Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

40 PETER JOSSENavec les U s est nécessairement l’identité I dans H φ (personne ne bouge) ou 0 (toutle monde sur 0). Permutons :φ(x) = [ε, U x ε] φ = [Aε, U x ε] φ + [ε − Aε, U x ε] φ= [Aε, U x Aε] φ + [ε − Aε, U x (ε − Aε)] φLe dernier membre est une somme de deux fonctions se trouvant dans P 0 , donc,par hypothèse [Aε, U x ε] φ = λ[ε, U x ε] φ , et alors A = λI. Or A 2 = A, ceci exige queλ = 1 ou λ = 0, ce qu’il fallait voir.Supposons maintenant irreductible la representation s → U s dans H φ , et décomposonsφ en φ 1 +φ 2 , avec φ 1 , φ 2 ∈ P 0 . On aura, pour tout f ∈ C 00 que [f, f] φ1 ≤ [f, f] φ .La forme [·, ·] φ1 est donc une forme Hermitienne (car continue), et définit opérateurHermitien A, tel que[Af, f] φ = [f, f] φ1 pour tout f ∈ C 00On aura donc[Aε, U x ε] φ = [ε, U x ε] φ1 = φ 1 (x)Comme A est permutable a tout U x , on a nécessairement A = λI, ce qui estφ 1 = λφ. φ est donc élémentaire.□Theorème 10.9. Si G est Abélien, alors les fonctions élémentaires sont exactementles caractères continus sur G.Démonstration. Un caractère continu χ sur G est evidamment une fonction définiepositive telle que χ(e) = 1, car pour tout f ∈ C 00∫∫∫∫[f, f] χ = f(x)χ(x −1 y)f(y)dxdy = f(x)χ(x)f(y)χ(y)dxdy∫=∫f(x)χ(x)dx∫f(y)χ(y)dy =∣ f(x)χ(x)dx∣Il reste à montrer que la représentation s → U s de G dans H φ est irréductible si etseulement si φ est un caractère sur G.□Définition 10.10. A chaque f ∈ L 1 (G) un associe sa ”transformée de Fourier”̂f : Ĝ → T par la formule∫̂f(χ) = χ(x)f(x −1 )dx = χ ∗ f(e G )Proposition 10.11. f → ̂f est une application continue de L 1 (G) vers L ∞ (G).Theorème 10.12. Soit G un groupe topologique localement compact. Alors il existeune mesure de Haar dχ sur Ĝ telle que pour tout f ∈ C+ 00 ∩ L1 on ait l’égalite demesuresd̂µ f (χ) = ̂f(χ)dχUne consequence très importante du théorème d’inversion est que Ĝ vu commeensemble de fonctions sur G separe les points de G, ou (dans le jargon des analystes)qu’il y a ”assez” de caractères. Précisement :Corollaire 10.13. Soient x, y ∈ G. Si x ≠ y, alors il existe un χ ∈ Ĝ tel queχ(x) ≠ χ(y).2≥ 0