Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

GROUPES TOPOLOGIQUES 43Voyons maintenant le cas où G est compact. Par 10.13 et 11.3, nous savons que ɛest injéctif. Reste à voir la surjéctivité de ɛ. Car Ĝ est discret, on a, par la premièrepartie isomorphismêɛ : Ĝ → ĜPour tout χ ∈ Ĝ et tout x ∈ G on a ̂ɛ χ(ɛ x ) = ɛ x (χ) = χ(x), ce qui montre queMais par ?? on aAnn(Ĝ) ∼ = Ann(G) = {χ 0 }Ann(Ĝ) ∼ = ̂Ĝ/ɛ(G)Le dual de Ĝ/ɛ(G) est alors trivial, et, de nouveau par 10.13, Ĝ/ɛ(G) est trivial luimême. ɛ est donc surjéctif, ce qui termine la démonstration.□Deuxième démonstration. Soit G discret. Par le théorème 9.6 on a que Ĝ est limiteprojéctive stricteĜ ∼ = lim ̂FF de type finil’ensemble d’indices etant les sous-groupes de type fini de G ordonnées par l’inclusion.Les applications limites h F : Ĝ → ̂F sont données par h F (χ) = χ| F . Cesapplications sont surjéctives, et induisent des homomorphismes injéctivesh ∗ F : ̂F → Ĝ par h ∗ F (χ) = χ ◦ h FLa proposition 9.7 montre que Hom(Ĝ, T) est réunion des images de ces homomorphismes.Pour tout χ ∈ Ĝ□ce qui se résume dans le diagram suivant :ɛF −−−−→ ̂F⏐ ⏐ι↓↓ɛG −−−−→ ĜVoilà la dualité de Pontriagin - van Kampen dans sa forme classique. La démonstrationest celle donnée par Henri Cartan et Roger Godement.Theorème 11.5. Soit G un groupe topologique Abélien localement compact. Alorsl’homomorphisme naturel de G dans son bidual est un isomorphisme.Démonstration. De nouveau, vu 10.13 et 11.3, il suffit de montrer la surjéctivitéde ɛ. Pour cela, montrons que l’image de ɛ est dense. Cela suffit, car elle est aussifermée, es sera donc egale à Ĝ tout entierSi ɛ G n’est pas dense dans Ĝ, alors on peut trouver une fonction f ∈ A(Ĝ) qui estnulle sur ɛ G mais pas identiquement nulle (??). Nous avons donc pour une fonctionintegrable h ∈ L 1 (Ĝ) f(Ψ) =∫h(χ)Ψ(χ)dχpour tout Ψ ∈ Ĝ. Comme f(ɛ x ) = 0 pour tout x ∈ G, on deduit que∫∫h(χ)χ(x)dχ = h(χ)ɛ x (χ)dχ = 0