Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

6 PETER JOSSENTheorème 3.7. Soit X un espace topologique normal, F une partie fermée dansX et U 1 , U 2 , ..., U n un recouvrement ouvert fini de F . Alors il existent des fonctionscontinues h 1 , h 2 , ..., h n sur G à valeurs dans [0, 1] tels queI: ∑ nk=1 h k(x) = 1 pour tout x ∈ FII: h k (x) = 0 pour tout x /∈ U k et tout 1 ≤ k ≤ nDémonstration. En trois étapes.(I) Soit (O i ) 1≤k≤n un recouvrement ouvert fini de X. J’affirme l’existence d’unefamille de fermés (F i ) 1≤k≤n telle que F k ⊆ O k et ⋃ 1≤k≤n F k = X. Cela ce montrepar induction sur n. Pour n = 1, l’assertion est triviale. Voyons le cas n = 2 : On aO 1 ∪ O 2 = X. Les fermés X\O 1 , X\O 2 etant disjoints, on peut trouver des ouvertsV 1 , V 2 disjoints tels que O 1 ⊆ V 1 et O 2 ⊆ V 2 . En posant F 1 = X\V 1 , F 2 = X\V 2on obtient le résultat désiré pour le cas n = 2.Supposons maintenant que le résultat est(correct pour n − 1, et soit (O i ) 1≤k≤n un⋃ )recouvrement ouvert de X. Comme X =1≤k