Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

28 PETER JOSSENComme f et tout les fonctions tj g s’annullent en dehors de F , on a aussi(7.27)m ∣ f(x) − ∑c j g(t j x)∣ ≤ γω(x) pour tout x ∈ Gj=1Pour chaque ϕ ∈ C + 00 non nul, on obtient à partir de l’inégalité précedente en lascindant en deux parties et en utilisant la sous-linéarité de I ϕ{I ϕ (f) ≤ γI ϕ (ω) + I ϕ ( ∑ mj=1 c j t jg)I ϕ ( ∑ mj=1 c j t jg) ≤ γI ϕ (ω) + I ϕ (f)ce qui donne(7.28)⎛ ⎞m∑∣ I ϕ(f) − I ϕ⎝ c j tj g⎠∣ ≤ γI ϕ(ω) ≤ γ(ω : f 0 )j=1la deuxième inégalite provenant de 7.8. On choisissait les c j à partir de 7.26, etcomme h j f ≤ f on a0 < c j = I ψ(h j f)I ψ (ǧ)≤ I ψ(f)≤ (f : ǧ)I ψ (ǧ)On applique maintenant le premier lemme avec f j = tj g, λ j = c j , ∆ > (f : ǧ)et δ = γ. Il nous fournit un voisinage V de e dans G tel que, si ϕ ∈ C + 00 , ϕ ≠ 0s’annulle en dehors de V , l’inégalite suivante a lieu :⎛ ⎞ ⎛ ⎞m∑m∑(7.29)∣ I ⎝ϕ c j tj g⎠ − I ϕ (g) ⎝ c j⎠∣ < γj=1Notons c = ∑ mj=1 c j. Il faut combiner 7.28 et 7.29 pour aboutir àj=1(7.30) |I ϕ (f) − cI ϕ (g)| < γ(1 + (ω : f 0 ))Cette inégalité est vraie pour tout f ∈ C + 00 non nul, donc en particulier pour la”fonction de base” f 0 . Par consequent il existent un voisinage V 0 de e et un d > 0tels que (on n’oublira pas que I ϕ (f 0 ) = 1)(7.31) |1 − dI ϕ (g)| < γ(1 + (ω : f 0 ))pour tout ϕ ∈ C + 00 non nul à support dans V 0. On combine maintenant 7.30 et 7.31”in an obvious way” :∣ I ϕ (f)∣∣∣∣ − I ϕ (g)c ∣ + − 1 (d + I ϕ(g)1∣ < c + 1 )γ(1 + (ω : f 0 ))dce qui fait(7.32)∣ c d − I ∣ϕ(f)∣ < γ(1 + (ω : f 0 ))(1 + c )dsous la condition que ϕ ∈ C + 00 , ϕ ≠ 0 et supp(ϕ) ⊆ V ∩ V 0. Ainsicd (1 − γ(1 + (ω : f 0))) < I ϕ (f) + γ(1 + (ω : f 0 ))etcd < I ϕ(f) + γ(1 + (ω : f 0 ))1 − γ(1 + (ω : f 0 ))