Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

38 PETER JOSSENfonction f ∈ C 00 dans le quotient C 00 /K φ . Dans ce quotient, on obtient par cetteconstruction une véritable norme de Hilbert, donnée par√[f, f] φ = ∥ ∥f ∥ φpour tout f ∈ C 00 /K φ(C’est d’ailleurs une seminorme sur C 00 .) Lorsque on complète C 00 /K φ pour lanorme ‖·‖ φ, on obtient un espace de Hilbert, qu’on notera H φ .Considerons les opérateurs U s sur H φ , définis par U s f = s f pour tout s ∈ G. LesU s sont des opérateurs unitaires, car evidamment U s U s −1 = U s −1U s = 1, ce quinous fournit une représentation unitaire de G dans H φ , donnée pars → U sLe théorème suivant est du à Gelfand et Raïkov.Theorème 10.5. Toute fonction définie positive égale à une fonction de la formeφ(x) = [X, U s X], ou [·, ·] designe un produit scalaire dans un espace de Hilbertconvenanble.Démonstration. Notons V le filtre de voisinages de e. Choisissons pour tout voisinageV de e une fonction g V ∈ C + 00 à support dans V et telle que ∫ g(x)dx = 1.La suite de mesures positives (g V dx) V ∈V converge ponctuellement vers la masse deDirac en e, notée δ e . La suite des (g V ) V ∈V dans H φ converge ponctuellement versun élément ε ∈ H φ car [g, g] φ reste borné. On obtient :[f, U s ε] φ = lim [f, U s g V ] φ = limV ∈V∫∫=V ∈V∫∫f(x)φ(x −1 y)g V (s −1 y)dxdy∫f(x)φ(x −1 y)dxδ s (y) = f(x)φ(s −1 x)dxPour tout f, g dans C 00 on a∫∫[f, g] φ = f(x)φ(x −1 y)g(y)dxdy =∫∫∫f(x)φ(y −1 x)dxg(y)dy = [f, U y ε] φ g(y)dyOr les termes dans cette dernière equation dependend uniformement continumentde f et de g, elle subsiste pour des f, g dans H φ . Lorsque on fait la spécialisationf = ε, on obtient :∫ ∫φ(x)g(x)dx = [ε, g] φ =[ε, U y ε] φ g(y)dypour tout g ∈ C 00 , ce qui entraine queφ(x) = [ε, U x ε] φComme φ est continue, on a égalité.Haar-presque partout□Le théorème de Bochner fait une première liaison entre les fonctios définies positifeset les caractères continus.Theorème 10.6. Une fonction φ sur G est définie positive si et seulement si elleest égale à une fonction de la forme φ(x) = ∫ χ(x)dµ(χ) pour une certaine mesurenon-négative µ sur Ĝ.