e G , choisissonsx ∈ G et montrons que f est continu en x. Soit V un voisinage de f(x). Comme fest continu en e G , on a que f −1 (f(x) −1 V ) est un voisinage de e, et par consequentf −1 (V ) = f −1 (f(x)f(x) −1 V ) = f −1 (f(x)) f −1 (f(x) −1 V ) ⊇ xf −1 (f(x) −1 V )un voisinage de x.□Proposition 5.6. Soient G un groupe topologique P une partie quelconce, O unouvert, C un compact et F un fermé de G. Alors les ensembles P O, OP et O −1sont ouverts et CF , F C et F −1 sont fermés dans G.Démonstration. L’ensemble O −1 est ouvert, car il est image de l’ouvert O par unhoméomorphisme. Idem pour l’ensemble F −1 , qui est fermé car il est image dufermé F par un homéomorphisme.P O est ouvert car P O = ⋃ {p∈P }pO, ce qui est une réunion d’ouverts, vu que lespO sont tous images d’un homéomorphisme de l’ouvert O et donc tous ouverts. Lemême argumet montre que OP est ouvert dans G.Il reste à montrer que CF et F C sont fermés dans G. Prenons pour cela une suitegénéralisée {x α } α∈I dans CF avec un point de limite x ∈ G, et montrons quex ∈ F . Tout x α s’écrit comme c α f α avec c α ∈ C et f α ∈ F . La suite généralisée{c α } α∈I admette au mois un point de limite c ∈ C, car C est compact. La suitegénéralisée {f α } α∈I = {c −1α x α } α∈I dans F admette donc f := c −1 x comme pointde limite car elle est image par une application continue des deux suites généralisées{x α } α∈I et {c α } α∈I . Mais F est fermé, et donc f ∈ F . Ainsi f = c −1 x ∈ F ou bienx = cf ∈ CF .De la même façon on montre que F C est fermé.Proposition 5.7. Soient G un groupe topologique et C, D des parties compactesdans G. Alors CD et DC sont compacts dans G.□

GROUPES TOPOLOGIQUES 9Démonstration. C et D sont compacts dans G, d’ou (par Tychonoff) C × D estcompact dans G × G. CD est image par une application continue du compactC × D et donc compact. Idem pour DC.□Proposition 5.8. Soit G un groupe topologique et A, B des parties de G. Alorsles assertions suivantes sont vraies :I: Ā ¯B ⊆ ABII: A −1 = A −1III: xAy = xAy pour tout x, y ∈ GSi de plus G est T 1 , et si ab = ba pour tout a ∈ A, b ∈ B, alors on a aussi ab = bapour tout a ∈ A, b ∈ B.Démonstration. (I) Prenons x ∈ A et y ∈ B, et un voisinage U de e. Il suffitde montrer que xyU ∩ AB ≠ ∅. On peut trouver un voisinage V de e tel quexV yV ⊆ xyU. Choisissons a ∈ A ∩ xV et b ∈ B ∩ yV , ce qui est tout a fait possible,vu que x adhère à A et vu que y adhère à B. Ainsi ab ∈ AB ∩ xV yV ⊆ AB ∩ xyU.(II) L’application f : x ↦→ x −1 est un homéomorphisme de G. Donc A −1 = f(A) =f(A) = A −1 .(III) L’application f : z ↦→ xzy est un homéomorphisme de G. Donc xAy = f(A) =f(A) = xAy.Supposons maintenant que ab = ba pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, et consideronsl’application f : (x, y) ↦→ xyx −1 y −1 . f est continue sur G 2 et f(A, B) = {e}.Par hypothèse, G est T 1 et alors {e} fermé. f −1 (e) est donc un fermé de G 2 , etA × B ⊆ A × B = A × B ⊆ f −1 (e). Cela montre qu’on a aussi ab = ba pour touta ∈ A, b ∈ B.□Proposition 5.9. Tout groupe topologique est T 3 .Démonstration. On montre que tout point d’un groupe topologique G admet unsystème fondamental de voisinages fermés. Comme G est homogène, il suffit demontrer que l’unité 1 G = e ∈ G en admet. Prenons pour cela un voisinage U dee, et montrons que U contient un voisinage fermé de e. Car e = ee −1 , il existe unvoisinage V de e tel que V V −1 ⊆ U. J’affirme que ¯V ⊆ U. Soit v ∈ ¯V . Car vV estun voisinage de v on a que vV ∩ V ≠ ∅. Il existe donc un élément b ∈ V tel quevb = a ∈ V , ce qui est v = ab −1 ∈ V V −1 ⊆ U□Corollaire 5.10. Un goupe topologique qui est T 0 est réguler et de Hausdorff.Démonstration. Clair, régulier est par définition T 0 et T 3 , et car par 3.5 tout espacetopologique régulier et T 0 est de Hausdorff.□Proposition 5.11. Soit (G, ·, T) un groupe topologique, V un système fondamentalde voisinages ouverts de l’unité et D une partie partout dense dans G. Alors B :={dV | d ∈ D et V ∈ V} est une base pour T.Démonstration. Car B ⊆ T, il suffit de montrer que pour tout ouvert O, et toutx ∈ O on peut trouver un dV ∈ B tel que x ∈ dV ⊆ O. L’ensemble x −1 O est unvoisinage de e. On peut trouver un V ∈ V tel que V 2 ⊆ x −1 O. Car xV ∩ xV −1 estouvert et D partout dense, on peut trouver d ∈ (xV ∩ xV −1 ) ∩ D. J’affirme quex ∈ dV ⊆ O. D’une part on a d ∈ xV −1 où bien d −1 ∈ V x −1 donc x ∈ dV . D’autrepart d ∈ xV et donc dV ⊆ xV 2 ⊆ O, ce qui termine la preuve.□

10 PETER JOSSENTheorème 5.12. Soit (G, ·) un groupe (algèbrique) et V une famille de parties deG telle que les conditions suivantes sont satisfaitsI: e ∈ V pour tout V ∈ VII: V est filtrant à droite pour la relation ⊆III: pour tout V ∈ V il existe un U ∈ V tel que UU −1 ⊆ VIV: pour tout V ∈ V et tout a ∈ U il existe un U ∈ V tel que aU ⊆ VV: pour tout V ∈ V et tout a ∈ G il existe un U ∈ V tel que aUa −1 ⊆ VAlors il existe une unique topologie T sur G qui est compatible avec la structurealgèbrique de G et pour laquelle V est un système fondamental de voisinages ouvertesde e. On dira que T prolonge V. De plus, une base pour cette topologie T estdonnée par la famille {gV | g ∈ G, V ∈ V}.Si inversement V est un système fondamental de voisinages ouvertes de e pour unetopologie donnée T, alors V satisfait les conditions (I), (II), (III), (IV), (V), et latopologie prolongeant V coincïde avec T.Démonstration. Verifions d’abord que B = {gV | g ∈ G, V ∈ V} est base pour unetopologie sur G. Pour cela il suffit de monter que B satisfait∪B = X∀B 1 , B 2 ∈ B et ∀x ∈ B 1 ∩ B 2 il existe un B 3 ∈ B tel que x ∈ B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2La première condition est remplie, car pour tout a ∈ G et n’importe un V ∈ V ona a ∈ aV ∈ B et donc a ∈ ∪B.Soient B 1 = a 1 V 1 , B 2 = a 2 V 2 deux éléménts de B et x ∈ B 1 ∩B 2 . Pour i = 1, 2 on aque a −1i x ∈ V i . Selon la quatrième condition, il existe U i ∈ V tel que a −1i xU i ⊆ V i .Par la deuxième condition, il existe un U ∈ V tel que U ⊆ U 1 ∩ U 2 . AinsixU ⊆ xU i ⊆ a i V i pour i = 1, 2 et donc x ∈ xU ⊆ B 1 ∩ B 2 . B est donc based’une topologie sur G, qu’on notera T.Voyons maintenant que V est un système fondamental de voisinages ouverts de epour la topologie T. Comme V ⊆ B il suffit de verifier que pour tout aV ∈ Bcontenant e on peut trouver un U ∈ V tel que U ⊆ V . Car a −1 ∈ V , il existed’après la quatrième condition un U ∈ V tel que a −1 U ⊆ V ou bien e ∈ U ⊆ aV .Montrons que la topologie T est compatible avec la strucutre algèbrique de G.Prenons, pour vérifier la continuité du produit deux éléments y, x ∈ G et un voisinagexyU ∈ B de xy. On peut trouver selon la troisième condition un V ∈ Vtel que V 2 ⊆ U, et selon la dernière un W ∈ V tel que y −1 W y ⊆ V . AinsixW yV = xyy −1 W yV ⊆ xyV 2 ⊆ xyU, ce qui montre que le produit est continu.Pour vérifier la continuité de l’inversion prenons un x ∈ G et un voisinage x −1 U ∈ Bde x −1 . Selon la dernière condition on trouve V ∈ V tel que xV x −1 ⊆ U et selonla troisième un W ∈ V tel que W −1 ⊆ W W −1 ⊆ V . Ainsi (xW ) −1 = W −1 x −1 ⊆V x −1 = x −1 xV x −1 ⊆ x −1 U, ce qui nous montre la continuité de l’inversion.(G, ·, T) est donc un groupe topologique. Par construction, la topologie T est latopologie la moins fine pour laquelle V est un système fondamental de voisinagesouverts de e et qui est rend continue les opérations dans G. Si T ′ est une autretopologie qui a ces propriétés, on a necessairement T ⊆ T ′ . Pour avoir l’unicité,montrons que T ′ ⊆ T. Prenons un ouvert non vide O ∈ T ′ . Pour tout x ∈ O, onpeut trouver un V x ∈ V tel que xV x ⊆ O, car x −1 O est un voisinage ouvert de epour T ′ . Ainsi O = ∪ x∈O xV x . Par définition tout les xV x sont des ouverts de T, etalors aussi O.

GROUPES TOPOLOGIQUES 11Il est une consequence immediate des définitions qu’un système fondamental V devoisinages ouverts de e dans un groupe topologique (G, ·, T) a les propriétés (I), (II),(III), (IV) et (V). Par l’unicité qu’on vient de montrer, la topologie prolongeant Vest T.□Proposition 5.13. Si un groupe topologique G agit continument sur un espacetopologique X, et si x ∈ X est un point fixe pour cette action, alors x admet unsystème fondamental de voisinages G-invariantes. Plus explicitement, si U est unvoisinage de x, alorsV = ⋂gUg∈Gest un voisinage G-invariant de x contenu dans U.Démonstration. Choissisons x un point fixe, U un voisinage ouvert de x, et construisonsV comme ci-dessus. Si V n’est pas un voisinage de x, alors on trouve pourtout voisinage W de x un élément g W tel que W \g W U ≠ ∅, et donc aussi unpoint x W ∈ W tel que g −1W x W /∈ U. Par compacité de G, la limite génégaliséedes g W admette une sous-suite (g W (j) ) j∈J convergeante vers un certain g ∈ G. Parconstruction, et par le fait que X est de Hausdorff, la suite (x W (j) ) j∈J converge et acomme unique limite x. Par continuité de l’action, la suite (g −1W (j) x W (j)) j∈J convergevers g −1 x. On a g −1 x = x, vu que x est un point fixe. Aaaber : g −1W (j) x W (j) /∈ Uund so g −1 x = x /∈ U. Widerspruch !□Corollaire 5.14. Si G est un groupe topologique compact, et U un voisinage de edans G, alorsV = ⋂gUg −1g∈Gest un voisinage de e invariant sous tout les automorphismes interieurs de G.Démonstration. e est un point fixe pour l’action continue (g, x) → gxg −1 de G surlui même.□6. Sous-groupes topologiques, quotients et produitsDeux définitions de ”sous-groupe d’un groupe topologique” sont courantes. Lapremière appelle (H, ·, T ′ ) un sous groupe topologique du groupe topologique (G, ·, T)si (H, ·) est un sous groupe de (G, ·), T ′ designant la topologie induite (p.ex. Hewitt& Ross). D’autres auteurs (p.ex. Pontriagin) exigent de plus que H est fermé dansG pour T.Il faut remarquer qu’il est possible d’avoir un sous groupe H de G non fermé. (Parexemple Q dans R). Pour pouvoir formuler aisement les résultats les plus générals,on choisit la première version :Définition 6.1. Soit (G, ·, T) un groupe topologique. On appelle (H, ·, T ′ ) un sousgroupe topologique de (G, ·, T) si (H, ·) est un sous groupe de (G, ·) et T ′ la topologieinduite par T sur H. On dira que le sous groupe H est ouvert / fermé / compact /... si le sous-ensemble H de G est ouvert / fermé / compact / ... dans G pour T.Proposition 6.2. Soit G un groupe topologique et H un sous groupe de G. AlorsH muni de la topologie induite par G est un groupe topologique.

12 PETER JOSSENDémonstration. Il suffit de voir que les applications (x, y) ↦→ xy et x ↦→ x −1 sontcontinues dans H. Mais cela est clair, car il s’agit de réstrictions de fonctions continus.□Proposition 6.3. Soit H un sous-groupe d’un groupe topologique G. Alors H, lafermeture de H est aussi un sous-groupe de G.Démonstration. Clair, car H H ⊆ H et H −1 = H −1 , par la proposition 5.8.Proposition 6.4. Un sous-groupe ouvert d’un groupe topologique est aussi fermé.(non, ce n’est pas une contradiction)Démonstration. Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe ouvert de G.G\H est la réunion de toutes les classes à gauche de H differentes de H, donc unouvert. H est alors fermé.□Proposition 6.5. Soit G un groupe topologique de Hausdorff et H un sous-groupelocalement compact de G. Alors H est fermé. En particulier tout sous-groupe discretde G est fermé.Démonstration. Choisissons un voisinage compact C de e dans H. Il existe unvoisinage V de e dans G tel que C = V ∩ H. L’ensemble C = V ∩ H est fermé dansG (car dans un espace de Hausdorff tout compact est fermé). Choisissons de plusun voisinage U de e dans G tel que U 2 ⊆ V .Pour tout x ∈ H on a x −1 ∈ H, car H est un sous-groupe de G. Par consequent ilexiste y ∈ Ux −1 ∩ H ≠ ∅. Il suffit maintenant de montrer que yx ∈ H, car, commey ∈ H, cela implique x ∈ H, et par suite que H = H.Pour cela, montrons que yx adhére à V ∩ H. Comme V ∩ H est fermé, on auraxy ∈ V ∩H ⊆ H. Soit donc W n’importe un voisinage de yx. L’ensemble y −1 W ∩xUest un voisinage de x, et comme x ∈ H, on peut trouver z ∈ y −1 W ∩ xU ∩ H. Enmultipliant avec y cela donne yz ∈ W , mais aussi yz ∈ Ux −1 xU = U 2 ⊆ V etyz ∈ H. En résumé yh ∈ W (∩V ∩ H) ≠ ∅, ce qui termine la preuve.□Définition 6.6. On dira qu’un groupe topologique G est généré par un voisinagede l’unité V , si∞⋃G = V nn=1et que G est compactement généré, si G est généré par un voisinage compact del’unité.Proposition 6.7. Soit G un groupe topologique et V un voisinage de e. Alorsl’emsemble∞⋃H = V nest un sous-groupe ouvert et fermé de G.n=1Démonstration. Il suffit de voir que H est un sous-groupe ouvert. H est stable parconstruction, et pour tout h ∈ H, hV est un voisinage de h contenu dans H parconstruction. H est ainsi voisinage de tout ses points, donc ouvert.□Proposition 6.8. Tout groupe topologique connexe est généré par n’importe unvoisinage de l’unité.□

GROUPES TOPOLOGIQUES 13Démonstration. Soit V un voisinage de e dans le groupe topologique connexe G.Vu la proposition precedente, V engendre un sous-groupe ouvert et fermé de G,donc G tout entier.□Corollaire 6.9. Tout groupe topologique connexe et localement compact est compactementgénéré.Proposition 6.10. La composante connexe de l’unité e dans un groupe topologiqueG est un sous-groupe normal et fermé de GDémonstration. Notons C cette composante connexe. Quelque soit c ∈ C, on ac −1 C = C, car c −1 C est image de C par un homéomorphisme et contient e.Par consequent C −1 C = C, ce qui montre que C est un sous-groupe de G. Demême, C est normal : Pour tout x ∈ G, l’ensemble xCx −1 est image de C par unhoméomorphisme et contient l’unité, donc xCx −1 = C. Finalement on a que C estfermé, car une composante connexe.□Proposition 6.11. Designons avec F un filtre de voisinages de e dans G. Alors∩F est un sous-groupe normal fermé de G, egal à l’adherence de e, et la topologieinduite sur ce sous-groupe est la topologie grossière.Démonstration. Clairement ∩F ne depend pas du choix du système fondamental.On suppose desormais que F est un système fondamental de voisinages fermés.Comme {e} est l’intersection de tout les fermés qui contiennent e, on a{e} ⊆ ∩FD’autre part, si un point x ∈ G n’adhère pas à e, on peut trouver un voisinage ferméde x ne rencontrant pas e. Le complement de ce voisinage sera un ouvert contenante, donc un voisinage de e ne contenant pas x. Ainsi x /∈ ∩F, ce qui montre∩F ⊆ {e}d’où égalité. Comme {e} est un sous-groupe normal de G, {e} aussi.Passons maintenant aux quotients (au niveau du sujet). La motivation de Pontriaginde ne considérer que les sous-groupes fermés est donnée dans cette partie dela proposition suivante : G/N est de Hausdorff ssi N est fermé. Comme il connaitseulement des topologies qui sont de Hausdorff, il doit imposer qu’un sous-groupetopologique est fermé pour pouvoir considérer des quotients G/N.Je rappelle que les ouverts dans un quotient G/N sont donnés par les ensembles declasses modulo H de la forme NO où O parcourt les ouverts de G. C’est en mêmetemps la topologie la plus fine sur G/H qui laisse continue la projéction canoniqueπ, et dans ce sens elle est appelée topologie finale sur G/H par π.Proposition 6.12. Soit G un groupe topologique et N un sous groupe normal de G.Alors G/N muni de la topologie quotient est un groupe topologique, et la projéctioncanonique π de G sur G/N est un homomorphisme ouvert continu.G/N est discret si et seulement si N est ouvert, et G/N est de Hausdorff si etseulement si N est fermé.Démonstration. Vérifions d’abord que G/N est un groupe topologique en montrantla continuité de (xN, yN) ↦→ xy −1 N. Fixons xN, yN ∈ G/N, et prenons un voisinagede xy −1 N qui s’écrira comme xy −1 UN pour un certain voisinage U de e. Ilexistent un voisinage symmetrique V de e tel que V 2 ∈ U et un voisinage W de e tel□

14 PETER JOSSENque y −1 W y ∈ V . xW N et V yN sont des voisinages de xN et yN respectivement.AinsixW (V y) −1 N = xW y −1 V −1 N ⊆ xy −1 V yy −1 V N = xy −1 V 2 N ⊆ xy −1 UNce qui montre que l’operation dans G/H est compatible avec la topologie quotient.π est continu vu que la topologie sur G/N est la topologie finale par π. Reste à voirque π est ouverte : Prenons un ouvert O ⊆ G. On a π −1 (π(O)) = NO. Mais NOest ouvert, et alors aussi NO = π(NO) = π(O).G/N est discret si et seulement si l’unité de G/N, à savoir N est ouvert, et deHausdorff si et seulement si l’unité de G/N est fermée.□Proposition 6.13. Soit G un groupe topologique et N un sous groupe normalcompact de G. La projéction canonique est alors fermée.Démonstration. Soit F fermé dans G. Alors π(F ) = NF , ce qui est un ensemblefermé de G/H vu la proposition 5.6□Proposition 6.14. Soit G un groupe topologique et C la composante connexe dee. Alors G/C est totalement disconnexe.Démonstration. Ce quotient est bien défini, car C est un sous-groupe normal deG. □Proposition 6.15. Soit G un groupe topologique localement compact et N normaldans G. Alors G/N est localement compact.Démonstration. Soit V un voisinage compact de e dans G. Alors π(V ) est compactcar image d’un compact par une application continue, et un voisinage de N, unitéde G/N, car image d’un voisinage par une application ouverte.□Lemme 6.16. Soit G un groupe topologique normal, et H un sous-groupe ferméde G (non nécessairement normal). Alors le semi-groupe G/H est un espace topologiquenormal.Ceci est le Théorème 10 de Pontriagin.Démonstration. Soit U un ouvert de G/H et F un fermé de G/H contenu dans U.Notons f la projéction canonique de G sur G/H. Comme U est ouvert et f continu,f −1 (U) est ouvert dans G.□Voyons maintenant quelques propriétes des produite de groupes topologiques. Jerappelle que la topologie produit sur un produit d’espaces topologiques ∏ j∈J X jest définie à partir de la base⎧ ∣ ⎫⎨ ∣∣∣∣∣∏⎬B = O⎩ j O j ouvert dans X j et {j ∈ J | V j ≠ X j } fini⎭j∈JLorsque dans la suite on parlera d’ouverts ou de voisinages dans un produit, onsuppose dans perte de généralisation qu’ils sont de cette forme, afin d’éviter des”...OestouvertetcontientdoncunélémentdelabaseBquiestdelaforme...”.

GROUPES TOPOLOGIQUES 17Alors G est canoniquement isomorphe à la somme directe des (N j ) j∈Jgroupe topologique bien entendu).(commeG ∼ = ⊕ j∈JN jDans cette situation, on écrit souvent une égalité au lieu d’un isomorphisme,et on parle d’une somme directe intérieure. La condition (III) est bien necessaire !(Considerer G = ⊕ NR muni de la topologie des boites pour un contre exemple).Démonstration. Les deux premiers conditions impliquent que G est algèbriquementisomorphe à ⊕ j∈J N j. L’isomorphisme ϕ : ⊕ j∈J N j → G est naturellement donnépar ϕ(x) = ∏ j∈J x j (c’est un produit fini d’éléments de G). ϕ est clairement uneapplication ouverte, et la troisième condition, si elle est remplie fournit la continuitéde ϕ. Ainsi ϕ est un homéomorphisme.La condition (III) est toujours remplie si J est fini : Prenons un voisinage U de eet posons J = {1, 2, ..., n}. Il existe un voisinage V de e tel que V n ⊆ U. PosonsV j = V ∩ N j . AinsiV 1 V 2 · · · V n = (V ∩ H 1 )(V ∩ H 2 ) · · · (V ∩ H n ) = V n ⊆ UProposition 6.21. Soit G un groupe topologique, et H un sous-groupe normal deG. Considerons la suite exacte courte de groupes topologiquesAlors on a equivalence0 −−−−→ Hι−−−−→ GI: G ∼ = H ⊕ G/H comme groupe topologique.II: π admet une section continueIII: ι admet une retraction continueπ−−−−→ G/H −−−−→ 0Démonstration. (II) =⇒ (I) Supposons que π admette une section continue σ.Posons L = σ(G/H). J’affirme que G = H ⊕ L. L est isomorphe à G/H vial’isomorphisme σ : En effet σ est surjéctif par définition de L et aussi injéctif carπ ◦ σ = id G/H . σ est continu par hypothèse. Son inverse est π| L , qui est continucomme restriction d’une fonction continue. Pour tout x ∈ G on ax = σ(π(x)) σ(π(x)) −1 x} {{ } } {{ }∈L ∈H=ker π∈ LH = HLcar π(σ(π(x)) −1 x) = π(x) −1 π(x) = e. Ainsi HL = LH = G. De plus on a clairementH ∩ G = {e}, ce qui montre que G est isomorphe à H ⊕ L.(III) =⇒ (I) Soit ρ une retraction continue de ι, et notons L = ker ρ. J’affirmeque G = H ⊕ L. Clairement L ∩ H = {e}.Pour tout x ∈ G on ax = ρ(x) ρ(x) −1 x}{{} } {{ }∈H ∈L=ker ρ∈ HL = LHcar ρ(ρ(x −1 )x) = ρ(ρ(x −1 ))ρ(x) = e. Ainsi G = HL = LH. On a donc bien queG ∼ = H ⊕ L. Reste à voir que L est isomorphe à G/H via l’isomorphisme π| L : Eneffet π| L est continue et ouverte car c’est une projéction. π| L est injéctif, car pour□

18 PETER JOSSENtout l ∈ L on a π(l) = 0 =⇒ l ∈ H et donc l = e. π| L est aussi surjéctif, carπ| −1L(xH) = xH ∩ L ≠ ∅.(III) =⇒ (I) et (II) : Si H est facteur direct dans G, il existe un complementL ⊆ G tel que G = H ⊕ L. Le quotient G/H est ainsi canoniquement isomorphe àL. La section de π est l’injéction de L dans H ⊕ L, la retraction de ι la projéctionde H ⊕ L sur H.□Définition 6.22. Soit J un ensemble muni d’un ordre partiel ≤ filtrant à droite,(G j ) j∈J une famille de groupes topologiques indicée par J, et supposons donné pourtout j, k ∈ J avec j < k un homomorphisme de groupes topologiques f jk : G k → G jtelles quei < j < k =⇒ f ik = f ij ◦ f jkAlors on appelle ( )J ≤ , (G j ) j∈J , (f jk ) j

GROUPES TOPOLOGIQUES 19Démonstration. =⇒ Supposons que tout les liaisons f jk sont surjéctives. Fixonsi ∈ J et h ∈ G i , et montrons qu’il existe un élément g = (g j ) j∈J ∈ G tel queh = f i (g) = g i . Pour cela, definissons pour tout k ∈ J avec i ≤ k l’ensembleC k = {x | x j = f jk (x k ) et x i = h pour tout j ≤ k} ⊆ ∏ j∈JG jC k n’est pas vide, car les f jk sont tous surjéctives. J’affirme que j ≤ k < k ′ impliqueC k ′ ⊆ C k : En effet x ∈ C k ′ =⇒ f jk (x k ) = f jk (f kk ′(x k ′)) = f jk ′(x k ′) et h = x i ,donc x ∈ C k . La famille{C k | k ∈ J et i ≤ k}est un filtre constitué d’ensembles fermés dans le compact ∏ j∈J G j, et admet donc(au mois) un point de limite g. Cette limite g marche, car g i = h ! Reste à verifierque g ∈ lim j∈J G j . On a pour tout k avec j ≤ k un k ′ tel que i, k ≤ k ′ . g est unélément de C k ′, d’où g j = f jk ′(g k ′) = f jk (f kk ′(g k ′)) = f jk (g k ) par définition de C k ′.g est donc bien un élément de la limite projéctive.⇐= Soit j < k. Alors f j = f jk f k . La surjéctivité de f j implique donc celle def jk .□Proposition 6.25. Soit G = lim j∈J G j pour un système projéctif de groupes compacts,avec applications de limite f j . Soit V j un système fondamental de voisinagesouvertes de l’unité dans G j , V un système fondamental de voisinages ouvertes del’unité de G et N = {ker f j | j ∈ J}. AlorsI: {f −1j (V )|j ∈ J, V ∈ V} est un système fondamental de voisinages ouvertesde e dans G.II: N est base d’un filtre constitué de sous-groupes normaux compactes convergeantvers {e G }.Réciproquement, supposons que G soit un groupe compact et qu’un ait une base d’unfiltre N constitué de sous-groupes compactes convergeant vers {e G }. Pour M, N ∈ Naver M ⊂ N notons f NM : G/M → G/N la projection canonique. Les f NM sontliaisons pour le système projéctif strict(N⊂ , (G/N) N∈N , (f NM ) M⊂N,M∈N,N∈N)et on aIII: limn∈NG/N ∼ = G/{e G }IV: Avec cet isomorphisme, les applications de limite pour ce système projéctifsont exactement les projéctions f n : G → G/N.Démonstration. (I) : Soit V ∈ V. Comme f −1j (V j ) est ouvert, il suffit de trouverun k ∈ J et un V k ∈ V k tel que f −1k(V k) ⊆ V . Par la définition de la topologie surla limite projéctive, V s’écrit commeV = lim G j ∩ ∏ W jj∈Jj∈Javec W j ∈ V j pour tout j ∈ J, et où F = {j ∈ J | W j ≠ G j } est fini. LensembleF ⊆ J ≤ admet une borne superieure k. Dans V k il existe un V k tel que f jk (V k ) ⊆ W jpour tout j ∈ J (c’est un nombre fini de conditions). Ainsif −1k(V k) ⊆ lim G j ∩ ∏ W j = Vj∈Jj∈J

20 PETER JOSSEN(II) Tout les ker f j sont des sous-groupes normaux fermés et donc compacts deG. Les relations i, j ≤ k impliquent ker f k ⊆ ker f i ∩ ker f j . L’ensemble N est doncbase d’un filtre. Pour tout j ∈ J nous avons ker f j = f −1j (e Gj ⊆ f −1j (V j ) pourtout V j ∈ V j . Comme la famille {f −1j (V j ) | j ∈ J et V j ∈ V j } est un systèmefondamental de voisinages de e G , on a que {e G } est exactement la limite du filtreN.(III) : Definissons ϕ : G → ∏ N∈N G/N par ϕ(g) N = gN. C’est clairementune application ouverte continue. Pour qu’un élément x ∈ ∏ N∈NG/N est danslim n∈N G/N il faut et il suffit que pour tout paire M ⊂ N on a f NM (x M M) = x N N,ce qui est x −1N x M ∈ N. Cela montre que ϕ atterrit dans le bon ensemble, cet à direϕ : G → lim N∈N G/N. Comme ker ϕ = ∩N = {e G } on a injéctivité de ϕ.Prenons x ∈ lim N∈N G/N. La famille {x N N | N ∈ N} est base d’un filtre constituéd’ensembles fermés dans G, car M ⊂ N implique x −1N x M ∈ N et donc aussi quex M ∈ x N N ∩ x M M. Vu la compacité de G, il existe un point de limite g pour cefiltre. Pour ce point de limite, on a l’équivalence g ∈ g N N ⇐⇒ gN = g N N, etainsi ϕ(g) = x, ce qui montre la surjéctivité de ϕ.(IV) Si nous définissons f N (x) = x N N, alors nous avons π N = f N ◦ ϕ comme ille faut, ce qui démontre le dernier point.□Theorème 6.26. Soit G un groupe topologique localement compact de Hausdorff.Alors on a equivalence entre (I) et (II). Si G est compact, on a de plus équivalenceavec (III) et (IV) :I: Il existe un système fondamental de voisinages ouvertes de e constitué desous-groupes ouvertes.II: G est totalement disconnect.III: Il existe un système fondamental de voisinages ouvertes de e constitué desous-groupes ouvertes normaux.IV: G est limite projéctive stricte de groupes finis (discrètes).Démonstration. (I) =⇒ (II) : Comme tout sous-groupe ouvert est aussi fermé,on a que {e} esi intersection d’ensembles ouverts et fermés, donc une composanteconnexe, ce qui montre que G est totalement disconnect.(II) =⇒ (I) : Fixons un voisinage compact W de e. Comme la composante connexede e est {e} seulement, e admet un système fondamental de voisinages ouvertes etfermés, contenus dans W , qu’on appellera U. Un tel U ∈ U est donc ouvert, ferméet compact. J’affirme qu’il existe dans ce cas un voisinage V de e, tel que UV ⊆ U :En effet si cela ne serait pas le cas, la famille{UV \U | V ∈ U}sera base du’un filtre d’ensembles compactes non vides. Un point de limite g de cefiltre n’est jamais dans U. Mais d’autre part on a g ∈ U, vu que pour tout voisinageV de e, on a g ∈ UV −1 =⇒ gV ∩ U ≠ ∅, et donc g ∈ U = U. Cela montrel’assertion faite.Si⋃on a UV = U, on a aussi UV n = U, ce qui montre que le sous-groupe H =∞n=0 V n de G généré par V est contenu dans U (car H ⊆ UH = U). Ainsi, toutvoisinage U de e contient un sous-groupe ouvert.

GROUPES TOPOLOGIQUES 21(I) =⇒ (III) Si H est un sous-groupe ouvert de G, alors⋂gHg −1g∈Gest un sous-groupe ouvert normal dans H, car invariant sous tout les automorphismaeinterieurs (5.14).(III) =⇒ (IV) Soit N un système fondamental de voisinages ouvertes de e constituéde sous-groupes ouvertes normaux. Tout N ∈ N est aussi fermé. Ainsi G/N estcompact et discret, donc fini. Par 6.25, G est limite projéctive stricte des quotientsG/N.(IV) =⇒ (I) Si G = lim jıJ G j est limite d’un système projéctif strict de groupes finis,alors G est sous-groupe de ∏ j∈J G j. Produits d’espaces totalement disconnectssont totalement disconnects, et sous-espaces d’espaces totalement disconnects sonttotalement disconnects. G est donc totalement disconnect.□Plusieurs propositions (en particulier 6.25) sugèrent qu’un groupe topologique Gqui n’est pas de Hausdorff n’est pas essentiellement different de G/{e}. Cela devientencore plus clair lorsque on considère des espaces de fonctions continus sur un telgroupe G, car l’espace des fonctions continus G → X est canoniquement isomorpheà l’espace G/{e} → X, vu qu’une fonction continue sur G doit être constante surles classes de {e}.Un bon exemple pour cette situation est le suivant : Considerons f : R → Tdéfini par f(t) = e 2πit et munissons T de la topologie habituelle et R avec latopologie initiale par f. Ainsi {0} = Z, et les fonctions continues R → C sur R aveccette topologie sont les fonctions periodiques de periode 1, continus sur R pour latopologie usuelle.À PARTIR DE CE POINT, ON SOUSENTEND QUE TOUS LES GROUPESTOPOLOGIQUES SONT T 0 ET DONC COMPLETEMENT REGULIERS7. Existence et unicité de la mesure de HaarTheorème 7.1. Soit G un groupe topologique localement compact. Alors il existeune integrale de Radon invariante par translation, cet à dire une forme I sur C + 00telle que :I: I(f) est réel positif pour f ≠ 0II: I(f + g) = I(f) + I(g) pour tout f, g ∈ C + 00III: I(αf) = αI(f) pour tout f ∈ C + 00 , α ∈ R +IV: I( a f) = I(f) pour f ∈ C + 00 , a ∈ GSi de plus J est une autre forme sur f ∈ C + 00 satisfaisant les conditions II, III, IV,alors il existe un nombre réel c tel que J = cIOn appellera I une intégrale de Haar à gauche (condition IV) sur C + 00 . Bien sûron peut aussi construire des intégrales de Haar à droite, qui eux aussi ne diffèrentque par facteur constant.

22 PETER JOSSENDémonstration. La preuve se partage en cinq étapes. Après une étape préliminaireI, on enoncera deux lemmes techniques, l’étape IV prouve l’existence, V l’unicitéde I.(I) Commencons avec deux fonctions f et ϕ dans C + 00 , avec ϕ ≠ 0. On cherche àéstimer f en fonction de ϕ. Considerons pour cela tout les suites finies {s 1 , s 2 , ..., s m }dans G et tout les suites finies {c 1 , c 2 , ..., c m } de nombres réels positifs tels qu’on am∑(7.1) f(x) ≤ c j ϕ(s j x) pour tout x ∈ Gj=1Voyons que ça existe :Comme f est continue à support compact, elle est bornée. Soit F une partie compactede G telle que f est nul en dehors de F . Soient de plus a ∈ G et U unvoisinage de e et µ un nombre réel positif tel que ϕ(x) > µ pour tout x ∈ aU. (Toutcela existe car ϕ est continue et non nulle.) Comme F est compact, il existentdes y 1 , y 2 , ..., y m0 ∈ F tels que y 1 U, y 2 U, ..., y m0 U recouvrent F . Si x /∈ supp(f),l’inégalité est triviale. Si x ∈ supp(f) ⊆ F , x se trouve dans un y j0 . Il est maintenantfaçile à voir quef(x) ≤ ‖f‖ ∞µ ϕ(ay−1 j 0x) ≤∑m 0j=1‖f‖ ∞µ ϕ(ay−1 j x)pour tout x dans G.Definissons (f : ϕ) comme etant l’infimum de tout les sommes ∑ mj=1 c j de réels c jpour lesquels l’inégalité 7.1 a lieu. D’après ce qui prècede (f : ϕ) est bien defini etinferieur à m0µ ‖f‖ ∞ . D’autre part on a, si 7.1 a lieu que ‖f‖ ∞ ≤ ∑ mj=1 c j||ϕ|| ∞ , cequi donne en résumé(7.2)||f|| ∞≤ (f : ϕ) ≤ m 0||f|| ∞||ϕ|| ∞ µLes trois assertions suivantes sont triviales :(7.3)(7.4)(7.5)( a f : ϕ) = (f : a ϕ) = (f : ϕ) pour tout a ∈ G;(αf : ϕ) = α(f : ϕ) pour tout α ∈ R;(f 1 + f 2 : ϕ) ≤ (f 1 : ϕ) + (f 2 : ϕ) pour tout f 1 , f 2 ∈ C + 00De plus, si ϕ et ψ sont des fonctions non nuls de C + 00 , on a que(7.6) (f : ψ) ≤ (f : ϕ)(ϕ : ψ)ce qui se montre de façon directe : Si f(x) ≤ ∑ mj=1 c jϕ(s j x) pour tout x ∈ G etϕ(y) ≤ ∑ mk=1 d kψ(t k y) pour tout y ∈ G, alorsm∑ ∑m m∑ m∑f(x) ≤ d k ψ(t k s j y) = c j d k ψ(t k s j y) pour toutx ∈ GAinsij=1c jk=1(f : ψ) ≤m∑j=1 k=1j=1 k=1⎛ ⎞ (m∑m∑ m)∑c j d k = ⎝ c j⎠ d kce qui montre 7.6.Fixons maintenant une fonction f 0 dans C + 00 (qui restera la même au cours du restej=1k=1

GROUPES TOPOLOGIQUES 23de la preuve), et definissons(7.7) I ϕ (f) =(f : ϕ)(f 0 : ϕ)pour toute fonction non nulle ϕ dans C + 00 . Clairement I ϕ(0) = 0 car (0 : ϕ) = 0, etpour f ≠ 0 on a d’après 7.2 que1(7.8)(f 0 : f) ≤ I ϕ(f) ≤ (f : f 0 )A partir des relations 7.3, 7.4 et 7.5 on deduit que(7.9)(7.10)(7.11)(7.12)I ϕ ( a f) = I ϕ (f) pour tout a ∈ G, f ∈ C + 00I ϕ (αf) = αI ϕ (f) pour tout α ∈ R, f ∈ C + 00I ϕ (f 1 + f 2 ) ≤ I ϕ (f 1 ) + I ϕ (f 2 ) pour tout f 1 , f 2 ∈ C + 00I ϕ (f 1 ) ≤ I ϕ (f 2 ) pour tout f 1 , f 2 ∈ C + 00 , f 1 ≤ f 2On utilisera ces propriétés, l’invariance par translation, la sous-linéarité et la monotoniede I ϕ tout au long de la preuve.L’idée de la preuve est de regarder tout les formes I ϕ où ϕ s’annulle en dehors d’unvoisinage U ϕ de e. Lorsque on impose des U ϕ de plus en plus petits, les formesI ϕ s’approchent à une forme limite I, qui satisfait tout les propriétés demandés.L’unicité sera une consequence immediate de cette construction.Les deux lemmes techniques, les points II et III de notre preuve, suivent pour rendreformel tout ce raisonnement. Le premier exprime, que la sous-linéarité de I ϕ , i.e.l’inégalité 7.11, s’approche à la ”vraie” linéarité, lorsque le support de ϕ devient deplus en plus petit.(II) Soient f 1 , f 2 , ..., f m des fonctions non nuls dans C + 00 , et ∆, δ des nombresréels positifs. J’affirme qu’il existe un voisinage U de e tel que⎛ ⎞m∑m∑(7.13)λ j I ϕ (f j ) ≤ I ϕ⎝ λ j f j⎠ + δj=1quelque soit ϕ non nul dans C + 00 s’annulant en dehors de U et quelque soient les0 ≤ λ 1 , λ 2 , ..., λ m ≤ ∆.Pour prouver cette assertion, prenons E une partie compacte de G telle que toutles fonctions f i s’annullent en dehors de E, et prenons V un voisinage compact dee. (G est supposé localement compact). Choissisons de plus une fonction g dans C + 00à valeurs dans [0, 1] qui vaut 1 sur tout le compact EV . (cf. lemme d’Urysohn 3.6pour l’existence de g). Notons M = ∆ max{||f j || ∞ |1 ≤ j ≤ m}. Soit ε un nombrepositif, avec{}δε ≤ Min M,2∆ ∑ mj=1 (f j : f 0 ) , δ2(1 + M)(g : f 0 )Les fonctions f 1 , f 2 , ..., f m sont uniformement continus à droite d’après ??. Quitteà prendre une intersection, il existe un voisinage symmetrique U de e ayant les troispropriétésU ⊆ Vetε 2(7.14) |f j (s) − f j (x)|

24 PETER JOSSENet(7.15) |g(s) − g(x)| < ε si s −1 x ∈ U4MVoyons que le voisinage U satisfait l’assertion 7.13. On choisit alors ϕ ∈ C + 00 non nul,s’annullant en dehors de U, et des nombres λ 1 , λ 2 , ..., λ m dans [0, ∆]. Definissons Φcomme etant la fonction ∑ mj=1 λ jf j + εg, et definissons les fonctions h 1 , h 2 , ..., h mpar{ λjf j(x)Φ(x)si x ∈ Eh j (x) =0 si x /∈ EIl est clair que Φ ∈ C + 00 , avec ||Φ|| ∞ ≤ ∑ mj=1 λ j||f j || ∞ + ε ≤ M + ε < 2M, queh j Φ = λ j f j et que ∑ mj=1 h j ≤ 1. Si s −1 x ∈ U, on a a fortiori par 7.14 et 7.15 quem∑|Φ(s) − Φ(x)| ≤ λ j |f j (s) − f j (x)| − ε|g(s) − (g(x)|(7.16)Voyons maintenant quej=1< m∆ ε34Mm∆ + ε ε24m= ε32M(7.17) |h j (s) − h j (x)| < ε si s −1 x ∈ U j = 1, 2, ..., mmEn effet on a, si x et s sont les deux dans EV , en utilisant 7.14 et 7.16 que|h j (s) − h j (x)| =λ j f j (s)∣ − λ jf j (x)Φ(s) Φ(x) ∣=λ j f j (s)Φ(x) − λ j f j (x)Φ(s)∣ Φ(s)Φ(x) ∣≤∆ ε 2 (|f j(s)Φ(x) − f j (s)Φ(s)| + |f j (s)Φ(s) − f j (x)Φ(s)|)≤ ∆ (ε 3ε 2 ||f j || ∞2M + ||Φ|| ε 3 )∞4Mm∆< ∆ ( M ε 3)ε 2 m∆ 2M + 2Mε34Mm∆= ε mSi, par contre, x /∈ EV , et s −1 x ∈ U, on a s /∈ E, car autrement on aurait x =ss −1 x ∈ EU ⊆ EV . Par consequent, si soit x soit s n’est pas dans EV , on a que|h j (s) − h j (x)| = 0. La relation 7.17 est donc établie.Estimons maintenant (Φ : ϕ). Si nous avonsn∑Φ(x) ≤ c k ϕ(s k x) pour tout x ∈ Gk=1alors, car ϕ s’annulle en dehors de U, nous avons aussi pour x fixé∗∑(7.18) Φ(x) ≤ c k ϕ(s k x)k≥1

GROUPES TOPOLOGIQUES 25la somme étant restreinte sur tout k tels que s k x ∈ U. En combinaisant 7.17 avec7.18 on obtient∗∑ [Φ(x)h j (x) ≤ c k ϕ(s k x) h j (s −1k) + ε ]met doncλ j (x)f j (x) ≤ce qui implique quek=1k≥1m∑ [c k h j (s −1k) + ε ]ϕ(s k x)m(λ j f j : ϕ) ≤m∑ [c k h j (s −1k) + ε ]mk=1pour tout x ∈ GOn somme maintenant sur j = 1, 2, ..., m cette inégalité. Comme ∑ mj=1 h j ≤ 1 onobtientm∑m∑(λ j f j : ϕ) ≤ (1 + ε)j=1Cette inégalité est vraie quelque soient les c 1 , c 2 , ..., c m . On prend l’infimum de tousces sommes ∑ mk=1 c k, ce qui est par définition (Φ : ϕ) :m∑(λ j f j : ϕ) ≤ (1 + ε)(Φ : ϕ)et en divisant par(f 0 : ϕ)(7.19)j=1k=1c km∑I ϕ (λ j f j ) ≤ (1 + ε)I ϕ (Φ)j=1Par la définition de Φ et par la sous-linéarité de I ϕ i.e. les propriétés 7.10 et 7.11,on a⎡ ⎛ ⎞ ⎤m∑m∑λ j I ϕ (f j ≤ (1 + ε) ⎣I ϕ⎝ λ j f j⎠ + εI ϕ (g) ⎦j=1≤≤I ϕ⎛⎝I ϕ⎛⎝m∑j=1m∑j=1j=1λ j f j⎞⎠ + εm∑λ j I ϕ (f j ) + ε(1 + ε)I ϕ (g)j=1λ j f j⎞⎠ + ε∆m∑(f j : f 0 ) + ε(1 + M)(g : f 0 )où la dernière inégalité est obtenue en utilisant la relation 7.8. Vu les conditions surε on a⎛ ⎞m∑m∑λ j I ϕ (f j ) ≤ I ϕ⎝ λ j f j⎠ + δj=1ce qui est notre premier lemme.(III) Soient ε > 0, f une fonction non nulle dans C + 00 et U un voisinage de e dansG tel que |f(x) − f(y)| < ε pour tout x, y ∈ G avec y −1 x ∈ U. Admettons que fs’annulle en dehors du compact E. Soit g une fonction non nulle dans C + 00 nulle enj=1j=1

26 PETER JOSSENdehors de U. Alors pour tout α > ε on peut trouver m ∈ N, des nombres réels nonnégatives c 1 , c 2 , ..., c m non tous nuls et des éléments t 1 , t 2 , ..., t m dans E −1 tels que(7.20)m ∣ f(x) − ∑c j g(t j x)∣ ≤ α pour tout x ∈ Gj=1Pour le prouver, notons d’abord que pour tout x ∈ G on a(7.21) (f(x) − ε)g(s −1 x) ≤ f(s)g(s −1 x) ≤ (f(x) + ε)g(s −1 x)car si s −1 x ∈ U on a |f(x) − f(s)| < ε, et si s −1 x /∈ U on a g(s −1 x) = 0. Choisissonsmaintenant un nombre réel η tel que 0 < η < α−ε(f:g), et un voisinage compact V de etel que |g(u) − g(v)| < η pour tout u, v ∈ G tels que uv −1 ∈ V . Comme f s’annulleen⋃dehors du compact E, on peut trouver des éléments s 1 , s 2 , ..., s m ∈ E tels quemj=1 s jV ⊃ E ⊃ supp(f). Par 3.7 (Partitions de l’Unité) il existent des fonctionsh∑ 1 , h 2 , ..., h m ∈ C + 00 telles que supp(h j) ⊂ s j V pour tout 1 ≤ j ≤ m et telles quemj=1 h j(x) = 1 si f(x) ≠ 0. On a pour tout x, s ∈ G et pour tout 1 ≤ j ≤ m(7.22) h j (s)f(s)(g(s −1 x) − η) ≤ h j (s)f(s)g(s −1j x) ≤ h j (s)f(s)(g(s −1 x) + η)car si s −1js = (s −1jx)(s −1 x) −1 ∈ V , alors ∣ ∣g(s −1 x) − g(s −1jon a s /∈ s j V et alors h j (s) = 0.On somme l’inégalité 7.22 sur j pour obteniret en vertu de 7.21f(s)(g(s −1 x) − η) ≤(f(x) − ε)g(s −1 x) − ηf(s) ≤m∑j=1m∑j=1x) ∣ < η et si s −1j s /∈ Vh j (s)f(s)g(s −1j x) ≤ f(s)(g(s −1 x) + η)h j (s)f(s)g(s −1j x) ≤ (f(x) + ε)g(s −1 x) + ηf(s)Considerons maintenant ψ ∈ C + 00 non nul. D’apres les propriétés 7.9 à 7.12 de I ψon a⎛⎞m∑(7.23) (f(x)−ε)I ψ (ǧ)−ηI ψ (f) ≤ I ψ⎝ h j fg(s −1j x) ⎠ ≤ (f(x)+ε)I ψ (ǧ)+ηI ψ (f)Les relations 7.6 et 7.7 impliquent quej=1I ψ (f)β − α≤ (f : ǧ) =I ψ (ǧ) ηoù β = η(f : ǧ) + ε < α. Si on divise 7.23 par I ψ (ǧ), on arrive à⎛⎞m∑ g(s −1(7.24) f(x) − β ≤ I ψ⎝j x)I ψ (ǧ) h jf⎠ ≤ f(x) + βj=1Utilisons maintenant le résultat de la deuxème étape de la preuve, à savoir 7.13,en choisissant δ = α − β, ∆ = (f 0 : ǧ) ‖g‖ ∞, λ j = g(s−1j x)I ψ (ǧ), et f j = h j f. On peut

GROUPES TOPOLOGIQUES 27donc trouver un voisinage W de e tel que, si ψ s’annulle en dehors de W , l’inégalitésuivante a lieu :⎛⎞m∑ g(s −1j x)m∑I ψ (ǧ) I g(s −1ψ(h j f) ≤ I ψ⎝j x)I ψ (ǧ) I ψ(h j f) ⎠ + α − βj=1j=1ou bien(7.25)⎛m∑∣ I ⎝ψj=1g(s −1j x)I ψ (ǧ) I ψ(h j f)⎞⎠ −m∑j=1I ψ (h j f)I ψ (ǧ) g(s−1 j x)∣ ≤ α − βOn insère 7.24 dans 7.25 pour conclure quem ∣ f(x) − ∑I ψ (h j f)I ψ (ǧ) g(s−1 j x)∣ ≤ αce qui est exactememt 7.20 pourj=1(7.26) c j = I ψ(h j f)I ψ (ǧ)et t j = s −1j . Notre deuxième lemme est démontré.(IV) Montrons enfin l’existence d’une intégrale de Haar. Le filtre des voisinagesde e , qu’on notera F, muni de la relation ⊆ est un ensemble partialement ordonnéfiltrant à droite. Pour chaque voisinage U ∈ F, choisissons une fonction ϕ U ∈ C + 00non nulle telle que supp(ϕ U ) ⊆ U, et notons l’ensemble de ces fonctions Φ. L’ordresur F induit un ordre sur Φ via ϕ U1 ≼ ϕ U2 par définition si et seulement si U 2 ⊆ U 1 .On peut donc voir (I ϕ ) ϕ∈Φ comme etant une suite généralisée dans les formes surC + 00 . On montre qu’elle converge (pour la topologie de la convergence ponctuelle)vers une forme I qui sera l’integrale de Haar cherchée. Vu les points 7.8, 7.10 et7.9, I va satisfaire les conditions I, III et IV demandées, mais aussi la condition IIpar le resultat de l’étape II de la preuve.Pour montrer la convergence ponctuelle, on se choisit un f ∈ C + 00 arbitraire etmontre que la suite (I ϕ (f)) ϕ∈Φ converge. C’est une suite généralisée dans R, et ilsuffit donc de monrer qu’elle est de Cauchy, i.e. que pour tout ε > 0 il existe un ϕ 0tel que ϕ 1 , ϕ 2 ≼ ϕ 0 implique que |I ϕ1 (f) − I ϕ2 (f)| < ε.Prenons un voisinage compact U 0 de e et ω une fonction dans C + 00 qui vaut 1 sur lecompact F = supp(f + f 0 )U 0 . Soit ε un nombre réel avec 0 < ε < 1, etγ =ε4(1 + (ω : f 0 ))(1 + (f : f 0 ))Soit U ⊆ U 0 un voisinage de e tel que à la fois |f(x) − f(y)| < γ 2 et |f 0(x) − f 0 (y)|

28 PETER JOSSENComme f et tout les fonctions tj g s’annullent en dehors de F , on a aussi(7.27)m ∣ f(x) − ∑c j g(t j x)∣ ≤ γω(x) pour tout x ∈ Gj=1Pour chaque ϕ ∈ C + 00 non nul, on obtient à partir de l’inégalité précedente en lascindant en deux parties et en utilisant la sous-linéarité de I ϕ{I ϕ (f) ≤ γI ϕ (ω) + I ϕ ( ∑ mj=1 c j t jg)I ϕ ( ∑ mj=1 c j t jg) ≤ γI ϕ (ω) + I ϕ (f)ce qui donne(7.28)⎛ ⎞m∑∣ I ϕ(f) − I ϕ⎝ c j tj g⎠∣ ≤ γI ϕ(ω) ≤ γ(ω : f 0 )j=1la deuxième inégalite provenant de 7.8. On choisissait les c j à partir de 7.26, etcomme h j f ≤ f on a0 < c j = I ψ(h j f)I ψ (ǧ)≤ I ψ(f)≤ (f : ǧ)I ψ (ǧ)On applique maintenant le premier lemme avec f j = tj g, λ j = c j , ∆ > (f : ǧ)et δ = γ. Il nous fournit un voisinage V de e dans G tel que, si ϕ ∈ C + 00 , ϕ ≠ 0s’annulle en dehors de V , l’inégalite suivante a lieu :⎛ ⎞ ⎛ ⎞m∑m∑(7.29)∣ I ⎝ϕ c j tj g⎠ − I ϕ (g) ⎝ c j⎠∣ < γj=1Notons c = ∑ mj=1 c j. Il faut combiner 7.28 et 7.29 pour aboutir àj=1(7.30) |I ϕ (f) − cI ϕ (g)| < γ(1 + (ω : f 0 ))Cette inégalité est vraie pour tout f ∈ C + 00 non nul, donc en particulier pour la”fonction de base” f 0 . Par consequent il existent un voisinage V 0 de e et un d > 0tels que (on n’oublira pas que I ϕ (f 0 ) = 1)(7.31) |1 − dI ϕ (g)| < γ(1 + (ω : f 0 ))pour tout ϕ ∈ C + 00 non nul à support dans V 0. On combine maintenant 7.30 et 7.31”in an obvious way” :∣ I ϕ (f)∣∣∣∣ − I ϕ (g)c ∣ + − 1 (d + I ϕ(g)1∣ < c + 1 )γ(1 + (ω : f 0 ))dce qui fait(7.32)∣ c d − I ∣ϕ(f)∣ < γ(1 + (ω : f 0 ))(1 + c )dsous la condition que ϕ ∈ C + 00 , ϕ ≠ 0 et supp(ϕ) ⊆ V ∩ V 0. Ainsicd (1 − γ(1 + (ω : f 0))) < I ϕ (f) + γ(1 + (ω : f 0 ))etcd < I ϕ(f) + γ(1 + (ω : f 0 ))1 − γ(1 + (ω : f 0 ))

GROUPES TOPOLOGIQUES 29etcd + 1 < I ϕ (f) + 11 − γ(1 + (ω : f 0 ))Vu que (f : f 0 ) = (f:f0)(f0:ϕ)(f 0:ϕ)≥ (f:ϕ)(f 0:ϕ) = I ϕ(f) on ace qui donne en résuméI ϕ (f) + 11 − γ(1 + (ω : f 0 )) ≤ (f : f 0) + 1ε1 −4(1+(f:f 0))≤ 2(1 + (f : f 0 ))cd + 1 < I ϕ (f) + 11 − γ(1 + (ω : f 0 )) ≤ 2(1 + (f : f 0))Cette éstimation, combinée avec 7.32 donne∣∣I ϕ (f) − c ∣ < γ(1 + (ω : f 0 ))2(1 + (f : f 0 )) = ε d2Pour tout ϕ ∈ C + 00 , ϕ ≠ 0 et supp(ϕ) ⊆ V ∩ V 0. Pour n’importe deux fonctions ϕ 1 ,ϕ 2 satisfaisant cette condition, on a|I ϕ1 (f) − ϕ 2 (f)| ≤ εcomme demandé. La suite (I ϕ (f)) ϕ∈Φ converge donc vers une (et une seule) limiteI, qui a toutes les propriétés demandées, comme éxpliqué au début de cette étape.(V) oyons encore que deux intégrales de Haar à gauche ne diffèrent que par unfacteur constant. Soit J une forme nonnégative satisfaisant les conditions (II), (III)et (IV) de l’énoncé, et montrons que J = cI. C’est trivial pour J = 0. Supposonsdonc que J(f 1 ) > 0 pour un f 1 ∈ C + 00 (sans perte de généralisation, quitte àconsiderer −J au lieu de J). Pour tout f ≠ 0 dans C + 00 on a pour des s 1, s 2 , ..., s m ∈G et des c 1 , c 2 , ..., c m ∈ R + suitables que f 1 ≤ ∑ mj=1 c j s jf, et donc J(f 1 ) ≤J(f) ∑ mj=1 c j ce qui nous montre que J(f) > 0 pour tout f ∈ C + 00 .Choisissons un g ∈ C + 00 non nul, des s j et des c j tels qu’on ait ces deux inégalités :f 1 ≤ ∑ mj=1 c j s jg et J(f 1 ) ≤ J(g) ∑ mj=1 c j. Par consequent(7.33) (f 1 : g) ≥ J(f 1)J(g)Appliquons le deuxième lemme : Pour tout ε > 0 et tout f ∈ C + 00 non nul il existeun voisinage U de e avec la propriété suivante : Si g est une fonction non nulledans C + 00 à support contenu dans U, alors il existent des t 1, t 2 , ..., t m ∈ G et desc 1 , c 2 , ..., c m ∈ R + tels quem∑m∑f(x) ≤ ε + c j g(t j x) et f(x) + ε ≥ c j g(t j x)j=1pour tout x ∈ G. La réunion des supports de f et des tj g est une partie compactede G car c’est une réunion finie de compacts. Choisissons un ω ∈ C + 00 qui vaut 1 surcette réunion. On ne change rien aux inégalités precedents si on posem∑(7.34) f(x) ≤ εω(x) + c j g(t j x)j=1j=1

30 PETER JOSSENet(7.35) f(x) + εω(x) ≥ce qui tient pour tout x ∈ G. 7.34 impliquem∑c j g(t j x)j=1(7.36) (f : g) ≤ ε(ω : g) +m∑j=1En appliquant J aux deux côtes de 7.35 on obtientm∑J(f) + εJ(ω) ≥ J(g)Avec 7.36 et 7.6 on a()(ω : f)(7.37) J(f) + εJ(ω) ≥ 1 − ε (f : g)J(g) ≥ (1 − ε(ω : f)) (f : g)J(g)(f : g)Considerons une fonction non nulle f 1 ∈ C + 00 , et divisons 7.37 par J(f 1).(7.38)j=1J(f)J(f 1 ) + ε J(ω)(f : g)≥ (1 − ε(ω : f))J(f 1 ) (f 1 : g) = (1 − ε(ω : f)) I g(f)I g (f 1 )Cela est vrai pour tout les g ∈ C + 00 tels que supp(g) ⊆ U. Comme montré dans (IV),on peut faire un passage à la limite, ce qui donneJ(f)J(f 1 ) + ε J(ω)I(f)≥ (1 − ε(ω : f))J(f 1 ) I(f 1 )et en faisant ε → 0J(f)J(f 1 ) ≥ I(f)I(f 1 )pour tout f et f 1 ∈ C + 00 . Comme f et f 1 sont arbitraires, on peut changer les rôlesde f et f 1 , pour conclure quepour tout f ∈ C + 00 .J(f) = J(f 1)I(f 1 ) I(f)Il y a une unique extension de I en une forme linéaire sur le C-espace vectorielC 00 . Cette extension est nécessairement invariant par translation à gauche. On notecette extension toujours avec I et on l’appelle ”intégrale de Haar sur G à gauche”.c jc j□8. Théorèmes de StructureLemme 8.1. Soit G un groupe topologique Abélien, H un sous-groupe ouvert de Get D un groupe Abélien divisible. Soit ϕ un homomorphisme de H dans D. Alorsϕ se prolonge sur G tout entier.Démonstration. Par le lemme 2.3 on sait que ϕ s’étend en un homomorphisme ψdéfini sur tout G. Tout ces prolonguements sont aussi continus, car ils sont deshomomorphismes continus sur un voisinage de e, à savoir H.□Lemme 8.2. Soit G un groupe topologique et dénombrable, localement compact etde Hausdorff. Alors G est discret.

GROUPES TOPOLOGIQUES 31Démonstration. G est la réunion de tout ses éléments, qui sont (vus comme singletons)tous fermés par hypothèse. C’est une réunion dénombrable. Comme G estrégulier et localement compact, le théorème de Baire (3.8) permet de conclure queau mois un parmi les singletons a un intérieur non vide. Il est donc ouvert, et parhomogénéité de G, tout singleton est ouvert, idem est G est discret.□Définition 8.3. Un groupe topologique est apellé ”monothetic” s’il contient unsous-groupe cyclique dense.Lemme 8.4. Soit G un groupe topologique localement compact et monothetic, ceta dire que le sous-groupe cyclique engendré par un x ∈ G est dense dans G. Alorsou bien G est compact ou bien isomorphe à Z. Dans le premier cas, {g, g 2 , g 3 , ...}est dense dans G.Démonstration. Supposons que G n’est pas isomorphe à Z, et montrons que dansce cas G est compact. Cela se fait en deux étapes.(I) g N est dense dans G. Soit U un ouvert non-vide de G. Comme par hypothèseg Z est dense dans G, on peut trouver n ∈ Z avec g n ∈ U. Soit V un voisinagesymmetrique de e tel que g n V ⊆ U. Si on aurait un K ∈ N tel que{k ∈ N | n > K et g k ∈ V } = ∅alors g Z ∩ V = g Z∩[−K,K] ∩ V par symmetrie de V . Contrairement à l’hypothèse,g Z contiendra un ouvert fini, sera donc discret et isomorphe à Z. On conclut qu’untel K n’existe pas, et en particulier qu’on a un m ∈ N avec m > |n| et g m ∈ V .Cela termine la première étape, car ainsi n + m ∈ N et g n+m ∈ g n V ⊆ U, et doncU ∩ g N ≠ ∅.(II) Pour montrer la compacité de G, choisissons un vosinage compact C de e dansG, et trouvons une partie finie F ⊂ N telle que g F C = G, ce qui terminera la preuve,car une réunion finie de compacts est compacte. Soit U un voisinage symmetriquede e contenu dans C. Vu que g N est dense dans G, on a que g N U recouvre G. Cettefamille est aussi un recouvrement ouvert de C, et comme C est compact, il existeun sous-ensemble fini F = {1, 2, ..., k} ⊂ N tel que g F U recouvre C. Ayant ceci,prenons un élement arbitraire x ∈ G, et posonsm = min{n ∈ N | g n ∈ xU}Ainsi x −1 g m ∈ U ⊆ C ⊆ g F U. Il existe donc un f ∈ F tel que x −1 g m ∈ g f U, idemest g m−f ∈ xU. Par minimalité de m on a m − f ≤ 0, ce qui donne m ≤ f ≤ k, etx ∈ g m U −1 = g m U ⊆ g F C.□9. Le groupe dualL’ensemble {x ∈ C| |x| = 1} est un sous - groupe topologique du groupe topologiqueC ∗ pour la topologie usuelle. On le note T, et on l’appelle tore de dimension 1.Il est vite verifié que T ∼ = R/Z. La topologie sur T, qu’on peut voir comme etantla topologie induite par C ∗ ou bien comme topologie venant du quotient R/Z estmétrisable. On munit le tore de la métrique suivante, qui est compatible avec satopologie :{ }1d(x, y) = inf2π |arg(x) − arg(y) + 2kπ| | k ∈ Z

32 PETER JOSSENOn remarque que d(x, y) ≤ 1 2 pour tout x, y ∈ T. Pour δ ≥ 0 on note B δ la bouleouverte de centre 1 er de rayon δ dans l’espace métrique T. Il est tout a fait clairque pour tout δ, δ ′ ∈ R on a B δ B δ ′ = B δ+δ ′, et que B δ −1 = B δ .Comme déjà défini, un caractère sur un groupe est un homomorphisme de ce groupevers T. Il est tout a fait possible de définir un caractère comme homomorphismedans R/Z, vu l’isomorphisme. Le seul avantage ou désavantage selon la situationest qu’on est habitué de noter T multiplicativement et R/Z additivement.Retenons le fait utile queProposition 9.1. Un sous-groupe de T contenu dans B 13ce qui est facil à voir. En effet, 1 3assertion est vraie.est trivial.est le plus grand nombre pour lequel cetteDéfinition 9.2. Soit G un groupe topologique. On appelle l’ensemble de tout lescaractères continus sur G, muni du produit ponctuel, le groupe dual de G. On lenote ĜIl est tout a fait clair que l’ensemble de tout les caractères continus sur G, munidu produit ponctuel, forme un groupe Abélien. C’est un sous-groupe du groupe descaractères sur G. L’unité de Ĝ est donc le caractère trivial qui vaut 1 sur tout G(ce qui montre en passant que l’ensemble n’est pas vide).On aimerait maintenant construire une topologie avec des bonnes propriétés surĜ. Une, qui est compatible avec les operations dans Ĝ, i.e. telle que Ĝ devientun groupe topologique, et qui contient un maximum d’information possible surla strucure de G. La nature des choses le veut qu’il n’y a qu’un choix : C’est latopoloqie de la convergence locale uniforme. (A expliciter...)Theorème 9.3. Soit G un groupe topologique Abélien localement compact. La familleV = ⋃ }{{χ ∈ Ĝ | χ(A) ⊆ U}A,Uou A parcourt les parties compactes de G et U un système fondamental U de 1 dansT est un système fondamental de l’unité pour une topologie sur Ĝ. Ĝ muni de latopologie prolongeant V (selon 5.12) est un groupe topologique Abélien localementcompact.Démonstration. Vérifions que V satisfait les conditions du théorème 5.12. Pourcela, il est commode de noterW (A, U) = {χ ∈ Ĝ | χ(A) ⊆ U}On remarque que W (A, U 1 )W (A, U 2 ) ⊆ W (A, U 1 + U 2 ) et que W (A, U) −1 =W (A, U −1 ). Il est aussi une consequence directe de la définition de W que A 1 ⊆ A 2entraine W (A 1 , U) ⊇ W (A 2 , U) et que U 1 ⊆ U 2 entraine W (A, U 1 ) ⊆ W (A, U 2 )Avec ça, on vérifie aisement les points (I) à (V) du théorème 5.12 :I: est clair car χ 0 (G) = {1} ⊂ U pour tout U ∈ UII: aussi, car W (A 1 ∪ A 2 , U 1 ∩ U 2 ) ⊆ W (A 1 , U 1 ) ∩ W (A 2 , U 2 )III: est vrai car W (A, δ 2 )W (A, δ 2 )−1 ⊆ W (A, δ)IV: car χW (A, δ − max{χ(A)}) ⊆ W (A, δ) pour tout χ ∈ W (A, δ)V: automatiquement, car Ĝ est commutatif.

GROUPES TOPOLOGIQUES 33Le maximum dans (IV) est justifié, et inferieur à δ car χ est continu et A compact.Reste à voir que Ĝ est localement compact. Montrons cela d’abord dans le cas ouG est discret et apres dans le cas général.(I) Si G est discret, tout les caractères sur G sont continus. La topologie sur Ĝest la topologie de la convergence ponctuelle, vu que les seuls ensembles compactsd’un espace discret sont les ensembles finis. Par Tichonov, l’espace T G de toutles fonctions de G vers T muni de la topologie de la convergence ponctuelle estcompact. Il nous suffit ainsi de montrer que Ĝ est fermé dans TG . Soit f ∈ T G \Ĝ.Il existent alors x 1 , x 2 ∈ G tels que f(x 1 )f(x 2 ) ≠ f(x 1 x 2 ). Choisissons 0 < ε 0. Prenons V un voisinage de e dans G tel que V k ⊆ A.Ainsi pout tout x ∈ V on a k |χ(x) − 1| ≤ ∣ χ(x k ) − 1 ∣ ≤ δ□Sauf mention du contraire, on parlera de LA topologie sur Ĝ pour faire référenceà la topologie qu’on vient de décrire.Corollaire 9.4. Un système fondamental de la topologie sur Ĝ est donné par{W (C, U) | C compact dans G, U ouvert dans T}Cela est facile à voir. Le thèorème suivant est un premier par vers le théorèmede dualité :Theorème 9.5. Le groupe dual d’un groupe discret est compact, et le groupe duald’un groupe compact est discret.Démonstration. Supposons d’abord que G soit discret, et montrons que Ĝ est compact.Comme les parties compactes de G sont exactement les parties finies, la topologiesur Ĝ a comme base les{W (C, U) | C fini dans G, U ouvert dans T}ce qui n’est rien d’autre que la topologie de la convergence ponctuelle. T etantcompact, le théorème de Tychonoff permet de conclure que l’ensemble de toutesles fonctions de G dans T, qu’on notera T G est compact. Il suffit donc de voir quel’ensemble des caractères (automatiquement continus) sur G est fermé dans T G .Posons pour cela M(x, y) = {f ∈ T G | f(ab) = f(a)f(b)} pour tout x, y ∈ G.Comme f est continu, M(x, y) est fermé. Ainsi on obtient queĜ =⋂M(x, y)x,y∈G

34 PETER JOSSENest fermé.Supposons maintenant que G est compact, et montrons que Ĝ est discret. Pour celail suffit de voir que l’ouvert W (G, B 1 ) ne contient que le caractère trivial. Mais cela3est evident car pour tout x ∈ G, le sous-groupe de T donné par{χ(x) | χ ∈ W (G, B 13 )} ⊆ B 1 3est trivial, et donc χ(x) = 1 pour tout χ ∈ W (G, B 1 ) et tout x ∈ G. □3Nous avons déjà maintenant tout les moyennes en main pour décrire le groupedual d’un groupe discret, idem est le groupe des caractères d’un ”groupe algèbrique”.Prenons un groupe discrèt G, et désignons avec F la famille de toutes les sousgroupesde type fini de G. Cet ensemble est ordonné de manière naturelle parl’inclusion, et cet ordre est filtrant à droite, vu que EF est de type fini si E etF le sont. Pour tout sous-groupes de type finis avec E ⊂ F , on a un homomorphismef EF : ̂F → Ê via f EF (χ) = χ| E . On a donc un système projéctif de groupescompacts(F⊆ , ( ̂F ) F ∈F , (f EF ) E⊂F)Ce système projéctif est même strict, car tout caractère sur E ⊂ F peut être étenduen un caractère sur F , ce qui montre que f EF est surjéctif. Pour tout F posonsf F : Ĝ → ̂F via f F (χ) = χ| F . J’affirme que l’application ϕ : Ĝ → lim ̂F F ∈F définiepar ϕ(χ) F = f F (χ) est un isomorphisme. Dans ce sens :Theorème 9.6. Le groupe dual Ĝ d’un groupe discret G est isomorphe à la limiteprojéctive stricte des groupes duaux des sous-groupes de type finis de G :Ĝ ∼ =lim ̂FF de type finiDémonstration. L’application ϕ est clairement un homomorphisme de Ĝ dans lalimite projéctive lim F ̂F . Un caractère χ ∈ Ĝ est dans le noyeau de ϕ si χ| F esttrivial pour tout F ∈ F. Mais comme G = ∪F, on a dans ce cas que χ = χ 0 , ce quinous montre l’injéctivité de ϕ. Reste à voir la surjéctivité. Choisissons ψ ∈ lim F ̂F .Par la définition des bonding maps on a pour tout paire E, F ∈ F avec E ⊂ F queψ F | E = ψ E . Cela nous permet de construire une préimage χ de ψ comme suit :Choisissons pour tout g ∈ G un F ∈ F tel que g ∈ F . Par ce qui précède, ψ F (g)ne depend pas du choix de F . On peut donc définir χ(g) = ψ f (g). Pour vérifierque χ est un caractère, prenons g, h ∈ G, et un sous-groupe F de G de type finicontenant g et h. Ainsi χ(gh) = ψ F (gh) = ψ F (g)ψ F (h) = χ(g)χ(h). Clairementon a χ| F = ψ F , et donc ϕ(χ) = ψ. Ainsi ϕ est bijéctive et un isomorphisme degroupes.La continuité de ϕ et ϕ −1 est une consequence immediate des définitions. □Supposons maintenant que G est limite projéctive stricte de groupes Abélienscompacts : G = lim j∈J G j , avec applications de limite h j : G → G j . Tout caractèreχ : G j → T donne un caractére sur G par composition avec l’appplication limiteχ ◦ h j : G → T. Car h j est surjéctive, on a injéctivité deι : Ĝj → Ĝ défini par χ ↦→ χ ◦ h jDans ce sens, nous identifions Ĝi à un sous-groupe de Ĝ, et osons écrire Ĝj ⊆ Ĝ.Avec cette convention, nous avons

GROUPES TOPOLOGIQUES 35Proposition 9.7. Soit G une limite projéctive stricte : G = limj∈JG j . AlorsĜ = ⋃ j∈JĜ jDémonstration. Avec l’identification de Ĝj comme sous-groupe de Ĝ, il suffit demontrer que Ĝ ⊆ ⋃ j∈J Ĝj. Choisissons donc un χ ∈ Ĝ, et posons U = χ−1 (B 1 ).3Par coutinuité de χ, U est un ouvert. Par 6.25, il existe un j ∈ J tel que ker h j ⊆ U.Ainsi, χ(ker h j ) est un sous-groupe de T contenu dans B 1 , donc réduit à {1}.3Par consequent ker h j ker χ, et on a un unique homomorphisme χ j : G j → T telque χ = χ j ◦ h j . Avec la convention faite, cela n’est rien d’autre que χ ∈ Ĝj, etdonc Ĝ ⊆ ⋃ j∈J Ĝj.□Proposition 9.8. Soient (G i ) i∈I une famille de groupes topologiques. Alors un aun isomorphisme canoniquê⊕ ⊕G i∼ =i∈IDémonstration. Associons à tout caractère χ sur ⊕ i∈I G i la famille φ(χ) ∈ ⊕ i∈I Ĝidéfinie parϕ(χ) i = χ| GiClairement ϕ est un homomorphisme de groupes injéctif. ϕ est aussi surjéctif :Etant donné une famille de caractères (χ i ) i∈I dans ⊕ i∈I Ĝi, definissonsi∈IĜ iϕ −1 ((χ i ) i∈I )(g)Définition 9.9. Soit G un groupe topologique et H ⊆ G. On appelle annihilateurde H l’ensembleAnn(H) = {χ ∈ Ĝ | χ(h) = 1 pour tout h ∈ H}Proposition 9.10. Ann(H) est un sous groupe fermé de Ĝ.Définition 9.11. Soient G et H des groupes topologiques, f : G → H un homomorphismecontinu. On note ̂f l’application ̂f : Ĥ → Ĝ donnée par ̂f(ψ) = ψ ◦ f,et on appelle ̂f l’homomorphisme dual de f.Theorème 9.12. Soient G et H des groupes topologiques localement compacts, etf : G → H un homomorphisme continu. Alors les assertions suivantes sont vraies :I: ̂f est un homomorphisme continu de Ĥ dans Ĝ.II: Si f est surjéctif, alors ̂f est injéctif et bicontinu.III: ker f = Ann G ( ̂f(Ĥ)).IV: Si f est surjéctif, alors ̂f(Ĥ) = Ann Ĝ(ker f)V: Si f est injéctifDémonstration. Un point après l’autre, sans pitié...(I) Quelque soit ψ ∈ Ĥ, l’application ̂f(ψ) = ψ ◦ f est un homomorphisme□

36 PETER JOSSENcontinu de G dans T, car c’est une composition d’homomorphismes continus. On adonc bien que ̂f(ψ) ∈ Ĝ. Vu quêf(ψ 1 ψ 2 )(x) = ψ 1 (f(x))ψ 2 (f(x)) = ̂f(ψ 1 )(x) ̂f(ψ 2 )(x)pour tout x ∈ G on a ̂f(ψ 1 ψ 2 ) = ̂f(ψ 1 ) ̂f(ψ 2 ). De même on âf(ψ 0 )(x) = ψ 0 (f(x)) = 1pour tout x ∈ G ce qui montre que ̂f(ψ 0 ) = χ 0 . ̂f est donc un homomorphisme.Pour établir la continuité de ̂f, prenons un ouvert W (C, U) dans Ĝ. J’affirme queψ ∈ W (f(C), U) entraine que ̂f(ψ) ∈ W (C, U). En effetψ ∈ W (f(C), U) =⇒ ψ(f(C)) ⊆ U =⇒ ̂f(ψ(C)) ⊆ U =⇒ ̂f(ψ)) ∈ W (C, U)ce qui montre la continuité de ̂f, car les W (C, U) forment un système fondamentalde la topologie sur Ĝ.(II) Supposons que f est surjéctif. Alors ̂f est injéctif, vu quêf(ψ) = χ 0 =⇒ ψ(f(x)) = 1 ∀x ∈ G =⇒ ψ(y) = 1 ∀y ∈ H =⇒ ψ = ψ 0Reste à voir la continuité de ̂f −1 . Prenons un ouvert W (C ′ , U) dans Ĥ, et choisissonsun compact C dans G tel que C ′ ⊆ f(C). J’affirme que ̂f(ψ) ∈ W (C, U)entraine que ψ ∈ W (C ′ , U). En effet̂f(ψ) ∈ W (C, U) =⇒ ψ(f(C)) ⊆ U =⇒ ψ(C ′ ) ⊆ U =⇒ ψ ∈ W (C ′ , U)ce qui montre la continuité de ̂f, car les W (C ′ , U) forment un système fondamentalde la topologie sur Ĥ(III) ⊆ : Choisissons un x ∈ ker f. A voir que pour tout ψ ∈ Ĥ on a ̂f(ψ)(x) = 1.Mais evidamment ̂f(ψ)(x) = ψ(f(x)) = ψ(e) = 1.⊇ : Choisissons un x ∈ Ann G ( ̂f(Ĥ)). A voir que x ∈ ker f. Or ̂fψ(x) = ψ(f(x)) = 1pour tout ψ ∈ Ĥ on a d’après 10.13 que f(x) = e, i.e. x ∈ ker f.(IV) ⊆ : Choisissons ψ ∈ Ĥ et montrons que ̂f(ψ)(x) = 1 pour tout x ∈ ker f.Effectivement ̂f(ψ)(x) = ψ(f(x)) = ψ(e) = 1.⊇ : Choisissons χ ∈ Ann(ker f). χ est donc constant sur les classes modulo ker f,ce qui permet de définir ψ(y) = χ(f −1 (y))□Lemme 9.13. Soit H un sous-groupe topologique de G. Alors on a des isomorphismescanoniquesĤ ∼ = Ĝ/Ann(H)Ĝ/H ∼ = Ann(H)10. Analyse harmoniquePour ce chapitre on se fixe un groupe topologique localement compact G. Onécrira C + 00 , L1 , ... au lieu de C + 00 (G), L1 (G), ...Le resultat principal du chapitre précédent est que le groupe dual de G est localementcompact. Dans ce cas, les deux groupes G et Ĝ admettent une integrale deHaar. Le théorème d’inversion de Fourier, resultat central de ce chapitre, exprimecomment ces deux intégrales sont liées.

GROUPES TOPOLOGIQUES 37Définition 10.1. Soient f, g deux fonctions intégrables sur tout compact de Gpour une mesure de Haar dy sur G. On définit le produit de convolution∫f ∗ g(x) = f(y)g(y −1 x)dypour tout x ∈ G pour lesquels cette quantité existe.Proposition 10.2. Les assertions suivantes sont vraies :I: Si f ∗ g(x) existe, alors g ∗ f(x) aussi et f ∗ g(x) = f ∗ g(x).II: Si f ∈ L 1 et g ∈ L ∞ , alors f ∗ g est borné et uniformement continu.III: Si f, g ∈ C 00 , alors f ∗ g ∈ C + 00 et supp(f ∗ g) ⊆ supp(f)supp(g)IV: Pour 0 < p < ∞, 1/p + 1/q = 1, f ∈ L p , g ∈ L q on a f ∗ g ∈ C 0 .V: Si f, g ∈ L 1 , alors f ∗ g existe Haar-presque partout et de plus on al’inégalité ‖f ∗ g‖ 1≤ ‖f‖ 1‖g‖ 1.VI: Si f, g, h ∈ L 1 , alors (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).VII: Si G est Abélien et f ∗ g(x) existe, alors f ∗ g(x) = g ∗ f(x)Démonstration. Tout par calcul direct.Définition 10.3. On appelle une fonction φ sur G ”définie positive” si elle estcontinue, et si pour tout c 1 , c 2 , ..., c n ∈ C et tout x 1 , x 2 , ..., x n ∈ G on an∑c i φ(x −1i y j )c j ≥ 0i,j=1On note P 0 l’ensemble des fonctions φ de type positif avec ‖φ‖ ∞≤ 1, et P l’ensemblede tout les combinaisons linéaires complexes de fonctions définies positifes.Voyons tout de suite les propriétés fondamentales de ces fonctions :Proposition 10.4. Soit φ, ψ des fonctions définies positives sur G, et c ≥ 0 unnombre réel. Alors les assertions suivantes sont vraies :I: Les fonctions φ + ψ, φ et cφ sont definies positives.II: φ(x −1 ) = φ(x)III: |φ(x)| ≤ φ(0) pour tout x ∈ GIV: ∫∫ f(x)φ(x −1 y)f(y)dxdy ≥ 0Démonstration. La première assertion s’obtient par calcul direct. Pour la deuxième,il suffit de choisir x 1 = x et x 2 = e, car ainsic 1 φ(e)c 1 + c 1 φ(x −1 )c 2 + c 2 φ(x)c 1 + c 2 φ(e)c 2 ≥ 0c 1 φ(e)c 1 + c 1 φ(x −1 )c 2 + c 2 φ(x)c 1 + c 2 φ(e)c 2 ≥ 0Les fonctions définies positives ont plusieurs aspects interessants. Un premier estcelui-ci : Pour deux fonctions f et g ∈ C 00 , et une fonction définie positive φ fixéeécrivons∫∫[f, g] φ = f(x)φ(x −1 y)g(y)dxdyC’est une forme sésquilinéaire définie positive sur l’espace vectoriel C 00 . NotonsK φ le sous-espace vectoriel {f ∈ C 00 | [f, f] φ = 0}, et notons f la classe de la□□

38 PETER JOSSENfonction f ∈ C 00 dans le quotient C 00 /K φ . Dans ce quotient, on obtient par cetteconstruction une véritable norme de Hilbert, donnée par√[f, f] φ = ∥ ∥f ∥ φpour tout f ∈ C 00 /K φ(C’est d’ailleurs une seminorme sur C 00 .) Lorsque on complète C 00 /K φ pour lanorme ‖·‖ φ, on obtient un espace de Hilbert, qu’on notera H φ .Considerons les opérateurs U s sur H φ , définis par U s f = s f pour tout s ∈ G. LesU s sont des opérateurs unitaires, car evidamment U s U s −1 = U s −1U s = 1, ce quinous fournit une représentation unitaire de G dans H φ , donnée pars → U sLe théorème suivant est du à Gelfand et Raïkov.Theorème 10.5. Toute fonction définie positive égale à une fonction de la formeφ(x) = [X, U s X], ou [·, ·] designe un produit scalaire dans un espace de Hilbertconvenanble.Démonstration. Notons V le filtre de voisinages de e. Choisissons pour tout voisinageV de e une fonction g V ∈ C + 00 à support dans V et telle que ∫ g(x)dx = 1.La suite de mesures positives (g V dx) V ∈V converge ponctuellement vers la masse deDirac en e, notée δ e . La suite des (g V ) V ∈V dans H φ converge ponctuellement versun élément ε ∈ H φ car [g, g] φ reste borné. On obtient :[f, U s ε] φ = lim [f, U s g V ] φ = limV ∈V∫∫=V ∈V∫∫f(x)φ(x −1 y)g V (s −1 y)dxdy∫f(x)φ(x −1 y)dxδ s (y) = f(x)φ(s −1 x)dxPour tout f, g dans C 00 on a∫∫[f, g] φ = f(x)φ(x −1 y)g(y)dxdy =∫∫∫f(x)φ(y −1 x)dxg(y)dy = [f, U y ε] φ g(y)dyOr les termes dans cette dernière equation dependend uniformement continumentde f et de g, elle subsiste pour des f, g dans H φ . Lorsque on fait la spécialisationf = ε, on obtient :∫ ∫φ(x)g(x)dx = [ε, g] φ =[ε, U y ε] φ g(y)dypour tout g ∈ C 00 , ce qui entraine queφ(x) = [ε, U x ε] φComme φ est continue, on a égalité.Haar-presque partout□Le théorème de Bochner fait une première liaison entre les fonctios définies positifeset les caractères continus.Theorème 10.6. Une fonction φ sur G est définie positive si et seulement si elleest égale à une fonction de la forme φ(x) = ∫ χ(x)dµ(χ) pour une certaine mesurenon-négative µ sur Ĝ.

GROUPES TOPOLOGIQUES 39Démonstration. Fixons une fonction de type positive φ et définisonns une formelinéaire T φ : C 00 → C par∫T φ (f) = f(x)φ(x)dxpour tout f continu à support compact. Observons que, avec les notations introduitesdans la preuve du théorème précédent [f, g] φ = T φ (f ∗ ˜g). L’inégalité deCauchy-Schwarz, appliquée aux ”vecteurs” f et ε fournit|T φ (f)| 2 = [f, ε] 2 φ ≤ [f, f] φ [ε, ε] φ = T φ (f ∗ ˜f)Posons maintenant h = f ∗ ˜f et recursivement h ∗n = h ∗(n−1) ∗ h. Comme ‖φ‖ ∞= 1on obtient, avec l’inégalité précédente|T φ (f)| 2 ≤ T φ (h) ≤ T φ (h ∗2 ) 1 2 ≤ Tφ (h ∗4 ) 1 ∥4 · · · ≤ Tφ (h ∗2n ) 2−n ≤ ∥h ∗2n∥ 2∥ −nSi n → ∞, cette dernière quantité converge vers le rayon spectral de h, à savoir∥∥ĥ ∥ . On a donc les inégalités∞|T φ (f)| 2 ∥≤ ∥ĥ ∥ = ∥ ̂f∥∞∥ 2 ∞ou bien|T φ (f)| ≤ ∥ ̂f∥Cela dit que T φ est une forme linéaire bornée sur A(Ĝ) pour la norme ‖·‖ ∞ . Nouspouvons étendre T φ sur C 0 (Ĝ), en préservant la norme. Par le théorème de Riesz,il existe une unique mesure µ sur Ĝ avec ‖µ‖ ≤ 1 et telle que∫∫ ∫T φ (f) = ̂f(χ)dµ(χ) = f(x)dx χ(x)dµ(χ)pour tout f ∈ C 0 (Ĝ) On remplace T φ par sa définition pour aboutir à∫∫ (∫)f(x)φ(x)dx = f(x) χ(x)dµ(χ) dxpour tout f ∈ C 0 (Ĝ), ce qui montre que φ(x) = ∫ χ(x)dµ(χ) Haar presque partout.Par continuité des deux membres on a égalité stricte.Observons finalement qu’on obtient lorsque on spécialise x = e∫1 = φ(0) = dµ(χ) = µ(Ĝ) ≤ ‖µ‖ = 1∥∞ce qui montre que µ(Ĝ) = 1, donc que µ est une mesure non-négative. □Définition 10.7. On appelle une fonction définie positive φ ”élémentaire” si φ(e) =1 et si elle jouit de la propriété suivante : Pour tout fonctions φ 1 , φ 2 ∈ P 0 , la relationφ = φ 1 + φ 2 entraine que φ 1 = λφ et φ 1 = (1 − λ)φ pour un nombre réel 0 ≤ λ ≤ 1.Theorème 10.8. Pour qu’une fonction définie positive φ avec φ(e) = 1 soitélémentaire, il faut et il suffit que la représentation unitaire de G dant H φ soitirréductible.Démonstration. Il faut voir qu’une fonction de type positif φ avec φ(e) = 1 est estélémentaire si et seulement si {0} et H φ sont les seuls sous-espaces véctoriels fermésde H φ invariants par tout opérateur U s .=⇒ : Si φ est élémentaire, tout opérateur de projéction orthogonale A permutable

40 PETER JOSSENavec les U s est nécessairement l’identité I dans H φ (personne ne bouge) ou 0 (toutle monde sur 0). Permutons :φ(x) = [ε, U x ε] φ = [Aε, U x ε] φ + [ε − Aε, U x ε] φ= [Aε, U x Aε] φ + [ε − Aε, U x (ε − Aε)] φLe dernier membre est une somme de deux fonctions se trouvant dans P 0 , donc,par hypothèse [Aε, U x ε] φ = λ[ε, U x ε] φ , et alors A = λI. Or A 2 = A, ceci exige queλ = 1 ou λ = 0, ce qu’il fallait voir.Supposons maintenant irreductible la representation s → U s dans H φ , et décomposonsφ en φ 1 +φ 2 , avec φ 1 , φ 2 ∈ P 0 . On aura, pour tout f ∈ C 00 que [f, f] φ1 ≤ [f, f] φ .La forme [·, ·] φ1 est donc une forme Hermitienne (car continue), et définit opérateurHermitien A, tel que[Af, f] φ = [f, f] φ1 pour tout f ∈ C 00On aura donc[Aε, U x ε] φ = [ε, U x ε] φ1 = φ 1 (x)Comme A est permutable a tout U x , on a nécessairement A = λI, ce qui estφ 1 = λφ. φ est donc élémentaire.□Theorème 10.9. Si G est Abélien, alors les fonctions élémentaires sont exactementles caractères continus sur G.Démonstration. Un caractère continu χ sur G est evidamment une fonction définiepositive telle que χ(e) = 1, car pour tout f ∈ C 00∫∫∫∫[f, f] χ = f(x)χ(x −1 y)f(y)dxdy = f(x)χ(x)f(y)χ(y)dxdy∫=∫f(x)χ(x)dx∫f(y)χ(y)dy =∣ f(x)χ(x)dx∣Il reste à montrer que la représentation s → U s de G dans H φ est irréductible si etseulement si φ est un caractère sur G.□Définition 10.10. A chaque f ∈ L 1 (G) un associe sa ”transformée de Fourier”̂f : Ĝ → T par la formule∫̂f(χ) = χ(x)f(x −1 )dx = χ ∗ f(e G )Proposition 10.11. f → ̂f est une application continue de L 1 (G) vers L ∞ (G).Theorème 10.12. Soit G un groupe topologique localement compact. Alors il existeune mesure de Haar dχ sur Ĝ telle que pour tout f ∈ C+ 00 ∩ L1 on ait l’égalite demesuresd̂µ f (χ) = ̂f(χ)dχUne consequence très importante du théorème d’inversion est que Ĝ vu commeensemble de fonctions sur G separe les points de G, ou (dans le jargon des analystes)qu’il y a ”assez” de caractères. Précisement :Corollaire 10.13. Soient x, y ∈ G. Si x ≠ y, alors il existe un χ ∈ Ĝ tel queχ(x) ≠ χ(y).2≥ 0

GROUPES TOPOLOGIQUES 41Démonstration. Il est commode d’adopter la notation suivante, ou C est un compactdans Ĝ es U un voisinage de 1 dans T :W (C, U) = {x ∈ G | χ(x) ∈ U ∀χ ∈ C}Ces ensembles ne sont jamais vides, car ils contiennent tous e. Montrons qu’ils sontun système fondamental de voisinages ouverts de e.Pour cela, prenons V un voisinage de e et choisissons un voisinage conpact W de etel que W W −1 ⊆ V . Soit f la fonction sur G définie parf(x) ={√1m(W )si x ∈ W0 si x /∈ Wet posons g = f ∗ ˜f. Alors g est une fonction réelle, continue, definie positive, et àsupport dans W W −1 . Le théorème d’inversion s’applique à g. On calcule∫∫∫ĝ(χ)dχ = g(e) = f ∗ ˜f(e) = f(x) ˜f(e − x) = f(x) 2 dx = 1Il existe alors une partie compacte C de Ĝ telle que∫ĝ(χ)dχ > 2 3CChoisissons x ∈ W (C, B 1 ). Pour un tel x on aura necessairement que Re(χ(x)) >9cos( 2π 9 ) > 2 3, quelque soit χ ∈ C. Par le théorème d’inversion :∫∫∫g(x) = ĝ(χ)χ(x)dχ = ĝ(χ)χ(x)dχ + ĝ(χ)χ(x)dχce qui donne∫g(x) ≥∣C∣ ∣∣∣∣ ∫ĝ(χ)χ(x)dχ∣ −Ĝ\CC∣ ∫∣∣∣ĝ(χ)dχ∣ ≥ 23CĜ\Cĝ(χ)dχ∣ − 1 3 ≥ 4 9 − 1 3 = 1 9On a en particulier que x ∈ supp(g) ⊆ W W −1 ⊆ V . Ceci etant vrai quelque soitx ∈ W (C, B 19 , on a W (C, B 1 9 ) ⊆ V . □11. La dualité de Pontriagin - van KampenDéfinition 11.1. Soit G un groupe topologique et g ∈ G. On note avec ɛ(g) ouɛ g l’application ɛ g : Ĝ → T définie par ɛ g(χ) = χ(g). On appelle ɛ homomorphismenaturel de G dans son bidual.La définition fait ce qu’elle promette :Lemme 11.2. Soit G un groupe topologique. Alors l’homomorphisme naturel de Gdans son bidual est un homomorphisme de G dans son bidual.Démonstration. Il faut vérifier que ɛ g est un caractère sur Ĝ pour tout g ∈ G, queɛ est un homomorphisme dans le sens algébrique et que ɛ est continu.D’abord ɛ g (χ 1 χ 2 ) = χ 1 χ 2 (g) = χ 1 (g)χ 2 (g) = ɛ g (χ 1 )ɛ g (χ 2 ) et ɛ g (χ 0 ) = χ 0 (g) = 1pour tout χ 1 , χ 2 ∈ Ĝ et tout g ∈ G, ce qui montre que ɛ g est un caractère algèbriquesur Ĝ pour tout g ∈ G. Mais ɛ g est aussi continu car d(ɛ g (χ 1 ), ɛ g (χ 2 )) < ε siχ 1 , χ 2 ∈ W ({g}, ε).

42 PETER JOSSENPuis on a ɛ gh (χ) = χ(gh) = χ(g)χ(h) = ɛ g (χ)ɛ h (χ) et que ɛ e (χ) = χ(e) = 1 pourtout χ ∈ Ĝ, ce qui montre que ɛ gh = ɛ g ɛ h et que ɛ e est le caractère trivial de Ĝ. ɛest donc un homomorphisme algèbrique.Reste à voir la continuité de ɛ. Par 5.5, il suffit de montrer la continuité en e.Prenons un voisinage V de e dans Ĝ. V contient un ouvert du type W (C, ε) pourune partie compacte C de Ĝ et ε > 0. Prenons maintenant un voisinage compactA de e dans G. W (A, ε 2) est un voisinage ouvert de 1 dans Ĝ. C etant compact,on peut trouver un recouvrement ouvert fini χ 1 W (A, ε 2 ), χ 2W (A, ε 2 ), ..., χ nW (A, ε 2 )de C. Soit maintenant U un voisinage de e dans G tel que U ⊆ A et tel qued(χ i (x), 1) < ε 2si x ∈ U pour tout 1 ≤ i ≤ n. Si x ∈ U et χ ∈ C, alors on ad(χ j (x), χ(x)) ≤ ε 2pour un jd(χ j (x), 1) ≤ ε pour tout j2donc d(χ(x), 1) < ε, ou bien d(ɛ x (χ), 1) < ε pour tout χ ∈ C, ce qui est ɛ U ⊆ V . ɛest donc continu.□Lemme 11.3. Si G admet assez de caractères, alors l’homomorphisme de G dansson bidual est injectif et bicontinu, et l’image de G dans Ĝ est fermée.Démonstration. Prenons g ∈ ker ɛ, cet à dire ɛ g (χ) = 1 pour tout χ ∈ Ĝ ou bien,par définition de ɛ que χ(g) = 1 = χ(e) pour tout χ ∈ Ĝ, ce qui montre que g = e.ɛ est donc injectif.Posons pour un compact C dans Ĝ et un voisinage U de 1 dans T :V = {x ∈ G | ɛ x (C) ⊆ U}W = {ɛ x ∈ Ĝ | ɛ x (C) ⊆ U}Ces ensembles fournissent, lorsque C parcourt tous les compacts de Ĝ et U tous lesvoisinages de 1 des systèmes fondamentales de voisinages de e, respectivement deɛ e . Par la définition de ɛ on aɛ V = W ∩ ɛ Gce qui entraine que non seulement ɛ est continu, mais aussi ɛ −1 .L’image de G dans Ĝ est donc un sous-groupe localement compact de Ĝ, vu qu’il estisomorphe à G. Car Ĝ est de Hausdorff, 6.5 permet de conclure qu’il est fermé.Voilà le théorème de dualité dans la forme donnée par Pontriagin. Je donned’abord la démonstration ”usuelle” de ce fait, et apres, pour le cas discret unedémonstration alternative, qui contient essentiellement les mêmes éléments,maisqui utilise le langage les limites projéctives.Lemme 11.4. Soit G un groupe discret ou compact. Alors l’homomorphisme naturelde G dans son bidual est un isomorphisme.Démonstration. Traitons d’abord le cas ou G est discret. Choisissons pour cela unsous-groupe de type fini F ⊆ G. Par ?? on a Ĥ = Ann(Ann(F )), et ɛ restreintà F est exactememnt l’homomorphisme de F dans son bidual. Mais comme F estAbélien de type fini, donc produit de groupes cycliques : F ∼ = Z k ⊕ Z, pour unnaturel k et un groupe Abélien fini Z on a que ɛ| F est un isomorphisme.□

GROUPES TOPOLOGIQUES 43Voyons maintenant le cas où G est compact. Par 10.13 et 11.3, nous savons que ɛest injéctif. Reste à voir la surjéctivité de ɛ. Car Ĝ est discret, on a, par la premièrepartie isomorphismêɛ : Ĝ → ĜPour tout χ ∈ Ĝ et tout x ∈ G on a ̂ɛ χ(ɛ x ) = ɛ x (χ) = χ(x), ce qui montre queMais par ?? on aAnn(Ĝ) ∼ = Ann(G) = {χ 0 }Ann(Ĝ) ∼ = ̂Ĝ/ɛ(G)Le dual de Ĝ/ɛ(G) est alors trivial, et, de nouveau par 10.13, Ĝ/ɛ(G) est trivial luimême. ɛ est donc surjéctif, ce qui termine la démonstration.□Deuxième démonstration. Soit G discret. Par le théorème 9.6 on a que Ĝ est limiteprojéctive stricteĜ ∼ = lim ̂FF de type finil’ensemble d’indices etant les sous-groupes de type fini de G ordonnées par l’inclusion.Les applications limites h F : Ĝ → ̂F sont données par h F (χ) = χ| F . Cesapplications sont surjéctives, et induisent des homomorphismes injéctivesh ∗ F : ̂F → Ĝ par h ∗ F (χ) = χ ◦ h FLa proposition 9.7 montre que Hom(Ĝ, T) est réunion des images de ces homomorphismes.Pour tout χ ∈ Ĝ□ce qui se résume dans le diagram suivant :ɛF −−−−→ ̂F⏐ ⏐ι↓↓ɛG −−−−→ ĜVoilà la dualité de Pontriagin - van Kampen dans sa forme classique. La démonstrationest celle donnée par Henri Cartan et Roger Godement.Theorème 11.5. Soit G un groupe topologique Abélien localement compact. Alorsl’homomorphisme naturel de G dans son bidual est un isomorphisme.Démonstration. De nouveau, vu 10.13 et 11.3, il suffit de montrer la surjéctivitéde ɛ. Pour cela, montrons que l’image de ɛ est dense. Cela suffit, car elle est aussifermée, es sera donc egale à Ĝ tout entierSi ɛ G n’est pas dense dans Ĝ, alors on peut trouver une fonction f ∈ A(Ĝ) qui estnulle sur ɛ G mais pas identiquement nulle (??). Nous avons donc pour une fonctionintegrable h ∈ L 1 (Ĝ) f(Ψ) =∫h(χ)Ψ(χ)dχpour tout Ψ ∈ Ĝ. Comme f(ɛ x ) = 0 pour tout x ∈ G, on deduit que∫∫h(χ)χ(x)dχ = h(χ)ɛ x (χ)dχ = 0

44 PETER JOSSENet donc que h = 0 par ??. Mais cela dit que f = 0, contrairement à l’hypothèse.L’image de ɛ est donc dense dans Ĝ.□Corollaire 11.6. Soit G un groupe topologique Abélien localement compact et Hun sous-groupe de G. Alors Ĥ = Ann(Ann(H)).Démonstration.□Lemme 11.7. Soit H un sous-groupe topologique Abélien localement compact G.Alors on a des isomorphismes canoniquesĤ ∼ = Ĝ/Ann(H)Ĝ/H ∼ = Ann(H)Démonstration. La situation se résume dans le diagramme suivant, où la ligne enbas est duale à celle en haut.0 −−−−→ Hι−−−−→ Gπ−−−−→ G/H −−−−→ 00 ←−−−−Ĝ/Ann(H) ←−−−−̂πĜ ←−−−−̂ιAnn(H) ←−−−− 0ι est l’injéction naturelle de H dans G et π désigne la projéction canonique de Gsur G/H. ̂ι est l’adjoint de ι, ce qui est la même chose que la projéction canoniquede G sur Ĝ/Ann(H), et ̂π l’adjoint de π, ce qui est la même chose que l’injéctionnaturelle de Ann(H) dans Ĝ.(I) Prenons h ∈ H et χ ∈ Ĝ/Ann(H). J’affirme que pour tout représentant χ deχ la valeur χ(h) est la même, et que l’expression χ(h) est donc bien définie pourtout h ∈ H, et que dans ce sens, χ est un caractère sur H, et que Ĝ/Ann(H) estprécisement le dual de H.(II) Prenons χ ∈ Ann(H) et g ∈ G/H. J’affirme que pour tout représentant gde g la valeur χ(g) est la même, et que l’expression χ(g) est donc bien définie pourtout χ ∈ Ann(H), et que dans ce sens, χ est un caractère sur G/H, et que Ann(H)est précisement le dual de G/H.Notons π la projéction canonique de G sur G/H et ̂π son adjoint : ̂π : Ĝ/H → Ĝ□12. ConsequencesDéfinition 12.1. Soit G un groupe discret et H un groupe compact, et donnonsune application de G × H vers T notée (g, h) ↦→< g, h >, telle que< h 1 h 2 , g >=< h 1 , g >< h 2 , g > et < h, g 1 g 2 >=< h, g 1 >< h, g 2 >et telle que pour tout g ∈ G et tout voisinage V de 1 dans T il existe un voisinageU de e H tel que gU ⊆ V .On appelle le couple (G, H) muni du produit < ·, · > une paire de groupes topologiques.

GROUPES TOPOLOGIQUES 45Définition 12.2. Soit (G, H) une paire de groupes topologiques, A ⊆ G, B ⊆ H.On noteraAnn G (B) = {g ∈ G | gb = 0 ∀b ∈ B}Ann H (A) = {h ∈ H | ah = 0 ∀a ∈ A}On dit que la paire (G, H) est orthogonale si Ann G (H) = {e G } et Ann H (G) = {e H }.Proposition 12.3. Soit (G, H) une paire de groupes topologiques Abéliens orthogonals.Alors les applications G → T definies par g ↦→< g, h > pour h ∈ H fixé sontprécisement les caractères sur G, et similairement les applications H → T definiespar h ↦→< g, h > pour g ∈ G fixé sont précisement les caractères sur H.Démonstration. Notons ω g : H → T l’application h ↦→< g, h >. On a immediatementque ω g ∈ Ĥ pour tout g ∈ G, et que ω est un homomorphisme de G dans Ĥ.La condition Ann G (H) = {e G } dit que ker(ω) = {e G }, i.e. que ω est injectif. On aAnn X (ω(G)) = Ann X (G) = {e H }, et donc ω(G) = AnnĤ = Ĥ ce qui montre queω est un isomorphisme.En résumé G ∼ = ω(G) = Ĥ et par le théorème de dualité Ĝ ∼ = H.□13. ExemplesLes corps p-adiques. Soit p un nombre premier (qui restera fixé au cours de cetexemple). Tout nombre rationnel non nul q s’écrit de façon unique commeq = a b pnavec des nombres naturels a et b coprimes à p, et avec un nombre entier n. Posonsdans cette situation|q| p= p −net |0| p= 0. Cela s’appelle ”valuation p-adique sur Q. Elle nous définit une distancesur Q, et donc une topologie métrisable. En effet δ(x, y) = |x − y| pest nonnégatif,nul si et seulement si x = y etLa mesure de Haar sur GL n (C)Les sous-groupes fermés de R n :Proposition 13.1. Tout sous-groupe fermé H de R n est de la formeH = λ 1 e 1 + · · · + λ r e r + m 1 f 1 + · · · + m s f soù e 1 , ..., e r , f 1 , ..., f s sont des vecteurs independants dans R n , les λ 1 , ..., λ r parcourantR et les m 1 , ..., m s parcourant Z.Démonstration. On procède par récurrence sur n. La proposition est trivialementjuste pour n = 0. On suppose desormais qu’elle est vraie pour n − 1. Choisissonsun sous-groupe fermé H de R n , et montrons que H est de la forme indiquée.Cas (I) : H n’est pas discret. 0 est donc un point d’accumulation, et on peuttrouver une suite (x n ) n∈N d’élements de H qui converge vers 0. Considerons la suitey n =x n‖x n ‖

46 PETER JOSSENComme B(0, 1) est compact dans R n et y n ∈ B(0, 1), on peut extraire de (y n ) n∈Nune sous suite convergeante (y α(n) ) n∈N . Soit e la limite de cette suite.J’affirme que la droite V = {λe|λ ∈ R} est contenue dans H. Pour le montrer, fixonsλ 0 ∈ R, λ 0 ≠ 0 et montrons que λ 0 e adhère à H (pour λ 0 = 0 c’est clair). Celasuffit, car H est supposé fermé. Soit donc ε > 0. Il existent des nombres naturelsN 1 , N 2 tels quen ≥ N 1 =⇒ ∥ ∥ yα(n) − e ∥ ∥

GROUPES TOPOLOGIQUES 47En effet, quelque soit d ∈ D on a‖h − d‖ < ‖f‖2‖f‖=⇒ ‖h − d‖ + inf ‖d − mf‖