Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

44 PETER JOSSENet donc que h = 0 par ??. Mais cela dit que f = 0, contrairement à l’hypothèse.L’image de ɛ est donc dense dans Ĝ.□Corollaire 11.6. Soit G un groupe topologique Abélien localement compact et Hun sous-groupe de G. Alors Ĥ = Ann(Ann(H)).Démonstration.□Lemme 11.7. Soit H un sous-groupe topologique Abélien localement compact G.Alors on a des isomorphismes canoniquesĤ ∼ = Ĝ/Ann(H)Ĝ/H ∼ = Ann(H)Démonstration. La situation se résume dans le diagramme suivant, où la ligne enbas est duale à celle en haut.0 −−−−→ Hι−−−−→ Gπ−−−−→ G/H −−−−→ 00 ←−−−−Ĝ/Ann(H) ←−−−−̂πĜ ←−−−−̂ιAnn(H) ←−−−− 0ι est l’injéction naturelle de H dans G et π désigne la projéction canonique de Gsur G/H. ̂ι est l’adjoint de ι, ce qui est la même chose que la projéction canoniquede G sur Ĝ/Ann(H), et ̂π l’adjoint de π, ce qui est la même chose que l’injéctionnaturelle de Ann(H) dans Ĝ.(I) Prenons h ∈ H et χ ∈ Ĝ/Ann(H). J’affirme que pour tout représentant χ deχ la valeur χ(h) est la même, et que l’expression χ(h) est donc bien définie pourtout h ∈ H, et que dans ce sens, χ est un caractère sur H, et que Ĝ/Ann(H) estprécisement le dual de H.(II) Prenons χ ∈ Ann(H) et g ∈ G/H. J’affirme que pour tout représentant gde g la valeur χ(g) est la même, et que l’expression χ(g) est donc bien définie pourtout χ ∈ Ann(H), et que dans ce sens, χ est un caractère sur G/H, et que Ann(H)est précisement le dual de G/H.Notons π la projéction canonique de G sur G/H et ̂π son adjoint : ̂π : Ĝ/H → Ĝ□12. ConsequencesDéfinition 12.1. Soit G un groupe discret et H un groupe compact, et donnonsune application de G × H vers T notée (g, h) ↦→< g, h >, telle que< h 1 h 2 , g >=< h 1 , g >< h 2 , g > et < h, g 1 g 2 >=< h, g 1 >< h, g 2 >et telle que pour tout g ∈ G et tout voisinage V de 1 dans T il existe un voisinageU de e H tel que gU ⊆ V .On appelle le couple (G, H) muni du produit < ·, · > une paire de groupes topologiques.