Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

24 PETER JOSSENet(7.15) |g(s) − g(x)| < ε si s −1 x ∈ U4MVoyons que le voisinage U satisfait l’assertion 7.13. On choisit alors ϕ ∈ C + 00 non nul,s’annullant en dehors de U, et des nombres λ 1 , λ 2 , ..., λ m dans [0, ∆]. Definissons Φcomme etant la fonction ∑ mj=1 λ jf j + εg, et definissons les fonctions h 1 , h 2 , ..., h mpar{ λjf j(x)Φ(x)si x ∈ Eh j (x) =0 si x /∈ EIl est clair que Φ ∈ C + 00 , avec ||Φ|| ∞ ≤ ∑ mj=1 λ j||f j || ∞ + ε ≤ M + ε < 2M, queh j Φ = λ j f j et que ∑ mj=1 h j ≤ 1. Si s −1 x ∈ U, on a a fortiori par 7.14 et 7.15 quem∑|Φ(s) − Φ(x)| ≤ λ j |f j (s) − f j (x)| − ε|g(s) − (g(x)|(7.16)Voyons maintenant quej=1< m∆ ε34Mm∆ + ε ε24m= ε32M(7.17) |h j (s) − h j (x)| < ε si s −1 x ∈ U j = 1, 2, ..., mmEn effet on a, si x et s sont les deux dans EV , en utilisant 7.14 et 7.16 que|h j (s) − h j (x)| =λ j f j (s)∣ − λ jf j (x)Φ(s) Φ(x) ∣=λ j f j (s)Φ(x) − λ j f j (x)Φ(s)∣ Φ(s)Φ(x) ∣≤∆ ε 2 (|f j(s)Φ(x) − f j (s)Φ(s)| + |f j (s)Φ(s) − f j (x)Φ(s)|)≤ ∆ (ε 3ε 2 ||f j || ∞2M + ||Φ|| ε 3 )∞4Mm∆< ∆ ( M ε 3)ε 2 m∆ 2M + 2Mε34Mm∆= ε mSi, par contre, x /∈ EV , et s −1 x ∈ U, on a s /∈ E, car autrement on aurait x =ss −1 x ∈ EU ⊆ EV . Par consequent, si soit x soit s n’est pas dans EV , on a que|h j (s) − h j (x)| = 0. La relation 7.17 est donc établie.Estimons maintenant (Φ : ϕ). Si nous avonsn∑Φ(x) ≤ c k ϕ(s k x) pour tout x ∈ Gk=1alors, car ϕ s’annulle en dehors de U, nous avons aussi pour x fixé∗∑(7.18) Φ(x) ≤ c k ϕ(s k x)k≥1