Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

8 PETER JOSSENDémonstration. L’application f : (x 1 , x 2 , ..., x n ) ↦→ x r11 xr2 2 ...xrn n est continue, carelle est composition d’applications continues. Ainsi pour tout voisinage de U deb = f(a 1 , a 2 , ..., a n ) il existent des voisinages V i de a i pour 1 ≤ i ≤ n de tellemanière que f(V 1 , V 2 , ..., V n ) ⊆ U.Si a i = a j , on peut choisir V i = V j en prenant l’intersection.□Proposition 5.3. Soit G un groupe topologique. Les applications ϕ : x ↦→ x −1 ,f a : x ↦→ xa et a f : x ↦→ ax sont des homéomorphismes de G sur lui même quelquesoit a ∈ GDémonstration. ϕ, f a et a f sont continus par GT3 et des bijections. Les applicationsinverses sont données par x = φ(x −1 ) = f a (xa −1 ) = a f(a −1 x).□Proposition 5.4. Tout groupe topologique G est homogène vu comme espace topologique,cet à dire quelque soient a, b ∈ G il existe un homéomorphisme h : G → Gavec f(a) = b.Démonstration. L’homéomorphisme h : x ↦→ a −1 xb fait l’affaire.□Corollaire 5.5. Soit f : G → H un homomorphisme entre groupes topologiques Get H. Si f est continu en e G , alors f est continu partout.Démonstration. Soit f : G → H un homomorphisme continu en e G , choisissonsx ∈ G et montrons que f est continu en x. Soit V un voisinage de f(x). Comme fest continu en e G , on a que f −1 (f(x) −1 V ) est un voisinage de e, et par consequentf −1 (V ) = f −1 (f(x)f(x) −1 V ) = f −1 (f(x)) f −1 (f(x) −1 V ) ⊇ xf −1 (f(x) −1 V )un voisinage de x.□Proposition 5.6. Soient G un groupe topologique P une partie quelconce, O unouvert, C un compact et F un fermé de G. Alors les ensembles P O, OP et O −1sont ouverts et CF , F C et F −1 sont fermés dans G.Démonstration. L’ensemble O −1 est ouvert, car il est image de l’ouvert O par unhoméomorphisme. Idem pour l’ensemble F −1 , qui est fermé car il est image dufermé F par un homéomorphisme.P O est ouvert car P O = ⋃ {p∈P }pO, ce qui est une réunion d’ouverts, vu que lespO sont tous images d’un homéomorphisme de l’ouvert O et donc tous ouverts. Lemême argumet montre que OP est ouvert dans G.Il reste à montrer que CF et F C sont fermés dans G. Prenons pour cela une suitegénéralisée {x α } α∈I dans CF avec un point de limite x ∈ G, et montrons quex ∈ F . Tout x α s’écrit comme c α f α avec c α ∈ C et f α ∈ F . La suite généralisée{c α } α∈I admette au mois un point de limite c ∈ C, car C est compact. La suitegénéralisée {f α } α∈I = {c −1α x α } α∈I dans F admette donc f := c −1 x comme pointde limite car elle est image par une application continue des deux suites généralisées{x α } α∈I et {c α } α∈I . Mais F est fermé, et donc f ∈ F . Ainsi f = c −1 x ∈ F ou bienx = cf ∈ CF .De la même façon on montre que F C est fermé.Proposition 5.7. Soient G un groupe topologique et C, D des parties compactesdans G. Alors CD et DC sont compacts dans G.□